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第一部分 高数

第一部分 高数

第一章 极限与连续

1.函数

1. 函数的概念
设有两个变量 \(x\) 与 \(y\) ,如果变量 \(x\) 在其变化范围 \(D\) 内任取一个确定的数值时,变量 \(y\) 按照一定的规则 \(f\) 总有唯一确定的数值和它对应,则称变量 \(y\) 是变量 \(x\) 的函数,记为 \(y = f\left( x\right) .\, x\) 称为自变量, \(y\) 称为因变量, \(D\) 称为函数的定义域, \(f\) 表示由 \(x\) 确定 \(y\) 的对应规则.
2. 函数的主要性质
(1)有界性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在集合 \(D\) 上有定义,如果存在一个正常数 \(M\) ,使得对于 \(x\) 在 \(D\) 上的任意取值,均有 \(\left| {f\left( x\right) }\right|  < M\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(D\) 上有界,否则称 \(f\left( x\right)\) 在 \(D\) 上无界.
(2)单调性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在某区间 \(D\) 上有定义,如果对于 \(D\) 上任意两点 \({x}_{1},{x}_{2}\) ,且 \({x}_{1} < {x}_{2}\) , 均有 \(f\left( {x}_{1}\right)  < f\left( {x}_{2}\right)\) (或 \(f\left( {x}_{1}\right)  > f\left( {x}_{2}\right)\) ),则称函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(D\) 上单调增加 (或单调减少). 单调增加与单调减少函数统称为单调函数.
(3)奇偶性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在关于原点对称的区间 \(D\) 上有定义,如果对 \(D\) 上任意点 \(x\) ,均有 \(f\left( {-x}\right)  = f\left( x\right)\) (或 \(f\left( {-x}\right)  =  - f\left( x\right)\) ),则称函数 \(f\left( x\right)\) 为偶函数 (或奇函数).
(4)周期性 设函数 \(f\left( x\right)\) 在集合 \(D\) 上有定义,如果存在正常数 \(T\) ,使得对于 \(D\) 上任意 \(x\) , 均有 \(f\left( {x + T}\right)  = f\left( x\right)\) ,则称 \(f\left( x\right)\) 为周期函数,使上式成立的最小正数为周期函数的周期.
3. 基本初等函数与初等函数
常数函数 \(y = c\left( {c\text{ 为常数 }}\right)\) ,幂函数 \(y = {x}^{\alpha }\left( {\alpha  \in  R}\right)\) ,指数函数 \(y= {a}^{x}\left( {a \neq  1,a > 0}\right)\) ,对数函数 \(y = {\log }_{a}x\left( {a \neq  1,a > 0}\right)\) ,三角函数和反三角函数称为基本初等函数. 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合, 并由一个式子表示的函数称为初等函数.

2.数列的极限

1. 数列
一个定义在正整数集合上的函数 \({a}_{n} = f\left( n\right)\) (称为整标函数),当自变量 \(n\) 按正整数 \(1,2,3,\cdots\) 依次增大的顺序取值时,函数按相应的顺序排成一串数:\[f\left( 1\right) ,f\left( 2\right) ,f\left( 3\right) ,\cdots ,f\left( n\right) ,\cdots\]称为一个无穷数列,简称数列. 数列中的每一个数称为数列的项, \(f\left( n\right)\) 称为数列的一般项或通项.
2. 数列极限的定义
(1)设 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 是一数列,如果存在常数 \(a\) ,当 \(n\) 无限增大时, \({a}_{n}\) 无限接近(或趋近)于 \(a\) ,则称数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 收敛, \(a\) 称为数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 的极限,或称数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 收敛于 \(a\) ,记为 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{a}_{n} = a\) ,或 \(n \rightarrow  \infty ,{a}_{n} \rightarrow  a\) . 当 \(n \rightarrow  \infty\) 时,若不存在这样的常数 \(a\) ,则称数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 发散或不收敛,也可以说极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{a}_{n}\) 不存在.
(2)设 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 为一个数列, \(a\) 为一个常数. 若对任意给定的 \(\varepsilon  > 0\) ,都存在一个正整数 \(N\) ,使得 \(n\)  \(> N\) 的一切 \({a}_{n}\) 都满足不等式 \(\left| {{a}_{n} - a}\right|  < \varepsilon\) ,则称 \(a\) 为数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 当 \(n \rightarrow  \infty\) 时的极限,记为\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{a}_{n} = a\]3. 数列极限的性质
(1)唯一性 收敛数列的极限是唯一的.即若数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 收敛,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{a}_{n} = a\) 和 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{a}_{n} = b\) ,则 \(a = b\) .
(2)有界性 假设数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 收敛,则数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 必有界,即存在常数 \(M > 0\) ,使得 \(\left| {a}_{n}\right|  < M\) (任意 \(n\)  \(\in  N\) ). 这个性质中的 \(M\) 显然不是唯一的,重要的是它的存在性.
(3)保号性 假设数列 \(\left\{  {a}_{n}\right\}\) 收敛,其极限为 \(a\) .
\(\hspace{8pt}\)①若有正整数 \(N\) ,使得当 \(n > N\) 时 \({a}_{n} > 0\) (或 \(< 0\) ),则 \(a \geq  0\) (或 \(\leq  0\) ).
\(\hspace{8pt}\)②若 \(a > 0\) (或 \(< 0\) ),则有正整数 \(N\) ,使得当 \(n > N\) 时, \({a}_{n} > 0\) (或 \(< 0\) ).

