1. 对弧长的曲线积分
1. 对弧长的曲线积分的概念 (又称第一类曲线积分)\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right) \Delta {s}_{i}\]如果函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在曲线 \(L\) 上连续,则 \(f\left( {x,y}\right)\) 在曲线 \(L\) 上对弧长的曲线积分 \(\displaystyle{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\) 一定存在.
上述概念可以推广到空间,如果 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 是定义在空间中分段光滑曲线 \(L\) 上的有界函数, 则函数 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在曲线 \(L\) 上对弧长的曲线积分是\[{\int }_{L}f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}s = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {s}_{i}\]2. 对弧长的曲线积分的性质
性质 1\(\displaystyle{\int }_{L}\left\lbrack {{f}_{1}\left( {x,y}\right) \pm {f}_{2}\left( {x,y}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}s = {\int }_{L}{f}_{1}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s \pm {\int }_{L}{f}_{2}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\)
性质 2\(\displaystyle{\int }_{L}{kf}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = k{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\) ,其中 \(k\) 为常数.
性质 3 若 \(L = {L}_{1} + {L}_{2}\) ,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{{L}_{1}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s + {\int }_{{L}_{2}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\]
3. 对弧长曲线积分的计算法
(1)设函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在平面曲线\[L : \left\{ {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\ y = y\left( t\right) \end{array}\;\left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) }\right.\]上连续, \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right)\) 在区间 \(\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack\) 上连续,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left\lbrack {x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right\rbrack \sqrt{{\left\lbrack {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2} + {\left\lbrack {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2}}\mathrm{d}t\]如果曲线 \(L\) 的方程为 \(y = y\left( x\right) ,\left( {a \leq x \leq b}\right)\) 且 \({y}^{\prime }\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{a}^{b}f\left\lbrack {x,y\left( x\right) }\right\rbrack \sqrt{1 + {\left\lbrack {y}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack }^{2}}\mathrm{d}x\](2)设函数 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在空间曲线\[L : \left\{ \begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\ y = y\left( t\right) \;\left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) \\ z = z\left( t\right) \end{array}\right.\]上连续, \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right) ,{z}^{\prime }\left( t\right)\) 在 \(\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack\) 上连续,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{a}^{\beta }f\left\lbrack {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack \vdot \sqrt{{\left\lbrack {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2} + {\left\lbrack {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2} + {\left\lbrack {z}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack }^{2}}\mathrm{d}t\]
2. 对坐标的曲线积分
1. 对坐标的曲线积分 (又称第二类曲线积分)\[{\int }_{L}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right) \Delta {x}_{i}\]\[{\int }_{L}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}Q\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right) \Delta {y}_{i}\]如果函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在有向曲线 \(L\) 上连续时,上述积分都存在.
类似地,在空间有向曲线 \(\Gamma\) 上对坐标 \(x\text{ 、 }y\text{ 、 }z\) 的曲线积分\[{\int }_{\Gamma }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {x}_{i}\]\[{\int }_{\Gamma }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}Q\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {y}_{i}\]\[{\int }_{\Gamma }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}R\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {z}_{i}\]2. 对坐标的曲线积分的性质\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = - {\int }_{\overset{\frown}{BA}}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]3. 对坐标的曲线积分的计算法
(1) 设函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在有向曲线 \(L\) 上连续, \(L\) 的参数方程为\[\left\{ {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\ y = y\left( t\right) \end{array}\;\left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) }\right.\]且 \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right)\) 连续,而 \(t = \alpha\) 时对应于起点 \(A,t = \beta\) 对应于终点 \(B\) ,则\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\alpha }^{\beta }P\left\lbrack {x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right\rbrack {x}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{\alpha }^{\beta }Q\left\lbrack {x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right\rbrack {y}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\](2)如果曲线 \(L\) 是由方程 \(y = y\left( x\right) \left( {a \leq x \leq b}\right)\) 给出,曲线 \(L\) 的起点 \(A\) 的横坐标为 \(x = a\) ,终点 \(B\) 的横坐标为 \(x = b\) ,函数 \(y\left( x\right)\) 具有连续的一阶导数,则\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}P\left\lbrack {x,y\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x\]\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{a}^{b}Q\left\lbrack {x,y\left( x\right) }\right\rbrack {y}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x\](3)如果曲线 \(L\) 是由方程 \(x = x\left( y\right) \left( {c \leq y \leq d}\right)\) 给出,曲线 \(L\) 的起点 \(A\) 的纵坐标为 \(y = c\) ,终点 \(B\) 的纵坐标为 \(y = d\) ,函数 \(x\left( y\right)\) 具有连续的一阶导数,则\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{c}^{d}P\left\lbrack {x\left( y\right) ,y}\right\rbrack {x}^{\prime }\left( y\right) \mathrm{d}y\]\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{c}^{d}Q\left\lbrack {x\left( y\right) ,y}\right\rbrack \mathrm{d}y\](4)对于空间曲线积分,如果函数 \(P\left( {x,y,z}\right)\) 、 \(Q\left( {x,y,z}\right)\) 、 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲线 \(\Gamma\) 上连续, \(\Gamma\) 的参数方程为\[\left\{ \begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\ y = y\left( t\right) \;\left( {\alpha \leq t \leq \beta }\right) \\ z = z\left( t\right) \end{array}\right.\]而 \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right) ,{z}^{\prime }\left( t\right)\) 连续,且 \(t = \alpha\) 对应于起点 \(A,t = \beta\) 对应于终点 \(B\) ,则\[{\int }_{\Gamma }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\alpha }^{\beta }P\left\lbrack {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack {x}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]\[{\int }_{\Gamma }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{\alpha }^{\beta }Q\left\lbrack {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack {y}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]\[{\int }_{\Gamma }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z = {\int }_{\alpha }^{\beta }R\left\lbrack {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]4. 两类曲线积分的关系
(1)设平面上有向曲线 \(L\) 上任一点 \(M\left( {x,y}\right)\) 处与 \(L\) 方向一致的切线的方向余弦为\[\cos \alpha = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s},\;\cos \beta = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}\]则\[{\int }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = {\int }_{L}\left( {P\cos \alpha + Q\cos \beta }\right) \mathrm{d}s\](2)设空间有向曲线 \(\Gamma\) 上任一点 \(N\left( {x,y,z}\right)\) 处与 \(\Gamma\) 方向一致的切线的方向余弦为\[\cos \alpha = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s},\;\cos \beta = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s},\;\cos \gamma = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}\]则\[{\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = {\int }_{\Gamma }\left( {P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma }\right) \mathrm{d}s\]
3. 格林公式及其应用
1. 格林(Green)公式
设函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在平面区域 \(D\) 及其边界曲线 \(L\) 上具有连续的一阶偏导数,则\[{\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = {\iint }_{D}\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]其中 \(L\) 取正向.
2. 平面上曲线积分与路径无关的条件
设函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在平面单连通区域 \(D\) 内具有连续的一阶偏导数,则下面四个命题等价.
命题 1 曲线 \(L\left( \overset{\frown}{AB}\right)\) 是 \(D\) 内由点 \(A\) 到点 \(B\) 的一段有向曲线,则曲线积分\[{\int }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]与路径无关,只与起点 \(A\) 和终点 \(B\) 有关.
命题 2 在区域 \(D\) 内沿任意一条闭曲线 \(L\) 的曲线积分有\[{\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = 0\]命题 3 在区域 \(D\) 内任意一点(x, y)处有\[\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\]命题 4 在 \(D\) 内存在函数 \(u\left( {x,y}\right)\) ,使得 \(P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\) 是该二元函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的全微分,即\[\mathrm{d}u = P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]3. 已知全微分求原函数
如果函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在单连通区域 \(D\) 内具有连续的一阶偏导数,且 \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\) ,则 \(P\mathrm{\;d}x\) \(+ Q\mathrm{\;d}y\) 是某个函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的全微分,且有\[u\left( {x,y}\right) = {\int }_{\left( {x}_{0},{y}_{0}\right) }^{\left( x,y\right) }P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]其中 \(\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 是区域 \(D\) 内的某一定点,(x, y)是 \(D\) 内的任一点.
4. 对面积的曲面积分
1. 对面积的曲面积分的概念 (又称第一类曲面积分)\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i}\]2. 对面积的曲面积分计算法
设光滑曲面 \(\sum\) 的方程为 \(z = z\left( {x,y}\right) ,\sum\) 在 \({xOy}\) 平面上的投影域为 \({D}_{xy}\) ,函数 \(z = z\left( {x,y}\right)\) 具有一阶连续的偏导数,被积函数 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(\sum\) 上连续,则\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = {\iint }_{{D}_{xy}}f\left\lbrack {x,y,z\left( {x,y}\right) }\right\rbrack \sqrt{1 + {\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) }^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]当光滑曲面 \(\sum\) 的方程为 \(x = x\left( {y,z}\right)\) 或 \(y = y\left( {z,x}\right)\) 时,可以把曲面积分化为相应的二重积分\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = {\iint }_{{D}_{yz}}f\left\lbrack {x\left( {y,z}\right) ,y,z}\right\rbrack \sqrt{1 + {\left( \frac{\partial x}{\partial y}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial x}{\partial z}\right) }^{2}}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]或\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = {\iint }_{{D}_{zx}}f\left\lbrack {x,y\left( {x,z}\right) ,z}\right\rbrack \sqrt{1 + {\left( \frac{\partial y}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial y}{\partial z}\right) }^{2}}\mathrm{d}z\mathrm{d}x\]其中 \({D}_{yz}\) 和 \({D}_{zx}\) 分别为曲面 \(\sum\) 在 \({yOz}\) 面和 \({zOx}\) 面上的投影域.
