1.函数
1. 函数的概念
设有两个变量 \(x\) 与 \(y\) ,如果变量 \(x\) 在其变化范围 \(D\) 内任取一个确定的数值时,变量 \(y\) 按照一定的规则 \(f\) 总有唯一确定的数值和它对应,则称变量 \(y\) 是变量 \(x\) 的函数,记为 \(y = f\left( x\right) .\, x\) 称为自变量, \(y\) 称为因变量, \(D\) 称为函数的定义域, \(f\) 表示由 \(x\) 确定 \(y\) 的对应规则.
2. 函数的主要性质
(1)有界性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在集合 \(D\) 上有定义,如果存在一个正常数 \(M\) ,使得对于 \(x\) 在 \(D\) 上的任意取值,均有 \(\left| {f\left( x\right) }\right| < M\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(D\) 上有界,否则称 \(f\left( x\right)\) 在 \(D\) 上无界.
(2)单调性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在某区间 \(D\) 上有定义,如果对于 \(D\) 上任意两点 \({x}_{1},{x}_{2}\) ,且 \({x}_{1} < {x}_{2}\) , 均有 \(f\left( {x}_{1}\right) < f\left( {x}_{2}\right)\) (或 \(f\left( {x}_{1}\right) > f\left( {x}_{2}\right)\) ),则称函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(D\) 上单调增加 (或单调减少). 单调增加与单调减少函数统称为单调函数.
(3)奇偶性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在关于原点对称的区间 \(D\) 上有定义,如果对 \(D\) 上任意点 \(x\) ,均有 \(f\left( {-x}\right) = f\left( x\right)\) (或 \(f\left( {-x}\right) = - f\left( x\right)\) ),则称函数 \(f\left( x\right)\) 为偶函数 (或奇函数).
(4)周期性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在集合 \(D\) 上有定义,如果存在正常数 \(T\) ,使得对于 \(D\) 上任意 \(x\) , 均有 \(f\left( {x + T}\right) = f\left( x\right)\) ,则称 \(f\left( x\right)\) 为周期函数,使上式成立的最小正数为周期函数的周期.
3. 基本初等函数与初等函数
常数函数 \(y = c\left( {c\text{ 为常数 }}\right)\) ,幂函数 \(y = {x}^{\alpha }\left( {\alpha \in R}\right)\) ,指数函数 \(y= {a}^{x}\left( {a \neq 1,a > 0}\right)\) ,对数函数 \(y = {\log }_{a}x\left( {a \neq 1,a > 0}\right)\) ,三角函数和反三角函数称为基本初等函数. 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合, 并由一个式子表示的函数称为初等函数.
2.数列的极限
1. 数列
一个定义在正整数集合上的函数 \({a}_{n} = f\left( n\right)\) (称为整标函数),当自变量 \(n\) 按正整数 \(1,2,3,\cdots\) 依次增大的顺序取值时,函数按相应的顺序排成一串数:\[f\left( 1\right) ,f\left( 2\right) ,f\left( 3\right) ,\cdots ,f\left( n\right) ,\cdots\]称为一个无穷数列,简称数列. 数列中的每一个数称为数列的项, \(f\left( n\right)\) 称为数列的一般项或通项.
2. 数列极限的定义
(1)设 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 是一数列,如果存在常数 \(a\) ,当 \(n\) 无限增大时, \({a}_{n}\) 无限接近(或趋近)于 \(a\) ,则称数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 收敛, \(a\) 称为数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 的极限,或称数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 收敛于 \(a\) ,记为 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a\) ,或 \(n \rightarrow \infty ,{a}_{n} \rightarrow a\) . 当 \(n \rightarrow \infty\) 时,若不存在这样的常数 \(a\) ,则称数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 发散或不收敛,也可以说极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}\) 不存在.