3.函数的极限

1. 函数极限的定义
设函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 的邻域内 (点 \({x}_{0}\) 可除外) 有定义, \(A\) 为一个常数. 若对任意给定的 \(\varepsilon  > 0\) ,都存在一个正数 \(\delta\) ,使得满足 \(0 < \left| {x - {x}_{0}}\right|  < \delta\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f\left( x\right)\) 都满足不等式 \(\left| {f\left( x\right)  - A}\right|  < \varepsilon\) ,则称 \(A\) 为函数 \(f\left( x\right)\) 当 \(x \rightarrow  {x}_{0}\) 时的极限,记为\[\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = A\]2. 左极限和右极限的定义
若对于满足 \(0 < {x}_{0} - x < \delta \left( {0 < x - {x}_{0} < \delta }\right)\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f\left( x\right)\) 都满足不等式 \(\left| {f\left( x\right)  - A}\right|  < \varepsilon\) ,则称 \(A\) 为函数 \(f\left( x\right)\) 当 \(x\) 自 \({x}_{0}\) 左(右) 侧趋于 \({x}_{0}\) 时的极限,即左 (右) 极限, 分别记为\[\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}^{ - }}}f\left( x\right)  = f\left( {{x}_{0} - 0}\right)  = A\quad({\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}^{ + }}}f\left( x\right)  = f\left( {{x}_{0} + 0}\right)  = A})\]类似地,可以给出当 \(x \rightarrow  \infty ,x \rightarrow   + \infty ,x \rightarrow   - \infty\) 时, \(f\left( x\right)\) 的极限为 \(A\) 的定义.
3. 极限的性质
(1) 唯一性 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = A\) ,则 \(A\) 必唯一.
(2) 有界性 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = A\) ,则 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 的某一邻域 \(\left( {x}_{0}除外\right)\) 内是有界的.
(3) 保号性 设 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 的某邻域 \(\left( {x}_{0}\right.\) 除外 \()\) 内均有 \(f\left( x\right)  \geq  0\) (或 \(f\left( x\right)  \leq  0\) ),且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  =\)  \(A\) ,则 \(A \geq  0\) (或 \(A \leq  0\) ).
4. 充要条件
\(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = A \Leftrightarrow  f\left( {{x}_{0} - 0}\right)  = f\left( {{x}_{0} + 0}\right)  = A\) .

4.无穷小与无穷大

1. 无穷小与无穷大的定义
(1) 无穷小的定义 若 \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  \left({x \rightarrow  \infty }\right) }}f\left( x\right)  = 0\) ,则称 \(f\left( x\right)\) 当 \(x \rightarrow  {x}_{0}\left( {x \rightarrow  \infty }\right)\) 时为无穷小.
(2)无穷大的定义 若对任意给定的 \(M > 0\) ,都存在一个正数 \(\delta \left( N\right)\) ,使得满足 \(0 < \left| {x - {x}_{0}}\right|  <\)  \(\delta \left( {\left| x\right|  > N}\right)\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f\left( x\right)\) 都满足不等式 \(\left| {f\left( x\right) }\right|  > M\) ,则称 \(f\left( x\right)\) 当 \(x \rightarrow  {x}_{0}\left( {x \rightarrow  \infty }\right)\) 时为无穷大, 记为\[\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  \left( {x \rightarrow  \infty }\right)  }}f\left( x\right)  = \infty\]2. 无穷小与无穷大的关系 (以下所讨论的极限, 都是在自变量同一变化过程中的极限)
若 \(\lim f\left( x\right)  = 0\;\left( {f\left( x\right)  \neq  0}\right)\) ,则 \(\lim \frac{1}{f\left( x\right) } = \infty\) ;
若 \(\lim f\left( x\right)  = \infty\) ,则 \(\lim \frac{1}{f\left( x\right) } = 0\) .

5. 极限运算法则

1. 运算法则

设 \(\lim f\left( x\right)\) 与 \(\lim g\left( x\right)\) 均存在,则

\(\lim \left\lbrack  {f\left( x\right)  \pm  g\left( x\right) }\right\rbrack   = \lim f\left( x\right)  \pm  \lim g\left( x\right)\)

\(\lim \left\lbrack  {f\left( x\right)  \vdot  g\left( x\right) }\right\rbrack   = \lim f\left( x\right)  \vdot  \lim g\left( x\right)\)

\(\displaystyle\lim \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \frac{\lim f\left( x\right) }{\lim g\left( x\right) }\left( {\lim g\left( x\right)  \neq  0}\right)\)
2. 无穷小运算法则
(1)有限多个无穷小之和仍是无穷小;
(2) 有限多个无穷小之积仍是无穷小;
(3) 有界变量与无穷小之积仍为无穷小.所谓变量 \(u\) 有界是指: 存在常数 \(M > 0,u\) 在其变化过程中总有 \(\left| u\right|< M\) .
3. 无穷小与函数极限之间的关系
在一个极限过程中,函数 \(f\left( x\right)\) 的极限为 \(A\) 的充分必要条件是 \(f\left( x\right)  = A + \alpha\) ,其中 \(\alpha\) 为这个极限过程中的无穷小量 (即 \(\mathop{\lim }\limits_{{\alpha  = 0}}\alpha  = 0\) ).

6. 极限存在准则 两个重要极限

1. 两个准则
(1)准则 I(夹逼准则) 如果数列 \(\left\{  {x}_{n}\right\}  ,\left\{  {y}_{n}\right\}\) 及 \(\left\{  {z}_{n}\right\}\) 满足下列条件
① \({y}_{n} \leq  {x}_{n} \leq  {z}_{n},n = 1,2,\cdots\)
② \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{y}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{z}_{n} = a\) ,
则数列 \(\left\{  {x}_{n}\right\}\) 的极限存在,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{x}_{n} = a\) .
准则 \({\mathrm{I}}^{\prime }\) 设函数 \(f\left( x\right) \text{ 、 }g\left( x\right) \text{ 、 }h\left( x\right)\) 有定义,且满足下列条件:
① 当 \(x \in  \left\{  {x\left| {0 < }\right| x - {x}_{0} \mid   < h}\right\}\) (或 \(\left| x\right|  > M\) ) 时,有 \(g\left( x\right)  \leq  f\left( x\right)  \leq  h\left( x\right)\) 成立;
② \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  \left( {x \rightarrow  \infty }\right)  }}g\left( x\right)  = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  \left( {x \rightarrow  \infty }\right)  }}h\left( x\right)  = a\) ,
则 \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  \left( {x \rightarrow  \infty }\right)  }}f\left( x\right)\) 存在,且 \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  \left( {x \rightarrow  \infty }\right)  }}f\left( x\right)  = a\) .
(2)准则II 单调有界数列必有极限.
2. 两个重要极限
(1) \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}\frac{\sin x}{x} = 1\) ;
(2) \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}{\left( 1 + x\right) }^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e}\) 或 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e}\) .

