1. 定积分在几何上的应用
1. 平面图形的面积
(1)直角坐标情形: 由连续曲线 \(y = {f}_{1}\left( x\right) ,y = {f}_{2}\left( x\right) \left( {{f}_{1}\left( x\right) \leq {f}_{2}\left( x\right) }\right)\) 与直线 \(x = a,x = b\) 围成的图形面积 \(\left( {a \leq b}\right)\)\[A = {\int }_{a}^{b}\left\lbrack {{f}_{2}\left( x\right) - {f}_{1}\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x\]由连续曲线 \(x = {g}_{1}\left( y\right) ,x = {g}_{2}\left( y\right) \left( {{g}_{1}\left( y\right) \leq {g}_{2}\left( y\right) }\right)\) 与直线 \(y = c,y = d\) 围成的图形面积 \((c \leq\) d)\[A = {\int }_{c}^{d}\left\lbrack {{g}_{2}\left( y\right) - {g}_{1}\left( y\right) }\right\rbrack \mathrm{d}y\](2)极坐标情形:由连续曲线 \(r = r\left( \theta \right)\) 与矢径 \(\theta = \alpha ,\theta = \beta\) 围成的图形面积\[A = \frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta\]2. 旋转体的体积
(1)设 \(f\left( x\right)\) 为 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上的连续函数,则由曲线 \(y = f\left( x\right)\) 与直线 \(x = a,x = b\) 及 \(x\) 轴所围成的平面区域绕 \(x\) 轴旋转一周而成的旋转体体积为\[V = \pi {\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = \pi {\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x\](2)设 \(g\left( y\right)\) 为 \(\left\lbrack {c,d}\right\rbrack\) 上的连续函数,则由曲线 \(x = g\left( y\right)\) 与直线 \(y = c,y = d\) 及 \(y\) 轴所围成的平面区域绕 \(y\) 轴旋转一周而成的旋转体体积\[V = \pi {\int }_{c}^{d}{x}^{2}\mathrm{\;d}y = \pi {\int }_{c}^{d}{g}^{2}\left( y\right) \mathrm{d}y\]3. 旋转曲面的面积
(1)光滑曲线 \(y = f\left( x\right) \left( {a \leq x \leq b}\right)\) 绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转曲面面积\[S = {2\pi }{\int }_{a}^{b}\left| y\right| \sqrt{1 + {y}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}x\](2)光滑曲线 \(\left\{ {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\ y = y\left( t\right) \end{array}\left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) }\right.\) 绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转曲面面积\[S = {2\pi }{\int }_{\alpha }^{\beta }\left| {y\left( t\right) }\right| \sqrt{{\left\lbrack {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2} + {\left\lbrack {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2}}\mathrm{\;d}t\]4. 曲线的弧长公式
(1)光滑曲线 \(y = f\left( x\right) \left( {a \leq x \leq b}\right)\) 的弧长为\[l = {\int }_{a}^{b}\sqrt{1 + {\left\lbrack {y}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack }^{2}}\mathrm{\;d}x = {\int }_{a}^{b}\sqrt{1 + {\left\lbrack {f}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack }^{2}}\mathrm{\;d}x\](2)光滑曲线 \(\left\{ {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\ y = y\left( t\right) \end{array}\left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) }\right.\) 的弧长为\[l = {\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left\lbrack {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2} + {\left\lbrack {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2}}\mathrm{\;d}t\](3)光滑曲线 \(r = r\left( \theta \right) ,{\varphi }_{0} \leq \theta \leq {\varphi }_{1}\) 的弧长\[l = {\int }_{{\varphi }_{0}}^{{\varphi }_{1}}\sqrt{{r}^{2} + {r}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}\theta\]
2. 定积分在物理学上的应用
定积分在物理中的应用主要包括变力作功、引力、液体的静压力、质量、重心及转动惯量等, 解这些应用题首先是把实际问题化为数学问题, 并把合力分解为投影到坐标轴的分力后分别进行积分计算. 而求平均值只需要弄清楚是求函数的平均值还是均方根, 然后选用相应的公式即可.
对于几何、物理学中的实际问题, 定积分的元素法提供了一个解决问题的很好的途径. 在元素法的使用过程中,先取积分变量 \(x\) 与积分区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 及寻求所求量 \(u\) 的积分元素 \(\mathrm{d}u = f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 的表达式是最为关键的两点. 特别是在确定积分元素的表达式时, 需先把最简单的情况下如何计算相应的量搞清楚, 例如变力作功的计算, 就要先搞清楚质点沿直线运动时常力所作的功为 \(\va{F} \vdot \va{S}\) ,这样才清楚变力在小曲线段上作功的近似值为 \(\va{F} \vdot \va{n}\mathrm{d}s\) ,其中 \(\va{n}\) 为曲线的切向量. 其他如面积、弧长、体积、引力、压力等都是如此