(2)设 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 为一个数列, \(a\) 为一个常数. 若对任意给定的 \(\varepsilon > 0\) ,都存在一个正整数 \(N\) ,使得 \(n\) \(> N\) 的一切 \({a}_{n}\) 都满足不等式 \(\left| {{a}_{n} - a}\right| < \varepsilon\) ,则称 \(a\) 为数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 当 \(n \rightarrow \infty\) 时的极限,记为\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a\]3. 数列极限的性质
(1)唯一性 收敛数列的极限是唯一的.即若数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 收敛,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a\) 和 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = b\) ,则 \(a = b\) .
(2)有界性 假设数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 收敛,则数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 必有界,即存在常数 \(M > 0\) ,使得 \(\left| {a}_{n}\right| < M\) (任意 \(n\) \(\in N\) ). 这个性质中的 \(M\) 显然不是唯一的,重要的是它的存在性.
(3)保号性 假设数列 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 收敛,其极限为 \(a\) .
\(\hspace{8pt}\)①若有正整数 \(N\) ,使得当 \(n > N\) 时 \({a}_{n} > 0\) (或 \(< 0\) ),则 \(a \geq 0\) (或 \(\leq 0\) ).
\(\hspace{8pt}\)②若 \(a > 0\) (或 \(< 0\) ),则有正整数 \(N\) ,使得当 \(n > N\) 时, \({a}_{n} > 0\) (或 \(< 0\) ).
3.函数的极限
1. 函数极限的定义
设函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 的邻域内 (点 \({x}_{0}\) 可除外) 有定义, \(A\) 为一个常数. 若对任意给定的 \(\varepsilon > 0\) ,都存在一个正数 \(\delta\) ,使得满足 \(0 < \left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f\left( x\right)\) 都满足不等式 \(\left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon\) ,则称 \(A\) 为函数 \(f\left( x\right)\) 当 \(x \rightarrow {x}_{0}\) 时的极限,记为\[\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = A\]2. 左极限和右极限的定义
若对于满足 \(0 < {x}_{0} - x < \delta \left( {0 < x - {x}_{0} < \delta }\right)\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f\left( x\right)\) 都满足不等式 \(\left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon\) ,则称 \(A\) 为函数 \(f\left( x\right)\) 当 \(x\) 自 \({x}_{0}\) 左(右) 侧趋于 \({x}_{0}\) 时的极限,即左 (右) 极限, 分别记为\[\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}^{ - }}}f\left( x\right) = f\left( {{x}_{0} - 0}\right) = A\quad({\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}^{ + }}}f\left( x\right) = f\left( {{x}_{0} + 0}\right) = A})\]类似地,可以给出当 \(x \rightarrow \infty ,x \rightarrow + \infty ,x \rightarrow - \infty\) 时, \(f\left( x\right)\) 的极限为 \(A\) 的定义
3. 极限的性质
(1) 唯一性 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = A\) ,则 \(A\) 必唯一
(2) 有界性 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = A\) ,则 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 的某一邻域 \(\left( {x}_{0}除外\right)\) 内是有界的
(3) 保号性 设 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 的某邻域 \(\left( {x}_{0}\right.\) 除外 \()\) 内均有 \(f\left( x\right) \geq 0\) (或 \(f\left( x\right) \leq 0\) ),且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) =\) \(A\) ,则 \(A \geq 0\) (或 \(A \leq 0\) )
4. 充要条件
\(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = A \Leftrightarrow f\left( {{x}_{0} - 0}\right) = f\left( {{x}_{0} + 0}\right) = A\)
4.无穷小与无穷大
1. 无穷小与无穷大的定义
(1) 无穷小的定义 若 \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ \left({x \rightarrow \infty }\right) }}f\left( x\right) = 0\) ,则称 \(f\left( x\right)\) 当 \(x \rightarrow {x}_{0}\left( {x \rightarrow \infty }\right)\) 时为无穷小