5. 对坐标的曲面积分
1. 对坐标的曲面积分的概念 (又称第二类曲面积分)
有向曲面 通常遇到的曲面都是双侧的, 规定了正侧的曲面称为有向曲面.
设 \(\sum\) 为光滑的有向曲面, \(P\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }R\left( {x,y,z}\right)\) 都是定义在 \(\sum\) 上的有界函数,将曲面 \(\sum\) 任意分成 \(n\) 个小曲面 \(\Delta {S}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,在每个小曲面上任取一点 \({N}_{i}\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right)\) ,曲面 \(\sum\) 的正侧在点 \({N}_{i}\) 处的法向量为\[{\va{n}}_{i} = \cos {\alpha }_{i}\vu{i} + \cos {\beta }_{i}\vu{j} + \cos {\gamma }_{i}\vu{k}\]有向小曲面 \(\Delta {S}_{i}\) 在 \({xOy}\) 平面上投影为 \(\Delta {S}_{i,{xy}} = \Delta {S}_{i}\cos {\gamma }_{i}\) ,如果当各小曲面直径的最大值 \(\lambda \rightarrow 0\) 时,和式 \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}R\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{xy}}\) 的极限存在,则称此极限为函数 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲面 \(\sum\) 的正侧上对坐标 \(x,y\) 的曲面积分,记为 \({\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\) ,即\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}R\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{xy}}\]类似地,函数 \(P\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲面 \(\sum\) 的正侧上对坐标 \(y,z\) 的曲面积分\[{\iint }_{\sum }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{yz}}\]其中 \(\Delta {S}_{i,{yz}} = \Delta {S}_{i}\cos {\alpha }_{i}\)
函数 \(Q\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲面 \(\sum\) 的正侧上对坐标 \(z,x\) 的曲面积分\[{\iint }_{\sum }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow 0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}Q\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{zx}}\]其中 \(\Delta {S}_{i,{zx}} = \Delta {S}_{i}\cos {\beta }_{i}\)
2. 对坐标的曲面积分的性质
若 \(\sum\) 表示有向曲面的正侧,该曲面的另一侧为负侧记为 \({\sum }^{ - }\) ,则有\[{\iint }_{\sum }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = - {\iint }_{{\sum }^{ - }}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]即当积分曲面改变为相反侧时, 对坐标的曲面积分要改变符号
3. 对坐标的曲面积分的计算法
设光滑曲面 \(\sum\) 是由方程 \(z = z\left( {x,y}\right)\) 所给出的曲面上侧,角 \(\gamma\) 是曲面 \(\sum\) 的法向量 \(\va{n}\) 与 \(z\) 轴的夹角,此时 \(\cos \gamma > 0\) ,曲面 \(\sum\) 在 \({xOy}\) 平面上的投影区域为 \({D}_{xy}\) ,函数 \(z = z\left( {x,y}\right)\) 在 \({D}_{xy}\) 上具有一阶连续偏导数,被积函数 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(\sum\) 上连续,则\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = {\iint }_{{D}_{xy}}R\left\lbrack {x,y,z\left( {x,y}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]如果积分曲面取在 \(\sum\) 的下侧,此时 \(\cos \gamma < 0\) ,则\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = - {\iint }_{{D}_{xy}}R\left\lbrack {x,y,z\left( {x,y}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]当曲面 \(\sum\) 是母线平行于 \(z\) 轴的柱面 \(F\left( {x,y}\right) = 0\) 时,此时 \(\displaystyle\cos \gamma = \cos \frac{\pi }{2} = 0\) ,则\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0\]类似地有\[{\iint }_{\sum }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \pm {\iint }_{{D}_{yz}}P\left\lbrack {x\left( {y,z}\right) ,y,z}\right\rbrack \mathrm{d}y\mathrm{d}z\]\[{\iint }_{\sum }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x = \pm {\iint }_{{D}_{zx}}Q\left\lbrack {x,y\left( {x,z}\right) ,z}\right\rbrack \mathrm{d}z\mathrm{d}x\]4. 两类曲面积分之间的关系
设曲面 \(\sum\) 上任一点(x, y, z)处法向量 \(\va{n}\) 的方向余弦为 \(\cos \alpha \text{ 、 }\cos \beta \text{ 、 }\cos \gamma\) 则有\[{\iint }_{\sum }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = {\iint }_{\sum }\left( {P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma }\right) \mathrm{d}S\]