7.无穷小的比较

1. 无穷小的阶
设 \(\alpha \text{ 、 }\beta\) 都是无穷小. 若 \(\lim \frac{\beta }{\alpha } = 0\) ,则称 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小,记作 \(\beta  =\)  \(o\left( \alpha \right)\) ; 若 \(\lim \frac{\beta }{\alpha } = \infty\) ,则称 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小; 若 \(\lim \frac{\beta }{\alpha } = c \neq  0\) ,则称 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小,记作 \(\beta  = O\left( \alpha \right)\) ; 特别地,当 \(c = 1\) 时,则称 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小,记作 \(\alpha  \sim  \beta\) .
给定无穷小 \(\beta\) ,若存在无穷小 \(\alpha\) ,使它们的差 \(\beta  - \alpha\) 是比 \(\alpha\) 较高阶的无穷小,即
\[\beta  - \alpha  = o\left( \alpha \right) \text{ 或 }\beta  = \alpha  + o\left( \alpha \right)\]则称 \(\alpha\) 是无穷小 \(\beta\) 的主部;
若 \(\beta\) 和 \({\alpha }^{k}\left( {k > 0}\right)\) 是同阶无穷小,则称 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小.
2. 等价无穷小代换定理
若 \(\alpha  \sim  {\alpha }^{\prime },\beta  \sim  {\beta }^{\prime }\) ,且 \(\displaystyle\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }} = A\) ,则\[\displaystyle\lim \frac{\alpha }{\beta } = \lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }} = A.\]3. 常见的等价无穷小
见需熟记的重要公式——x\(\to\)0时的等价无穷小。

8.连续函数的运算与初等函数的连续性

1. 函数连续的概念
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 连续. 若函数在区间 \(I\) 内每一点都连续,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(I\) 内连续.
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}^{ - }}}f\left( x\right)  = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 左连续; 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}^{ + }}}f\left( x\right)  = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 右连续.
充要条件\(\quad\)\(f\left( x\right)\) 在 \(x = {x}_{0}\) 处连续 \(\Leftrightarrow  f\left( x\right)\) 在 \(x = {x}_{0}\) 处既左连续又右连续.
2. 间断点的概念
若函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 不满足下列三个条件之一:
\(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 有定义; \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)\) 存在; \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称点 \({x}_{0}\) 是函数 \(f\left( x\right)\) 的间断点.
间断点分为:
第一类间断点\(\quad\)左、右极限都存在的间断点;左、右极限不仅存在而且相等的间断点,又称为可去间断点;
第二类间断点\(\quad\)左、右极限至少有一个不存在的间断点.
3. 连续函数的四则运算性质及初等函数的连续性
(1)连续函数的四则运算性质 若函数 \(f\left( x\right) \text{ 、 }g\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 连续,则\[f\left( x\right)  \pm  g\left( x\right) \text{ 、 }f\left( x\right) g\left( x\right) \text{ 、 }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\;\left( {g\left( {x}_{0}\right)  \neq  0}\right)\]在点 \({x}_{0}\) 也连续;
(2)复合函数的连续性 若函数 \(u = \varphi \left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 连续,函数 \(y = f\left( u\right)\) 在点 \({u}_{0} = \varphi \left( {x}_{0}\right)\) 连续, 则函数 \(y = f\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack\) 在点 \({x}_{0}\) 连续;
(3)初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内均连续.
(4)反函数的连续性 设函数 \(y = f\left( x\right)\) 在区间(a, b)内为单调增 (减) 的连续函数,其值域为 (A, B),则必存在反函数 \(x = {f}^{-1}\left( y\right)\) ,且 \(x = {f}^{-1}\left( y\right)\) 在(A, B)内为单调增 (减) 的连续函数.

9. 闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数必取得最大值和最小值.
(2)有界性定理 闭区间上的连续函数在该区间上有界.
(3)介值定理 闭区间上的连续函数必取得介于它的最大值和最小值之间的一切值.
\(\quad\)零点定理\(\quad\)设函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,且 \(f\left( a\right)  \vdot  f\left( b\right)  < 0\) ,则在开区间(a, b)内至少存在一点 \(\xi\) ,使 \(f\left( \xi \right)  = 0\) .