(2)无穷大的定义 若对任意给定的 \(M > 0\) ,都存在一个正数 \(\delta \left( N\right)\) ,使得满足 \(0 < \left| {x - {x}_{0}}\right| <\) \(\delta \left( {\left| x\right| > N}\right)\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f\left( x\right)\) 都满足不等式 \(\left| {f\left( x\right) }\right| > M\) ,则称 \(f\left( x\right)\) 当 \(x \rightarrow {x}_{0}\left( {x \rightarrow \infty }\right)\) 时为无穷大, 记为\[\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ \left( {x \rightarrow \infty }\right) }}f\left( x\right) = \infty\]2. 无穷小与无穷大的关系 (以下所讨论的极限, 都是在自变量同一变化过程中的极限)
若 \(\lim f\left( x\right) = 0\;\left( {f\left( x\right) \neq 0}\right)\) ,则 \(\lim \frac{1}{f\left( x\right) } = \infty\)
若 \(\lim f\left( x\right) = \infty\) ,则 \(\lim \frac{1}{f\left( x\right) } = 0\)
5. 极限运算法则
1. 运算法则
设 \(\lim f\left( x\right)\) 与 \(\lim g\left( x\right)\) 均存在,则
\(\lim \left\lbrack {f\left( x\right) \pm g\left( x\right) }\right\rbrack = \lim f\left( x\right) \pm \lim g\left( x\right)\)
\(\lim \left\lbrack {f\left( x\right) \vdot g\left( x\right) }\right\rbrack = \lim f\left( x\right) \vdot \lim g\left( x\right)\)
\(\displaystyle\lim \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \frac{\lim f\left( x\right) }{\lim g\left( x\right) }\left( {\lim g\left( x\right) \neq 0}\right)\)
2. 无穷小运算法则
(1)有限多个无穷小之和仍是无穷小
(2) 有限多个无穷小之积仍是无穷小
(3) 有界变量与无穷小之积仍为无穷小.所谓变量 \(u\) 有界是指: 存在常数 \(M > 0,u\) 在其变化过程中总有 \(\left| u\right|< M\)
3. 无穷小与函数极限之间的关系
在一个极限过程中,函数 \(f\left( x\right)\) 的极限为 \(A\) 的充分必要条件是 \(f\left( x\right) = A + \alpha\) ,其中 \(\alpha\) 为这个极限过程中的无穷小量 (即 \(\mathop{\lim }\limits_{{\alpha = 0}}\alpha = 0\) )
6. 极限存在准则 两个重要极限
1. 两个准则
(1)准则 I(夹逼准则) 如果数列 \(\left\{ {x}_{n}\right\} ,\left\{ {y}_{n}\right\}\) 及 \(\left\{ {z}_{n}\right\}\) 满足下列条件
① \({y}_{n} \leq {x}_{n} \leq {z}_{n},n = 1,2,\cdots\)
② \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{y}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{z}_{n} = a\)
则数列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 的极限存在,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a\)
准则 \({\mathrm{I}}^{\prime }\) 设函数 \(f\left( x\right) \text{ 、 }g\left( x\right) \text{ 、 }h\left( x\right)\) 有定义,且满足下列条件:
① 当 \(x \in \left\{ {x\left| {0 < }\right| x - {x}_{0} \mid < h}\right\}\) (或 \(\left| x\right| > M\) ) 时,有 \(g\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq h\left( x\right)\) 成立
② \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ \left( {x \rightarrow \infty }\right) }}g\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ \left( {x \rightarrow \infty }\right) }}h\left( x\right) = a\)
则 \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ \left( {x \rightarrow \infty }\right) }}f\left( x\right)\) 存在,且 \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ \left( {x \rightarrow \infty }\right) }}f\left( x\right) = a\)
(2)准则II 单调有界数列必有极限
2. 两个重要极限
(1) \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x}{x} = 1\) ；
(2) \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}{\left( 1 + x\right) }^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e}\) 或 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e}\)
7.无穷小的比较
1. 无穷小的阶
设 \(\alpha \text{ 、 }\beta\) 都是无穷小. 若 \(\lim \frac{\beta }{\alpha } = 0\) ,则称 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小,记作 \(\beta =\) \(o\left( \alpha \right)\) ; 若 \(\lim \frac{\beta }{\alpha } = \infty\) ,则称 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小; 若 \(\lim \frac{\beta }{\alpha } = c \neq 0\) ,则称 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小,记作 \(\beta = O\left( \alpha \right)\) ; 特别地,当 \(c = 1\) 时,则称 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小,记作 \(\alpha \sim \beta\) .
