1. 数学期望
1. 离散型随机变量的数学期望
设随机变量 \(X\) 的分布律为 \(P\left\{ {X = {x}_{k}}\right\} = {p}_{k}\;\left( {k = 1,2,3,\cdots }\right)\)
若级数 \(\mathop{\sum }\limits_{k}{x}_{k}{p}_{k}\) 绝对收敛,则称它的和为 \(X\) 的数学期望,记作 \({EX}\) ,即 \({EX} = \mathop{\sum }\limits_{k}{x}_{k}{p}_{k}\)
2. 连续型随机变量的数学期望
设随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f\left( x\right)\) ,若积分 \(\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x\) 绝对收敛,则称其值为 \(X\) 的数学期望,记作 \({EX}\) ,则 \(\displaystyle {EX} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x\)
3. 离散型随机变量函数的数学期望
(1)一维随机变量函数的期望 设 \(X\) 的分布律为 \(P\left\{ {X = {x}_{k}}\right\} = {p}_{k}\) ,又 \(Y = g\left( X\right)\) ,则 \({EY} = \mathop{\sum }\limits_{k}g\left( {x}_{k}\right) {p}_{k}\)
(2)二维随机变量函数的期望 设(X, Y)的联合分布律为 \(P\left\{ {X = {x}_{i},Y = {y}_{j}}\right\} = {p}_{ij}\) ,又 \(Z =\) \(g\left( {X,Y}\right)\) ,则 \({EZ} = \mathop{\sum }\limits_{i}\mathop{\sum }\limits_{j}g\left( {{x}_{i},{y}_{j}}\right) {p}_{ij}\)
4. 连续型随机变量函数的数学期望
(1)一维随机变量函数的数学期望 设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f\left( x\right)\) ,又 \(Y =g\left( X\right)\) ,则 \(\displaystyle {EY} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left( x\right) \vdot f\left( x\right) \mathrm{d}x\)
(2)二维随机变量函数的数学期望 设连续型二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 \(f\left( {x,y}\right)\) ,又 \(Z = g\left( {X,Y}\right)\) ,则 \(\displaystyle {EZ} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left( {x,y}\right) \vdot f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
5. 数学期望的性质
(1)\(E\left( c\right) = c\) ( \(c\) 为任意常数)
(2)\(E\left( {cX}\right) = {cEX}\) ( \(c\) 为任意常数)
(3)\(E\left( {X + Y}\right) = {EX} + {EY}\)
(4)若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立,则有 \(E\left( {XY}\right) = {EX} \vdot {EY}\)
(5)\({\left\lbrack E\left( XY\right) \right\rbrack }^{2} \leq E\left( {X}^{2}\right) \vdot E\left( {Y}^{2}\right)\)
2. 方差
1. 方差的统一定义和简化公式
若随机变量 \(X\) 的数学期望 \({EX}\) 存在,则 \(X\) 的方差可用下式统一定义:\[{DX} = E{\left( X - EX\right) }^{2}\]其简化计算公式为\[{DX} = E{X}^{2} - {\left( EX\right) }^{2}\]2. 方差的性质
(1)\(D\left( c\right) = 0\;\left( {c\text{ 为任意常数 }}\right)\)
(2)\(D\left( {cX}\right) = {c}^{2}{DX}\) (c为任意常数)
(3)若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立,则有 \(D\left( {X \pm Y}\right) = {DX} + {DY}\)
3. 常见离散型分布的数字特征
(1)若 \(X \sim B\left( {n,p}\right)\) ,则 \({EX} = {np},{DX} = {npq}\left( {0 < p < 1,p + q = 1}\right)\)
(2)若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布,则 \({EX} = \lambda ,{DX} = \lambda \left( {\lambda > 0}\right)\)
(3)若 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布,则 \(\displaystyle {EX} = \frac{1}{p},{DX} = \frac{1 - p}{{p}^{2}}\)
4. 常见连续型分布的数字特征
(1)若 \(X \sim N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)\) ,则 \({EX} = \mu ,{DX} = {\sigma }^{2}\)
(2)若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布,则 \(\displaystyle {EX} = \frac{1}{\lambda },{DX} = \frac{1}{{\lambda }^{2}}\left( {\lambda > 0}\right)\)
(3)若 \(X\) 服从 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上的均匀分布,则 \(\displaystyle {EX} = \frac{a + b}{2},{DX} = \frac{{\left( b - a\right) }^{2}}{12}\)