第二章 导数与微分

1.导数的概念

1. 导数定义
设函数 \(y = f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点的某邻域内有定义,当自变量 \(x\) 在 \({x}_{0}\) 点处取得增量 \({\Delta x}\left( {{\Delta x} \neq  0}\right)\) 时,相应地,函数 \(y\) 取得增量 \({\Delta y} = f\left( {{x}_{0} + {\Delta x}}\right)  - f\left( {x}_{0}\right)\) ,如果极限\[\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  0}}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {\Delta x}}\right)  - f\left( {x}_{0}\right) }{\Delta x}\]存在,则称函数 \(y = f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可导,并称这个极限值为函数 \(y = f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点处的导数,记为\({\displaystyle\left. {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) ,{y}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) ,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}\right| }_{x = {x}_{0}}.\)
如果记 \(x = {x}_{0} + {\Delta x}\) ,则导数又可表示为\[{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right)  - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}.\]若极限 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  {0}^{ - }}}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  {0}^{ - }}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {\Delta x}}\right)  - f\left( {x}_{0}\right) }{\Delta x}\) 存在,则该极限值称为 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点的左导数, 记作\[{f}_{ - }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \text{ ,或 }{f}_{ - }^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}^{ - }}}\frac{f\left( x\right)  - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}.\]若极限 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  {0}^{ + }}}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  {0}^{ + }}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {\Delta x}}\right)  - f\left( {x}_{0}\right) }{\Delta x}\) 存在,则该极限值称为 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点的右导数, 记作\[{f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \text{ 或 }{f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right)=\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}^{ + }}}\frac{f\left( x\right)  - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}\]函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可导,且导数为 \(A\) 的充要条件是\[{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = {f}_{ - }^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = {f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = A.\]2. 导数的几何意义
导数 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)\) 在几何上表示曲线 \(y = f\left( x\right)\) 在 \(M\left( {{x}_{0},f\left( {x}_{0}\right) }\right)\) 点处的切线斜率.
曲线 \(y = f\left( x\right)\) 在点 \(M\) 的切线方程是\[y = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right)  + f\left( {x}_{0}\right) ,\]曲线 \(y = f\left( x\right)\) 在点 \(M\) 的法线方程是\[y =  - \frac{1}{{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) }\left( {x - {x}_{0}}\right)  + f\left( {x}_{0}\right) \;\text{ (当 }{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  \neq  0\text{ 时). }\]3. 函数的可导性与连续性
若函数 \(y = f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可导,则 \(y = f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点必连续. 但连续不一定可导.

2. 导数的基本公式与运算法则

1. 基本初等函数的导数公式
(1)\(\displaystyle c^\prime=0\)
(2)\(\displaystyle{\left( {x}^{\mu }\right) }^{\prime } = \mu {x}^{\mu  - 1}\;\left( {\mu \text{ 为实数 }}\right)\)
(3)\(\displaystyle\sin^{\prime}x =\cos x\)
(4)\(\displaystyle\cos^{\prime}x=-\sin x\)
(5)\(\displaystyle\tan^{\prime} x={\sec }^{2}x\)
(6)\(\displaystyle\cot^{\prime} x=-{\csc }^{2}x\)
(7)\(\displaystyle\sec^{\prime} x=\sec x \vdot  \tan x\)
(8)\(\displaystyle\csc^{\prime}x =-\csc x \vdot  \cot x\)
(9)\(\displaystyle{\left( {a}^{x}\right) }^{\prime } = {a}^{x}\ln a\;\left( {a > 0,a \neq  1}\right)\)
(10)\(\displaystyle{\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{\prime } = {\mathrm{e}}^{x}\)
(11)\(\displaystyle\log^{\prime}_{a}x=\frac{1}{x\ln a}\;\left( {a > 0,a \neq  1}\right)\)
(12)\(\displaystyle\ln^{\prime}x =\frac{1}{x}\)
(13)\(\displaystyle\arcsin^{\prime}x= \frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}\)
(14)\(\displaystyle\arccos^{\prime}x = -\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}\)
(15)\(\displaystyle\arctan^{\prime}x= \frac{1}{1+{x}^{2}}\)
(16)\(\displaystyle\operatorname{arccot}^{\prime }x=-\frac{1}{1+{x}^{2}}\)
2. 导数的四则运算法则
设函数\(u\left( x\right) ,v\left( x\right)\) 在 \(x\) 点可导,则
(1)\(\displaystyle{\left\lbrack  u\left( x\right)  \pm  v\left( x\right) \right\rbrack  }^{\prime } = {u}^{\prime }\left( x\right)  \pm  {v}^{\prime }\left( x\right)\) ;
(2)\(\displaystyle{\left\lbrack  u\left( x\right)  \vdot  v\left( x\right) \right\rbrack  }^{\prime } = {u}^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right)  + u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right)\) ;
(3)\(\displaystyle{\left\lbrack  \frac{u\left( x\right) }{v\left( x\right) }\right\rbrack  }^{\prime } = \frac{{u}^{\prime }\left( x\right) v\left( x\right)  - u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) }{{\left\lbrack  v\left( x\right) \right\rbrack  }^{2}},\;\left( {v\left( x\right)  \neq  0}\right)\) .
3. 复合函数的求导法则
若\(u = \varphi \left( x\right)\) 在 \(x\) 点可导,而 \(y = f\left( u\right)\) 在对应点 \(u\left( {u = \varphi \left( x\right) }\right)\) 可导, 则复合函数 \(y = f\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack\) 在 \(x\) 点可导,且\[{y}^{\prime } = {f}^{\prime }\left( u\right)  \vdot  {\varphi }^{\prime }\left( x\right)\]4. 反函数求导法则
若单调连续函数\(x = \varphi \left( y\right)\) 在 \(y\) 点可导,且其导数 \({\varphi }^{\prime }\left( y\right)\neq0\) ,则它的反函数 \(y = f\left( x\right)\) 在对应点 \(x\) 可导,且\[{f}^{\prime }\left( x\right)=\frac{1}{{\varphi }^{\prime }\left( y\right) }\text{ ,或 }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}y}}\]