给定无穷小 \(\beta\) ,若存在无穷小 \(\alpha\) ,使它们的差 \(\beta - \alpha\) 是比 \(\alpha\) 较高阶的无穷小,即
\[\beta - \alpha = o\left( \alpha \right) \text{ 或 }\beta = \alpha + o\left( \alpha \right)\]则称 \(\alpha\) 是无穷小 \(\beta\) 的主部
若 \(\beta\) 和 \({\alpha }^{k}\left( {k > 0}\right)\) 是同阶无穷小,则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小
2. 等价无穷小代换定理
若 \(\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime }\) ,且 \(\displaystyle\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }} = A\) ,则\[\displaystyle\lim \frac{\alpha }{\beta } = \lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }} = A.\]3. 常见的等价无穷小
见需熟记的重要公式——x\(\to\)0时的等价无穷小
8.连续函数的运算与初等函数的连续性
1. 函数连续的概念
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 连续. 若函数在区间 \(I\) 内每一点都连续,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(I\) 内连续
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}^{ - }}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 左连续; 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}^{ + }}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 右连续
充要条件\(\quad\)\(f\left( x\right)\) 在 \(x = {x}_{0}\) 处连续 \(\Leftrightarrow f\left( x\right)\) 在 \(x = {x}_{0}\) 处既左连续又右连续
2. 间断点的概念
若函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 不满足下列三个条件之一:
\(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 有定义; \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right)\) 存在; \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称点 \({x}_{0}\) 是函数 \(f\left( x\right)\) 的间断点
间断点分为:
第一类间断点\(\quad\)左、右极限都存在的间断点；左、右极限不仅存在而且相等的间断点,又称为可去间断点
第二类间断点\(\quad\)左、右极限至少有一个不存在的间断点
3. 连续函数的四则运算性质及初等函数的连续性
(1)连续函数的四则运算性质 若函数 \(f\left( x\right) \text{ 、 }g\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 连续,则\[f\left( x\right) \pm g\left( x\right) \text{ 、 }f\left( x\right) g\left( x\right) \text{ 、 }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\;\left( {g\left( {x}_{0}\right) \neq 0}\right)\]在点 \({x}_{0}\) 也连续
(2)复合函数的连续性 若函数 \(u = \varphi \left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 连续,函数 \(y = f\left( u\right)\) 在点 \({u}_{0} = \varphi \left( {x}_{0}\right)\) 连续, 则函数 \(y = f\left\lbrack {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack\) 在点 \({x}_{0}\) 连续
(3)初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内均连续
(4)反函数的连续性 设函数 \(y = f\left( x\right)\) 在区间(a, b)内为单调增 (减) 的连续函数,其值域为 (A, B),则必存在反函数 \(x = {f}^{-1}\left( y\right)\) ,且 \(x = {f}^{-1}\left( y\right)\) 在(A, B)内为单调增 (减) 的连续函数
9. 闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数必取得最大值和最小值
(2)有界性定理 闭区间上的连续函数在该区间上有界
(3)介值定理 闭区间上的连续函数必取得介于它的最大值和最小值之间的一切值
\(\quad\)零点定理\(\quad\)设函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,且 \(f\left( a\right) \vdot f\left( b\right) < 0\) ,则在开区间(a, b)内至少存在一点 \(\xi\) ,使 \(f\left( \xi \right) = 0\)