概率论-第四章-随机变量的数字特征

1. 数学期望

1. 离散型随机变量的数学期望
设随机变量 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k\left(k=1,2,3,\cdots \right)$
若级数 $\sum _k{x}_k{p}_k$ 绝对收敛,则称它的和为 $X$ 的数学期望,记作 $EX$ ,即 $EX=\sum _k{x}_k{p}_k$
2. 连续型随机变量的数学期望
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)$ ,若积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf\left(x\right)\mathrm{d}x}$ 绝对收敛,则称其值为 $X$ 的数学期望,记作 $EX$ ,则 ${\displaystyle EX={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf\left(x\right)\mathrm{d}x}$
3. 离散型随机变量函数的数学期望
(1)一维随机变量函数的期望 设 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k$ ,又 $Y=g\left(X\right)$ ,则 $EY=\sum _{k}g\left(x_k\right)p_k$
(2)二维随机变量函数的期望 设(X, Y)的联合分布律为 $P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}=p_{ij}$ ,又 $Z=$  $g\left(X,Y\right)$ ,则 $EZ=\sum _i\sum _{j}g\left(x_i,y_j\right)p_{ij}$
4. 连续型随机变量函数的数学期望
(1)一维随机变量函数的数学期望 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)$ ,又 $Y=g\left(X\right)$ ,则 ${\displaystyle EY={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g\left(x\right)\text{vdot}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$
(2)二维随机变量函数的数学期望 设连续型二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 $f\left(x,y\right)$ ,又 $Z=g\left(X,Y\right)$ ,则 ${\displaystyle EZ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g\left(x,y\right)\text{vdot}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$
5. 数学期望的性质
(1)$E\left(c\right)=c$ ( $c$ 为任意常数)
(2)$E\left(cX\right)=cEX$ ( $c$ 为任意常数)
(3)$E\left(X+Y\right)=EX+EY$
(4)若 $X$ 与 $Y$ 相互独立,则有 $E\left(XY\right)=EX\text{vdot}EY$
(5)${\left[E\left(XY\right)\right]}^2\le E\left(X^2\right)\text{vdot}E\left(Y^2\right)$

2. 方差

1. 方差的统一定义和简化公式
若随机变量 $X$ 的数学期望 $EX$ 存在,则 $X$ 的方差可用下式统一定义:$$DX=E{(X-EX)}^2$$其简化计算公式为$$DX=E{X}^2-{\left(EX\right)}^2$$2. 方差的性质
(1)$D\left(c\right)=0\left(c\text{ 为任意常数 }\right)$
(2)$D\left(cX\right)=c^{2}DX$ (c为任意常数)
(3)若 $X$ 与 $Y$ 相互独立,则有 $D\left(X\pm Y\right)=DX+DY$
3. 常见离散型分布的数字特征
(1)若 $X\sim B\left(n,p\right)$ ,则 $EX=np,DX=npq\left(0<p<1,p+q=1\right)$
(2)若 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,则 $EX=\lambda ,DX=\lambda \left(\lambda >0\right)$
(3)若 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布,则 ${\displaystyle EX=\frac{1}{p},DX=\frac{1-p}{p^2}}$
4. 常见连续型分布的数字特征
(1)若 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ ,则 $EX=\mu ,DX={\sigma }^2$
(2)若 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布,则 ${\displaystyle EX=\frac{1}{\lambda },DX=\frac{1}{{\lambda }^2}\left(\lambda >0\right)}$
(3)若 $X$ 服从 $\left[a,b\right]$ 上的均匀分布,则 ${\displaystyle EX=\frac{a+b}{2},DX=\frac{{(b-a)}^2}{12}}$

3. 协方差与相关系数

1. 协方差
对于二维随机变量 $\left(X,Y\right),\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left[E-E\left(X\right)\right]\left[Y-E\left(Y\right)\right]$ 是其协方差, 或用 $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-EX\text{vdot}EY$ 表示
协方差的性质
(1)$\mathrm{Cov}\left(X,X\right)=DX$
(2)$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=\mathrm{Cov}\left(Y,X\right)$
(3)$\mathrm{Cov}\left(aX,bY\right)=ab\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)$
(4)$\mathrm{Cov}\left(X_1+X_2,Y\right)=\mathrm{Cov}\left(X_1,Y\right)+\mathrm{Cov}\left(X_2,Y\right)$
(5)$D\left(X\pm Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\pm 2\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)$
2. 相关系数$${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}\left(D\left(X\right)>0,D\left(Y\right)>0\right)$$当 ${\rho }_{XY}=0$ 时, $X$ 与 $Y$ 是不相关的
相关系数反映了两个随机变量的线性相关程度,当其绝对值越接近 1 时, $X$ 与 $Y$ 的线性相关程度就越强,反之,越接近 0 时, $X$ 与 $Y$ 线性相关程度就越弱
相关系数的性质
(1)$-1\le {\rho }_{XY}\le 1$
(2)若 $X$ 与 $Y$ 相互独立,则 ${\rho }_{XY}=0$ ,即 $X,Y$ 不相关. 反之不一定成立
(3)若 $X,Y$ 之间有线性关系,即 $Y=aX+b\left(a,b\text{ 为常数， }a\ne 0\right)$ ,则 $\left|{\rho }_{XY}\right|=1$ ,且 $a>0$ 时, ${\rho }_{XY}$  $=1;a<0$ 时, ${\rho }_{XY}=-1$
3. 二维正态分布的参数意义
当 $\left(X,Y\right)\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2;{\mu }_2,{\sigma }_2^2;\rho \right)$ 时,$$EX={\mu }_1,EY={\mu }_2,DX={\sigma }_1^2,DY={\sigma }_2^2,{\rho }_{XY}=\rho$$且 $X,Y$ 相互独立 $\iff X\text{ 、 }Y$ 不相关
4. 矩
(1)原点矩 设 $X$ 与 $Y$ 是随机变量,如果 $E\left(X^k{Y}^l\right)\left(k,l=0,1,2,\cdots \right)$ 存在,则称它为 $X$ 与 $Y$ 的 $k+l$ 阶混合原点矩
特别地,当 $l=0$ 时,称 $E{X}^k$ 为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩
显然,随机变量 $X$ 的一阶原点矩就是它的数学期望 $EX$
(2)中心矩 设随机变量 $X\text{ 、 }Y$ 的数学期望 $EX\text{ 、 }EY$ 存在,且 $E{(X-EX)}^k{(Y-EY)}^l$ 存在,则称它为 $X$ 与 $Y$ 的 $k+l$ 阶混合中心矩
特别地,当 $k=l=1$ 时,就是 $X\text{ 、 }Y$ 的协方差 $E\left(X-EX\right)\left(Y-EY\right)$ ,当 $l=0$ 时,称 $E(X-$  $EX{)}^k$ 为 $X$ 的 $k$ 阶中心矩
显然,随机变量 $X$ 的二阶中心矩就是它的方差 $DX=E{(X-EX)}^2$
5. 协方差矩阵
设 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为 $n$ 维随机变量,记 $C_{ij}=\mathrm{Cov}\left(X_i,X_j\right),i,j=1,2,\cdots ,n$ ,称$$\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1n}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ C_{n1}& C_{n2}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]\text{ 为 }\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\text{ 的协方差矩阵}$$