高数-第六章-定积分的应用

1. 定积分在几何上的应用

1. 平面图形的面积
(1)直角坐标情形: 由连续曲线 $y=f_1\left(x\right),y=f_2\left(x\right)\left(f_1\left(x\right)\le f_2\left(x\right)\right)$ 与直线 $x=a,x=b$ 围成的图形面积 $\left(a\le b\right)$$$A={\int }_a^b\left[f_2\left(x\right)-f_1\left(x\right)\right]\mathrm{d}x$$由连续曲线 $x=g_1\left(y\right),x=g_2\left(y\right)\left(g_1\left(y\right)\le g_2\left(y\right)\right)$ 与直线 $y=c,y=d$ 围成的图形面积 $(c\le$ d)$$A={\int }_c^d\left[g_2\left(y\right)-g_1\left(y\right)\right]\mathrm{d}y$$(2)极坐标情形:由连续曲线 $r=r\left(\theta \right)$ 与矢径 $\theta =\alpha ,\theta =\beta$ 围成的图形面积$$A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2\left(\theta \right)\mathrm{d}\theta$$2. 旋转体的体积
(1)设 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的连续函数,则由曲线 $y=f\left(x\right)$ 与直线 $x=a,x=b$ 及 $x$ 轴所围成的平面区域绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积为$$V=\pi {\int }_a^b{y}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_a^b{f}^2\left(x\right)\mathrm{d}x$$(2)设 $g\left(y\right)$ 为 $\left[c,d\right]$ 上的连续函数,则由曲线 $x=g\left(y\right)$ 与直线 $y=c,y=d$ 及 $y$ 轴所围成的平面区域绕 $y$ 轴旋转一周而成的旋转体体积$$V=\pi {\int }_c^d{x}^2\mathrm{d}y=\pi {\int }_c^d{g}^2\left(y\right)\mathrm{d}y$$3. 旋转曲面的面积
(1)光滑曲线 $y=f\left(x\right)\left(a\le x\le b\right)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转曲面面积$$S=2\pi {\int }_a^b\left|y\right|\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$$(2)光滑曲线 $\{\begin{array}{l}x=x\left(t\right)\\ y=y\left(t\right)\end{array}\left(\alpha \le t\le \beta \right)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转曲面面积$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }\left|y\left(t\right)\right|\sqrt{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[y^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\mathrm{d}t$$4. 曲线的弧长公式
(1)光滑曲线 $y=f\left(x\right)\left(a\le x\le b\right)$ 的弧长为$$l={\int }_a^b\sqrt{1+{\left[y^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x={\int }_a^b\sqrt{1+{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x$$(2)光滑曲线 $\{\begin{array}{l}x=x\left(t\right)\\ y=y\left(t\right)\end{array}\left(\alpha \le t\le \beta \right)$ 的弧长为$$l={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[y^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\mathrm{d}t$$(3)光滑曲线 $r=r\left(\theta \right),{\phi }_0\le \theta \le {\phi }_1$ 的弧长$$l={\int }_{{\phi }_0}^{{\phi }_1}\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}\mathrm{d}\theta$$

2. 定积分在物理学上的应用

定积分在物理中的应用主要包括变力作功、引力、液体的静压力、质量、重心及转动惯量等, 解这些应用题首先是把实际问题化为数学问题, 并把合力分解为投影到坐标轴的分力后分别进行积分计算. 而求平均值只需要弄清楚是求函数的平均值还是均方根, 然后选用相应的公式即可.
对于几何、物理学中的实际问题, 定积分的元素法提供了一个解决问题的很好的途径. 在元素法的使用过程中,先取积分变量 $x$ 与积分区间 $\left[a,b\right]$ 及寻求所求量 $u$ 的积分元素 $\mathrm{d}u=f\left(x\right)\mathrm{d}x$ 的表达式是最为关键的两点. 特别是在确定积分元素的表达式时, 需先把最简单的情况下如何计算相应的量搞清楚, 例如变力作功的计算, 就要先搞清楚质点沿直线运动时常力所作的功为 $\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{\cdot }\overrightarrow{\mathbf{S}}$ ,这样才清楚变力在小曲线段上作功的近似值为 $\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{\cdot }\overrightarrow{\mathbf{n}}\mathrm{d}s$ ,其中 $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ 为曲线的切向量. 其他如面积、弧长、体积、引力、压力等都是如此