3. 高阶导数 隐函数及参数方程求导

1. 高阶导数
函数\(y = f\left( x\right)\) 的导数的导数,即 \({\left( {y}^{\prime }\right) }^{\prime }\) ,称为 \(f\left( x\right)\) 的二阶导数,记为 \({y}^{\prime \prime } ={f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) ; 一般 \(y = f\left( x\right)\) 的(n - 1)阶导数的导数称为 \(f\left( x\right)\) 的 \(n\) 阶导数,记为 \({y}^{\left( n\right) } = {f}^{\left( n\right) }\left( x\right)\) . 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.设函数 \(u = u\left( x\right) ,v = v\left( x\right)\) 具有 \(n\) 阶导数,则
\({\left\lbrack  u \pm  v\right\rbrack  }^{\left( n\right) } = {u}^{\left( n\right) } \pm  {v}^{\left( n\right) }\)
\({\left\lbrack  ku\right\rbrack}^{\left( n\right) } = k{u}^{\left( n\right) }\)
\({\left\lbrack  uv\right\rbrack  }^{\left( n\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{C}_{n}^{k}{u}^{\left( n - k\right) }{v}^{\left( k\right) }\)
\(\qquad\quad\displaystyle= {u}^{\left( n\right) }v + n{u}^{\left( n - 1\right) }{v}^{\prime } + \frac{n\left( {n - 1}\right) }{2!}{u}^{\left( n - 2\right) }{v}^{\prime \prime } + \cdots  + n{u}^{\prime }{v}^{\left( n - 1\right) } + u{v}^{\left( n\right) }\)
称为莱布尼兹 \(n\) 阶导数公式.
2. 隐函数的导数
求由方程 \(F\left( {x,y}\right)  = 0\) 所确定的隐函数 \(y = y\left( x\right)\) 的导数 \({y}^{\prime }\left( x\right)\) ,可将方程 \(F\left( {x,y}\right)  = 0\) 两端对 \(x\) 求导,并注意 \(y\) 是 \(x\) 的函数,最后解出 \({y}^{\prime }\left( x\right)\) .
3. 参数方程确定的函数的导数
设\(\left\{  \begin{array}{l} x = \varphi \left( t\right) \\  y = \psi \left( t\right)  \end{array}\right.\) 确定了 \(y\) 是 \(x\) 的函数, \(t\) 为参数,则 \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{\;d}x/\mathrm{d}t} = \frac{{\psi }^{\prime }\left( t\right) }{{\varphi }^{\prime }\left( t\right) }\) .

4. 微分

1. 微分定义
若函数\(f\left( x\right)\) 在 \(x\) 点的增量 \({\Delta y} = f\left( {x + {\Delta x}}\right)  - f\left( x\right)\) ,可表示为 \({\Delta y} = {A\Delta x} +\)  \(o\left( {\Delta x}\right)\) ,其中: \(A\) 是与 \({\Delta x}\) 无关的量; 当 \({\Delta x} \rightarrow  0\) 时, \(o\left( {\Delta x}\right)\) 是比 \({\Delta x}\) 高阶的无穷小. 则称 \(y = f\left( x\right)\) 在 \(x\) 点可微,而线性主部 \({A\Delta x}\) 称为 \(y = f\left( x\right)\) 在 \(x\) 点的微分,记为 \(\mathrm{d}y\) 或 \(\mathrm{d}f\left( x\right)\) ,即 \(\mathrm{d}y = \mathrm{d}f\left( x\right)  = A\vdot{\Delta x}\) .
当函数 \(f\left( x\right)\) 可微时,微分中 \({\Delta x}\) 的系数 \(A = {f}^{\prime }\left( x\right)\) ,记 \(\mathrm{d}x = {\Delta x}\) ,称之为自变量的微分,微分表达式通常写为对称形式\[\mathrm{d}y = {f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x\]而导数就是函数微分与自变量微分之商 (微商)\[{f}^{\prime }\left( x\right)  = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\]2. 基本初等函数的微分公式
略.
3. 微分四则运算法则
设函数 \(u\left( x\right) ,v\left( x\right)\) 可微,则有
(1)\(\mathrm{d}\left\lbrack  {u\left( x\right)  \pm  v\left( x\right) }\right\rbrack   = \mathrm{d}u\left( x\right)  \pm  \mathrm{d}v\left( x\right)\);
(2)\(\mathrm{d}\left\lbrack  {u\left( x\right)  \vdot  v\left( x\right) }\right\rbrack   = v\left( x\right) \mathrm{d}u\left( x\right)  + u\left( x\right) \mathrm{d}v\left( x\right)\);
(3)\(\displaystyle\mathrm{d}\left\lbrack  \frac{u\left( x\right) }{v\left( x\right) }\right\rbrack=\frac{v\left( x\right) \mathrm{d}u\left( x\right)-u\left( x\right) \mathrm{d}v\left( x\right) }{{\left\lbrack  v\left( x\right) \right\rbrack  }^{2}},\quad\left( {v\left( x\right)  \neq 0}\right)\).
4. 微分的形式不变性
设函数\(u = \varphi \left( x\right)\) 在 \(x\) 点可微,函数 \(y = f\left( u\right)\) 在相应的点 \(u = \varphi \left( x\right)\) 处可微,则复合函数 \(y = f\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack\) 在 \(x\) 点可微,且微分式\[\mathrm{d}y = {f}^{\prime }\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack   \vdot  {\varphi }^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = {f}^{\prime }\left( u\right) \mathrm{d}u.\]这表明,不论 \(u\) 是自变量或中间变量,函数 \(y = f\left( u\right)\) 的微分形式都是一样的,这个性质称为一阶微分形式的不变性.
5. 可微的充要条件
函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可微的充分必要条件是 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可导,且 \(\mathrm{d}y={f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \mathrm{d}x\) .
6. 可微的必要条件
函数\(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可微的必要条件是 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点连续.

第三章 微分中值定理与导数的应用

1.微分中值定理

1. 罗尔定理
设函数\(f\left( x\right)\) 在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导,且 \(f\left( a\right)=f\left( b\right)\) ,则至少存在一点 \(\xi\in\left( {a,b}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right)=0\) .
2. 拉格朗日定理
设函数\(f\left(x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\)上连续,在(a, b)内可导,则至少存在一点 \(\xi\in\left({a,b}\right)\) , 使得\[f\left( b\right)  - f\left( a\right)  = {f}^{\prime }\left( \xi \right) \left( {b - a}\right)\]3. 柯西定理
设函数\(f\left( x\right) \text{ 、}g\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导, \({g}^{\prime }\left( x\right)\) 在(a, b)内每一点处均不为零,则至少有一点 \(\xi\in\left( {a,b}\right)\) ,使得\[\frac{f\left( b\right)  - f\left( a\right) }{g\left( b\right)  - g\left( a\right) } = \frac{{f}^{\prime }\left( \xi \right) }{{g}^{\prime }\left( \xi \right) }\]