3. 协方差与相关系数
1. 协方差
对于二维随机变量 \(\left( {X,Y}\right) ,\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right) = E\left\lbrack {E - E\left( X\right) }\right\rbrack \left\lbrack {Y - E\left( Y\right) }\right\rbrack\) 是其协方差, 或用 \(\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right) = E\left( {XY}\right) - {EX} \vdot {EY}\) 表示
协方差的性质
(1)\(\operatorname{Cov}\left( {X,X}\right) = {DX}\)
(2)\(\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right) = \operatorname{Cov}\left( {Y,X}\right)\)
(3)\(\operatorname{Cov}\left( {{aX},{bY}}\right) = {ab}\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right)\)
(4)\(\operatorname{Cov}\left( {{X}_{1} + {X}_{2},Y}\right) = \operatorname{Cov}\left( {{X}_{1},Y}\right) + \operatorname{Cov}\left( {{X}_{2},Y}\right)\)
(5)\(D\left( {X \pm Y}\right) = D\left( X\right) + D\left( Y\right) \pm 2\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right)\)
2. 相关系数\[{\rho }_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right) }{\sqrt{D\left( X\right) }\sqrt{D\left( Y\right) }}\;\left( {D\left( X\right) > 0,D\left( Y\right) > 0}\right)\]当 \({\rho }_{XY} = 0\) 时, \(X\) 与 \(Y\) 是不相关的
相关系数反映了两个随机变量的线性相关程度,当其绝对值越接近 1 时, \(X\) 与 \(Y\) 的线性相关程度就越强,反之,越接近 0 时, \(X\) 与 \(Y\) 线性相关程度就越弱
相关系数的性质
(1)\(- 1 \leq {\rho }_{XY} \leq 1\)
(2)若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立,则 \({\rho }_{XY} = 0\) ,即 \(X,Y\) 不相关. 反之不一定成立
(3)若 \(X,Y\) 之间有线性关系,即 \(Y = {aX} + b\left( {a,b\text{ 为常数， }a \neq 0}\right)\) ,则 \(\left| {\rho }_{XY}\right| = 1\) ,且 \(a > 0\) 时, \({\rho }_{XY}\) \(= 1;a < 0\) 时, \({\rho }_{XY} = - 1\)
3. 二维正态分布的参数意义
当 \(\left( {X,Y}\right) \sim N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2};{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2};\rho }\right)\) 时,\[{EX} = {\mu }_{1},\;{EY} = {\mu }_{2},\;{DX} = {\sigma }_{1}^{2},\;{DY} = {\sigma }_{2}^{2},\;{\rho }_{XY} = \rho\]且 \(X,Y\) 相互独立 \(\Leftrightarrow X\text{ 、 }Y\) 不相关
4. 矩
(1)原点矩 设 \(X\) 与 \(Y\) 是随机变量,如果 \(E\left( {{X}^{k}{Y}^{l}}\right) \left( {k,l = 0,1,2,\cdots }\right)\) 存在,则称它为 \(X\) 与 \(Y\) 的 \(k + l\) 阶混合原点矩
特别地,当 \(l = 0\) 时,称 \(E{X}^{k}\) 为 \(X\) 的 \(k\) 阶原点矩
显然,随机变量 \(X\) 的一阶原点矩就是它的数学期望 \({EX}\)
(2)中心矩 设随机变量 \(X\text{ 、 }Y\) 的数学期望 \({EX}\text{ 、 }{EY}\) 存在,且 \(E{\left( X - EX\right) }^{k}{\left( Y - EY\right) }^{l}\) 存在,则称它为 \(X\) 与 \(Y\) 的 \(k + l\) 阶混合中心矩
特别地,当 \(k = l = 1\) 时,就是 \(X\text{ 、 }Y\) 的协方差 \(E\left( {X - {EX}}\right) \left( {Y - {EY}}\right)\) ,当 \(l = 0\) 时,称 \(E(X -\) \({EX}{)}^{k}\) 为 \(X\) 的 \(k\) 阶中心矩
显然,随机变量 \(X\) 的二阶中心矩就是它的方差 \({DX} = E{\left( X - EX\right) }^{2}\)
5. 协方差矩阵
设 \(\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 为 \(n\) 维随机变量,记 \({C}_{ij} = \operatorname{Cov}\left( {{X}_{i},{X}_{j}}\right) ,i,j = 1,2,\cdots ,n\) ,称\[\left\lbrack \begin{matrix} {C}_{11} & {C}_{12} & \cdots & {C}_{1n} \\ {C}_{21} & {C}_{22} & \cdots & {C}_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {C}_{n1} & {C}_{n2} & \cdots & {C}_{nn} \end{matrix}\right\rbrack \text{ 为 }\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) \text{ 的协方差矩阵}\]