6. 高斯公式 通量与散度
1. 高斯 (Gauss) 公式
设空间闭区域 \(\Omega\) 是由分片光滑的闭曲面 \(\sum\) 所围成,函数 \(P\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }R\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(\Omega\) 及其边界曲面 \(\sum\) 上具有连续的一阶偏导数,则\[{\oint}_{\sum}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = {\iiint }_{\Omega }\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]或\[{\oint}_{\sum}\left( {P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma }\right) \mathrm{d}S = {\iiint }_{\Omega }\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]其中 \(\sum\) 取外侧, \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma\) 是 \(\sum\) 上任一点(x, y, z)处外法线向量的方向余弦
2. 通量与散度
设向量场\[\va{A}\left( {x,y,z}\right) = P\left( {x,y,z}\right) \vu{i} + Q\left( {x,y,z}\right) \vu{j} + R\left( {x,y,z}\right) \vu{k}\]其中 \(P,Q,R\) 具有连续的一阶偏导数, \(\sum\) 是场内的一个有向曲面,则称\[\Phi = {\iint }_{\sum }\va{A} \vdot \mathrm{d}\va{S} = {\iint }_{\sum }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]为向量场 \(\va{A}\) 通过曲面 \(\sum\) 的通量 (或流量).
\(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\) 称为向量场 \(\va{A}\) 的散度,记作 \(\operatorname{div}\va{A}\) ,即\[\operatorname{div}\va{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]有了散度的概念, 高斯公式可写成\[{\oint}_{\sum }\va{A} \vdot \mathrm{d}\va{S} = {\iiint }_{\Omega }\operatorname{div}\va{A}\mathrm{d}V\]其中 \(\sum\) 是空间闭区域 \(\Omega\) 的边界曲面的外侧.
7. 斯托克斯公式 环流量与旋度
1. 斯托克斯 (Stokes) 公式
设函数 \(P\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }R\left( {x,y,z}\right)\) 在包含曲面 \(S\) 的空间域 \(\Omega\) 内具有连续的一阶偏导数, \(L\) 是曲面 \(\sum\) 的边界曲线,则\[\small {\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = {\iint }_{\sum }\left| \begin{array}{lll} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| = {\iint }_{\sum }\left| \begin{array}{lll} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| \mathrm{d}S\]其中 \(L\) 的正向与 \(\sum\) 所取的正侧符合右手法则, \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma\) 是曲面 \(S\) 的正侧上任一点(x, y, z) 处法向量 \(\va{n}\) 的方向余弦
2. 环流量与旋度
设向量场\[\va{A}\left( {x,y,z}\right) = P\left( {x,y,z}\right) \vu{i} + Q\left( {x,y,z}\right) \vu{j} + R\left( {x,y,z}\right) \vu{k}\]\(L\) 是场内的一条有向闭曲线,则称\[\Gamma = {\oint }_{L}\va{A} \vdot \mathrm{d}\va{S} = {\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z\]为向量场 \(\va{A}\) 沿曲线 \(L\) 的环流量,并称向量\[\left( {\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}}\right) \vu{i} + \left( {\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}}\right) \vu{j} + \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \vu{k}\]为向量 \(\va{A}\) 的旋度,记作 \(\operatorname{rot}\va{A}\) ,即\[\operatorname{rot}\va{A} = \left( {\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}}\right) \vu{i} + \left( {\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}}\right) \vu{j} + \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \vu{k} = \left| \begin{matrix} \vu{i} & \vu{j} & \vu{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix}\right|\]有了旋度的概念, 斯托克斯公式可写成\[{\oint }_{L}\va{A} \vdot \mathrm{d}\va{r} = {\iint }_{\sum }\operatorname{rot}\va{A} \vdot \mathrm{d}\va{S}\]其中 \(\mathrm{d}\va{r} = \mathrm{d}{x\vu{i}} + \mathrm{d}{y\vu{j}} + \mathrm{d}z\vu{k}\)
\(\mathrm{d}\va{S} = \mathrm{d}y\mathrm{d}z\vu{i} + \mathrm{d}z\mathrm{d}x\vu{j} + \mathrm{d}x\mathrm{d}y\vu{k}\)