1.微分中值定理
1. 罗尔定理
设函数\(f\left( x\right)\) 在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导,且 \(f\left( a\right)=f\left( b\right)\) ,则至少存在一点 \(\xi\in\left( {a,b}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right)=0\)
2. 拉格朗日定理
设函数\(f\left(x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\)上连续,在(a, b)内可导,则至少存在一点 \(\xi\in\left({a,b}\right)\) , 使得\[f\left( b\right) - f\left( a\right) = {f}^{\prime }\left( \xi \right) \left( {b - a}\right)\]3. 柯西定理
设函数\(f\left( x\right) \text{ 、}g\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导, \({g}^{\prime }\left( x\right)\) 在(a, b)内每一点处均不为零,则至少有一点 \(\xi\in\left( {a,b}\right)\) ,使得\[\frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{g\left( b\right) - g\left( a\right) } = \frac{{f}^{\prime }\left( \xi \right) }{{g}^{\prime }\left( \xi \right) }\]
2.洛必达法则
1. 洛必达法则 I
设函数 \(f\left( x\right)\) 与 \(g\left( x\right)\) 满足:
(1)在点 \({x}_{0}\) 的某一邻域内(点 \({x}_{0}\) 可除外)有定义,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = 0,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}g\left( x\right) = 0\)
(2)在该邻域内可导,且 \({g}^{\prime }\left( x\right) \neq 0\)
(3)\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) 存在 (或为 \(\infty\) ). 则 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) (或为 \(\infty\) )
2. 洛必达法则 II
设函数\(f\left( x\right)\) 与 \(g\left( x\right)\) 满足:
(1)在 \({x}_{0}\) 的某一邻域内(点 \({x}_{0}\) 可除外)有定义,且 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = \infty ,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}g\left( x\right) = \infty\)
(2)在该邻域内可导,且 \({g}^{\prime }\left( x\right) \neq 0\)
(3)\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) 存在 (或为 \(\infty\) ). 则 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) (或为 \(\infty\) ).
以上两法则对于 \(x \rightarrow \infty\) 时的未定式 “ \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ”,“ \(\displaystyle\frac{\infty }{\infty }\) ”同样适用
3. 泰勒公式
1. 泰勒定理
若\(f\left( x\right)\) 在含有 \({x}_{0}\) 的某个邻域内具有直到 \(n + 1\) 阶的导数,则对于该邻域内任意点 \(x\) ,有泰勒公式\[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{{f}^{\left( k\right) }\left( {x}_{0}\right) }{k!}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{k} + \frac{{f}^{\left( n + 1\right) }\left( \xi \right) }{\left( {n + 1}\right) !}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{n + 1},\]其中 \(\xi\) 介于 \({x}_{0}\) 与 \(x\) 之间, \({f}^{\left( 0\right) }\left( {x}_{0}\right) = f\left( {x}_{0}\right)\)
2. 麦克劳林公式
在\({x}_{0} = 0\) 展开的泰勒公式,也称为麦克劳林公式,即\[f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{{f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{k!}{x}^{k} + \frac{{f}^{\left( n + 1\right) }\left( \xi \right) }{\left( {n + 1}\right) !}{x}^{n + 1},\]其中 \(\xi\) 介于 0 与 \(x\) 之间
3. 常用的泰勒展开式
见需熟记的重要公式——泰勒公式及常用泰勒展开
4. 函数的单调性与曲线的凹凸性
1. 函数的单调性
设函数 \(y = f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导.
(1)若在(a, b)内 \({f}^{\prime }\left( x\right) > 0\) ,则 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上单调增加
(2)若在(a, b)内 \({f}^{\prime }\left( x\right) < 0\) ,则 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上单调减少
求 \(y = f\left( x\right)\) 的单调区间步骤是:(1)明确定义域并找出无定义端点;(2)找出使 \({f}^{\prime}\left( x\right)=0\)的点(驻点)及导数不存在但函数有意义的点(称这些点为极值疑点);(3)把全部上面列出的点按大小列在表上, 它们把定义域分割成若干区间, 分别根据每个区间上导数的符号判断其单调性
2. 曲线的凹凸性与拐点
凹凸性定义\(\quad\)若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方, 则称这段弧是凹的, 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方, 则称这段弧是凸的
曲线的凹凸性判别法\(\quad\)设函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在区间(a, b)内具有二阶导数. 如果 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) \leq 0\) ,但 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 在任何子区间中不恒为零,则曲线弧 \(y = f\left( x\right)\) 是凸的; 如果 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0\) ,但 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 在任何子区间不恒为零,则曲线弧 \(y = f\left( x\right)\) 是凹的
拐点定义\(\quad\)连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点
因为拐点是曲线凹凸弧的分界点,所以在拐点横坐标左右两侧邻近处 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 必然异号,而在拐点横坐标处 \({f}^{\prime\prime }\left(x\right)\) 等于零或不存在.
拐点存在的必要条件\(\quad\)设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点具有二阶导数,则点 \(\left( {{x}_{0},f\left( {x}_{0}\right) }\right)\) 是曲线 \(y =\) \(f\left( x\right)\) 的拐点的必要条件是 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right)=0\)
判定曲线凹凸性或求函数的凹、凸区间、拐点的步骤是:(1)求出函数的定义域或指定区域及二阶导数；(2)在区域内求出全部拐点疑点(二阶导数为 0 的点、二阶导数不存在但函数有意义的点), 函数边界点及使函数无意义的端点, 把这些点列在表上, 根据二阶导数在各区间上的正负进行判断
5.函数的极值与最大值、最小值
1. 函数的极值
极值的定义 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于 \({x}_{0}\) 的点 \(x\) ,如果恒有 \(f\left( x\right) < f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极大值,而称 \({x}_{0}\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极大值点; 如果恒有 \(f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极小值,而称 \({x}_{0}\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极小值点
极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点.