2.洛必达法则

1. 洛必达法则 I
设函数 \(f\left( x\right)\) 与 \(g\left( x\right)\) 满足:
(1)在点 \({x}_{0}\) 的某一邻域内(点 \({x}_{0}\) 可除外)有定义,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = 0,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}g\left( x\right)  = 0\) ;
(2)在该邻域内可导,且 \({g}^{\prime }\left( x\right)  \neq  0\);
(3)\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) 存在 (或为 \(\infty\) ). 则 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) (或为 \(\infty\) ).
2. 洛必达法则 II
设函数\(f\left( x\right)\) 与 \(g\left( x\right)\) 满足:
(1)在 \({x}_{0}\) 的某一邻域内(点 \({x}_{0}\) 可除外)有定义,且 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}f\left( x\right)  = \infty ,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}g\left( x\right)  = \infty\) ;
(2)在该邻域内可导,且 \({g}^{\prime }\left( x\right)  \neq  0\);
(3)\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) 存在 (或为 \(\infty\) ). 则 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) (或为 \(\infty\) ).
以上两法则对于 \(x \rightarrow  \infty\) 时的未定式 “ \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ”,“ \(\displaystyle\frac{\infty }{\infty }\) ”同样适用.

3. 泰勒公式

1. 泰勒定理
若\(f\left( x\right)\) 在含有 \({x}_{0}\) 的某个邻域内具有直到 \(n + 1\) 阶的导数,则对于该邻域内任意点 \(x\) ,有泰勒公式\[f\left( x\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{{f}^{\left( k\right) }\left( {x}_{0}\right) }{k!}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{k} + \frac{{f}^{\left( n + 1\right) }\left( \xi \right) }{\left( {n + 1}\right) !}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{n + 1},\]其中 \(\xi\) 介于 \({x}_{0}\) 与 \(x\) 之间, \({f}^{\left( 0\right) }\left( {x}_{0}\right)  = f\left( {x}_{0}\right)\).
2. 麦克劳林公式
在\({x}_{0} = 0\) 展开的泰勒公式,也称为麦克劳林公式,即\[f\left( x\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{{f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{k!}{x}^{k} + \frac{{f}^{\left( n + 1\right) }\left( \xi \right) }{\left( {n + 1}\right) !}{x}^{n + 1},\]其中 \(\xi\) 介于 0 与 \(x\) 之间.
3. 常用的泰勒展开式
需熟记的重要公式——泰勒公式及常用泰勒展开。

4. 函数的单调性与曲线的凹凸性

1. 函数的单调性
设函数 \(y = f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导.
(1)若在(a, b)内 \({f}^{\prime }\left( x\right)  > 0\) ,则 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上单调增加;
(2)若在(a, b)内 \({f}^{\prime }\left( x\right)  < 0\) ,则 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上单调减少.
求 \(y = f\left( x\right)\) 的单调区间步骤是:(1)明确定义域并找出无定义端点;(2)找出使 \({f}^{\prime}\left( x\right)=0\)的点(驻点)及导数不存在但函数有意义的点(称这些点为极值疑点);(3)把全部上面列出的点按大小列在表上, 它们把定义域分割成若干区间, 分别根据每个区间上导数的符号判断其单调性.
2. 曲线的凹凸性与拐点
凹凸性定义\(\quad\)若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方, 则称这段弧是凹的, 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方, 则称这段弧是凸的.
曲线的凹凸性判别法\(\quad\)设函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在区间(a, b)内具有二阶导数. 如果 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)  \leq  0\) ,但 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 在任何子区间中不恒为零,则曲线弧 \(y = f\left( x\right)\) 是凸的; 如果 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)  \geq  0\) ,但 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 在任何子区间不恒为零,则曲线弧 \(y = f\left( x\right)\) 是凹的.
拐点定义\(\quad\)连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.
因为拐点是曲线凹凸弧的分界点,所以在拐点横坐标左右两侧邻近处 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 必然异号,而在拐点横坐标处 \({f}^{\prime\prime }\left(x\right)\) 等于零或不存在.
拐点存在的必要条件\(\quad\)设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点具有二阶导数,则点 \(\left( {{x}_{0},f\left( {x}_{0}\right) }\right)\) 是曲线 \(y =\)  \(f\left( x\right)\) 的拐点的必要条件是 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right)=0\).
判定曲线凹凸性或求函数的凹、凸区间、拐点的步骤是:(1)求出函数的定义域或指定区域及二阶导数;(2)在区域内求出全部拐点疑点(二阶导数为 0 的点、二阶导数不存在但函数有意义的点), 函数边界点及使函数无意义的端点, 把这些点列在表上, 根据二阶导数在各区间上的正负进行判断.

5.函数的极值与最大值、最小值

1. 函数的极值
极值的定义 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于 \({x}_{0}\) 的点 \(x\) ,如果恒有 \(f\left( x\right)  < f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极大值,而称 \({x}_{0}\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极大值点; 如果恒有 \(f\left( x\right)  > f\left( {x}_{0}\right)\) ,则称 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极小值,而称 \({x}_{0}\) 为 \(f\left( x\right)\) 的极小值点.
极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点.
极值的必要条件 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点可导,且在 \({x}_{0}\) 点取得极值,则必有 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = 0\) .
极值第一判别法 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点的某个邻域内可导,且 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = 0\) ,那么
(1)若当 \(x < {x}_{0}\) 时, \({f}^{\prime }\left( x\right)  > 0\) ;当 \(x > {x}_{0}\) 时 \({f}^{\prime }\left( x\right)  < 0\) ,则 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 的极大值.
(2)若当 \(x < {x}_{0}\) 时, \({f}^{\prime }\left( x\right)  < 0\) ;当 \(x > {x}_{0}\) 时 \({f}^{\prime }\left( x\right)  > 0\) ,则 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 的极小值.
(3) 若在 \({x}_{0}\) 的两侧, \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 的符号相同,则 \(f\left( {x}_{0}\right)\) 不是极值.
极值第二判别法 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 点处有二阶导数,且 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)  = 0,{f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right)  \neq  0\) ,则
(1)当 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right)  < 0\) 时,函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 取得极大值;(2)当 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right)  > 0\) 时,函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 取得极小值.
2. 求极值的步骤
(1)求出函数 \(f\left( x\right)\) 的全部极值疑点一一驻点(\({f}^{\prime}\left(x\right)=0\) 的点)及导数不存在但函数有意义的内点;
(2) 逐个地进行判断. 判断的方法一般有两个
方法一: 用第一种充分条件,求出导函数 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 并把它因式分解,根据极值疑点邻近 \({f}^{\prime}\left(x\right)\) 的符号判断. 如果极值疑点较多时, 亦可先列表求出单调区间, 然后根据各单调区间进行判断.
方法二:用第二种充分条件, 即如果是驻点, 用二阶导数在该点处的正负判断.
注意方法二的条件是极值疑点必为驻点;该点处存在二阶导数且不为 0,否则应改用方法一判断. 当 \({f}^{\prime\prime}\left( x\right)\) 存在但较复杂时,一般也用方法一判断.
3. 函数的最大值与最小值
设函数\(f\left( x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\)上连续,在(a, b)内仅有一个极值点,则若 \({x}_{0}\)是\(f\left( x\right)\)的极大值点,那么\({x}_{0}\) 必为\(f\left( x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\) 上的最大值点; 若\({x}_{0}\)是\(f\left( x\right)\)的极小值点,那么\({x}_{0}\)必为\(f\left( x\right)\)在\(\left\lbrack{a,b}\right\rbrack\)上的最小值点.
4. 求函数最值的步骤
(1)找出此区间上的全部极值疑点(即驻点、导数不存在但函数有意义的内点)及使函数有定义的边界点;
(2)分别求出函数在这些点上的函数值并比较其大小,其中最大的函数值就是最大值,最小的函数值就是最小值. 注意, 若函数在指定区间单调且在边界点处连续, 则其边界点必为最值点.

6. 函数图形的描绘

1. 曲线的渐近线
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow   + \infty }}f\left( x\right)  = A\) ,则称直线 \(y = A\) 为曲线 \(y = f\left( x\right)\) 的水平渐近线 (将 \(x \rightarrow   + \infty\) 改为 \(x \rightarrow   - \infty\) 仍有此定义).
若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  1}}f\left( x\right)  = \infty\) ,则称直线 \(x = {x}_{0}\) 为曲线 \(y = f\left( x\right)\) 的铅直渐近线 (将 \(x \rightarrow  {x}_{0}^{ + }\) 改为 \(x \rightarrow  {x}_{0}^{ - }\) 仍有此定义).
若\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow+\infty }}\frac{f\left( x\right) }{x} = a\left( {a \neq  0}\right)\) ,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow+\infty}}\left\lbrack{f\left( x\right)  - {ax}}\right\rbrack   = b\) ,则称直线 \(y = {ax} + b\) 为曲线 \(y = f\left( x\right)\) 的斜渐近线 (将 \(x \rightarrow+\infty\) 改为 \(x \rightarrow-\infty\) 仍有此定义).
2. 作图步骤
(1)写出函数\(f\left( x\right)\) ,标出定义域或指定的作图区域;
(2)判断\(f\left( x\right)\) 的奇偶性、周期性,(如果有这样的特性,可以缩小作图范围);
(3)求水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线;
(4)求出\({f}^{\prime }\left( x\right) ,{f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) ,从而求出作图的关键点: 极值疑点,拐点疑点,函数 \(f\left( x\right)\) 的边界点及无意义端点;
(5)列表;
(6)作图,如果作图的关键点(无意义点除外)不够,还可多描一些点,例如 \(f\left( x\right)\) 与坐标轴的交点等.

7. 曲率

1. 曲率的定义
在曲线 \(L\)上,有点\(N\)沿曲线\(L\)趋于点\(M\)时,如果极限\(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow 0}}K = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  0}}\left| \frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|\) 存在,则称此极限值为曲线\(L\)在点\(M\)处的曲率,记作\(\displaystyle K = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta s} \rightarrow  0}}\left| \frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|\) . 在 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{{\Delta s} \rightarrow  0}}\frac{\Delta \alpha }{\Delta s} = \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\)存在的条件下, \(K\)也可以表示为\(\displaystyle K = \left| \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\right|\)
2. 计算曲率的公式
设曲线的直角坐标方程是 \(y = f\left( x\right)\) ,且 \(f\left( x\right)\) 具有二阶导数,则得曲率公式\[K = \frac{\left| {y}^{\prime \prime }\right| }{{\left( 1 + {y}^{\prime 2}\right) }^{3/2}}.\]若曲线由参数方程 \(\left\{  {\begin{array}{l} x = \varphi \left( t\right) , \\  y = \psi \left( t\right) . \end{array}\left( {\alpha  \leq  t \leq  \beta }\right) }\right.\) 给出,则可利用由参数方程确定的函数的求导法, 求出 \({y}_{x}^{\prime }\) 及 \({y}_{x}^{\prime \prime }\) ,代入曲率公式即可.