极值的必要条件 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可导,且在 \({x}_{0}\) 点取得极值,则必有 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0\)
极值第一判别法 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点的某个邻域内可导,且 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0\) ,那么
(1)若当 \(x < {x}_{0}\) 时, \({f}^{\prime }\left( x\right) > 0\) ；当 \(x > {x}_{0}\) 时 \({f}^{\prime }\left( x\right) < 0\) ,则 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 的极大值
(2)若当 \(x < {x}_{0}\) 时, \({f}^{\prime }\left( x\right) < 0\) ；当 \(x > {x}_{0}\) 时 \({f}^{\prime }\left( x\right) > 0\) ,则 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 的极小值.
(3) 若在 \({x}_{0}\) 的两侧, \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 的符号相同,则 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 不是极值
极值第二判别法 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点处有二阶导数,且 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) \neq 0\) ,则
(1)当 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) < 0\) 时,函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 取得极大值；(2)当 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) > 0\) 时,函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 取得极小值
2. 求极值的步骤
(1)求出函数 \(f\left( x\right)\) 的全部极值疑点一一驻点(\({f}^{\prime}\left(x\right)=0\) 的点)及导数不存在但函数有意义的内点
(2) 逐个地进行判断. 判断的方法一般有两个
方法一: 用第一种充分条件,求出导函数 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 并把它因式分解,根据极值疑点邻近 \({f}^{\prime}\left(x\right)\) 的符号判断. 如果极值疑点较多时, 亦可先列表求出单调区间, 然后根据各单调区间进行判断
方法二:用第二种充分条件, 即如果是驻点, 用二阶导数在该点处的正负判断
注意方法二的条件是极值疑点必为驻点；该点处存在二阶导数且不为 0,否则应改用方法一判断. 当 \({f}^{\prime\prime}\left( x\right)\) 存在但较复杂时,一般也用方法一判断
3. 函数的最大值与最小值
设函数\(f\left( x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\)上连续,在(a, b)内仅有一个极值点,则若 \({x}_{0}\)是\(f\left( x\right)\)的极大值点,那么\({x}_{0}\) 必为\(f\left( x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\) 上的最大值点; 若\({x}_{0}\)是\(f\left( x\right)\)的极小值点,那么\({x}_{0}\)必为\(f\left( x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\)上的最小值点
4. 求函数最值的步骤
(1)找出此区间上的全部极值疑点(即驻点、导数不存在但函数有意义的内点)及使函数有定义的边界点
(2)分别求出函数在这些点上的函数值并比较其大小,其中最大的函数值就是最大值,最小的函数值就是最小值. 注意, 若函数在指定区间单调且在边界点处连续, 则其边界点必为最值点
6. 函数图形的描绘
1. 曲线的渐近线
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A\) ,则称直线 \(y = A\) 为曲线 \(y = f\left( x\right)\) 的水平渐近线 (将 \(x \rightarrow + \infty\) 改为 \(x \rightarrow - \infty\) 仍有此定义)
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1}}f\left( x\right) = \infty\) ,则称直线 \(x = {x}_{0}\) 为曲线 \(y = f\left( x\right)\) 的铅直渐近线 (将 \(x \rightarrow {x}_{0}^{ + }\) 改为 \(x \rightarrow {x}_{0}^{ - }\) 仍有此定义)
若\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow+\infty }}\frac{f\left( x\right) }{x} = a\left( {a \neq 0}\right)\) ,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow+\infty}}\left\lbrack{f\left( x\right) - {ax}}\right\rbrack = b\) ,则称直线 \(y = {ax} + b\) 为曲线 \(y = f\left( x\right)\) 的斜渐近线 (将 \(x \rightarrow+\infty\) 改为 \(x \rightarrow-\infty\) 仍有此定义)
2. 作图步骤
(1)写出函数\(f\left( x\right)\) ,标出定义域或指定的作图区域
(2)判断\(f\left( x\right)\) 的奇偶性、周期性,(如果有这样的特性,可以缩小作图范围)
(3)求水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线
(4)求出\({f}^{\prime }\left( x\right) ,{f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) ,从而求出作图的关键点: 极值疑点,拐点疑点,函数 \(f\left( x\right)\) 的边界点及无意义端点
(5)列表
(6)作图,如果作图的关键点(无意义点除外)不够,还可多描一些点,例如 \(f\left( x\right)\) 与坐标轴的交点等
7. 曲率
1. 曲率的定义
在曲线 \(L\)上,有点\(N\)沿曲线\(L\)趋于点\(M\)时,如果极限\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow 0}}K = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow 0}}\left| \frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|\) 存在,则称此极限值为曲线\(L\)在点\(M\)处的曲率,记作\(\displaystyle K = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta s} \rightarrow 0}}\left| \frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|\) . 在 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta s} \rightarrow 0}}\frac{\Delta \alpha }{\Delta s} = \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\)存在的条件下, \(K\)也可以表示为\(\displaystyle K = \left| \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\right|\)
2. 计算曲率的公式
设曲线的直角坐标方程是 \(y = f\left( x\right)\) ,且 \(f\left( x\right)\) 具有二阶导数,则得曲率公式\[K = \frac{\left| {y}^{\prime \prime }\right| }{{\left( 1 + {y}^{\prime 2}\right) }^{3/2}}.\]若曲线由参数方程 \(\left\{ {\begin{array}{l} x = \varphi \left( t\right) , \\ y = \psi \left( t\right) \end{array}\left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) }\right.\) 给出,则可利用由参数方程确定的函数的求导法, 求出 \({y}_{x}^{\prime }\) 及 \({y}_{x}^{\prime \prime }\) ,代入曲率公式即可