第四章 不定积分

1. 不定积分的概念与性质

1. 原函数与不定积分的定义
设函数 \(F\left( x\right)\) 与 \(f\left( x\right)\) 在区间(a, b)内有定义,若对于任意 \(x \in  \left( {a,b}\right)\) 有\[{F}^{\prime }\left( x\right)  = f\left( x\right)\quad\text{或}\quad\mathrm{d}F\left( x\right)  = f\left( x\right) \mathrm{d}x\]则称 \(F\left( x\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)上的一个原函数.
函数 \(f\left( x\right)\) 的全体原函数称为 \(f\left( x\right)\) 的不定积分,记为 \(\displaystyle\int f\left( x\right) \mathrm{d}x\) . 设 \(F\left( x\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 的一个原函数,则 \(\displaystyle\int f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( x\right)  + C,C\) 为任意常数.
2. 不定积分的基本性质
(1)\(\displaystyle\int {f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( x\right)  + C\);
(2)\(\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\lbrack  {\int f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right\rbrack   = f\left( x\right)\);
(3)\(\displaystyle\int \left\lbrack  {{k}_{1}f\left( x\right)  \pm  {k}_{2}g\left( x\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x = {k}_{1}\int f\left( x\right) \mathrm{d}x \pm  {k}_{2}\int g\left( x\right) \mathrm{d}x\left({{k}_{1},{k}_{2}}\right)\)不同时为零\()\) .
3. 基本公式
(1)\(\displaystyle\int {x}^{a}\mathrm{\;d}x=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1} + C\;\left( {a\neq-1}\right)\)
(2)\(\displaystyle\int {a}^{x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\ln a}{a}^{x} + C\)
(3)\(\displaystyle\int {\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x = {\mathrm{e}}^{x} + C\)
(4)\(\displaystyle\int \sin x\mathrm{\;d}x =  - \cos x + C\)
(5)\(\displaystyle\int \cos x\mathrm{\;d}x = \sin x + C\)
余下见需熟记的重要公式——重点不定积分公式。

2. 换元积分法

1. 第一换元法 (凑微分法)
设 \(\int f\left( u\right) \mathrm{d}u = F\left( u\right)  + C\) ,且 \(u = \varphi \left( x\right)\) 可微,则\[\int f\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack  {\varphi }^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = \int f\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}\varphi \left( x\right)  = F\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack   + C\]2. 第二换元法
设 \(x = \varphi \left( t\right)\) 严格单调并可微,且 \({\varphi }^{\prime }\left( t\right)  \neq  0\) ,若 \(\int f\left\lbrack  {\varphi \left( t\right) }\right\rbrack  {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = \Phi \left( t\right)  + C\) , 则\[\int f\left( x\right) \mathrm{d}x = \Phi \left\lbrack  {{\varphi }^{-1}\left( x\right) }\right\rbrack+C\]

3. 分部积分法

分部积分法
若 \(u = u\left( x\right)\) 与 \(v = v\left( x\right)\) 可微,且 \({u}^{\prime }\left( x\right)  \vdot  v\left( x\right)\) 具有原函数,则有\[\int u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = u\left( x\right) v\left( x\right)  - \int v\left( x\right) {u}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x\]或\[\int u\mathrm{\;d}v = {uv} - \int v\mathrm{\;d}u\]若被积函数是三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数与多项式之间的乘积时, 通常用分部积分法.

4. 有理函数的积分

1. 有理函数的积分
一般要经过两个步骤:(1)如果被积函数是假分式,则需先化为有理整式与真分式之和;(2)用待定系数法将真分式化为部分分式,最后得到 4 个基本类型的积分
(1)\(\displaystyle\int \frac{A}{x - a}\mathrm{\;d}x\)
(2)\(\displaystyle\int \frac{A}{{\left( x - a\right) }^{n}}\mathrm{\;d}x\left( {n = 2,3\cdots }\right)\)
(3)\(\displaystyle\int \frac{{Mx} + N}{{x}^{2} + {px} + q}\mathrm{\;d}x\)
(4)\(\displaystyle\int \frac{\left( Mx + N\right) }{{\left( {x}^{2} + px + q\right) }^{n}}\mathrm{\;d}x\left( {n = 2,3\cdots }\right)\) .
其中 \(A\text{ 、 }M\text{ 、 }N\text{ 、 }a\text{ 、 }p\text{ 、 }q\) 都是常数,且 \({4q} - {p}^{2} > 0\) .
前两种积分结果是易知的, 对于第三种积分只要将分母配方后, 再用基本积分公式, 结果即可求出. 对于第四种积分要用分部积分法, 最后得出一个递推公式, 需要多次积分才能完成.

拆分方法:
\(\displaystyle\frac{r\left( x\right) }{{\left( x - A\right) }^{p}{\left( {x}^{2} + Mx + N\right) }^{q}}\)
\(\displaystyle =\frac{a_1}{x - A} + \frac{a_2}{{\left( x - A\right) }^{2}} + \cdots + \frac{a_p}{{\left( x - A\right) }^{p}} + \frac{{b_1}x + {c_1}}{{x}^{2} + {Mx} + N} + \frac{{b_2}x + {c_2}}{{\left( {x}^{2} + Mx + N\right) }^{2}} + \cdots + \frac{{b_q}x + {c_q}}{{\left( {x}^{2} + Mx + N\right) }^{q}}\)

2. 三角函数有理式的积分
一般有以下三种方法:
(1)半角代换 对于 \(\int R\left( {\sin x,\cos x}\right) \mathrm{d}x\) 型,令 \(\tan \frac{x}{2} = t\) 化为有理函数的积分
(2)三角恒等变换
①利用倍角公式降低三角函数的幂次;
②对于 \(\int \sin {mx} \vdot  \sin {nx}\mathrm{\;d}x\) 、 \(\int \sin {mx} \vdot  \cos {nx}\mathrm{\;d}x\) 、 \(\int \cos {mx} \vdot  \cos {nx}\mathrm{\;d}x\left( {m \neq  n}\right)\) 可利用积化和差来计算;
③对于 \(\int {\sin }^{m}x \vdot  {\cos }^{n}x\mathrm{\;d}x\) : Ⅰ. 当 \(m\text{ 、 }n\) 中有一个奇数,可拆开用凑微分法计算; Ⅱ. 当 \(m\text{ 、 }n\) 都是偶数, 可利用倍角公式逐步求出积分.
④对于 \(\int {\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x,\int {\cos }^{n}x\mathrm{\;d}x\) ,可利用分部积分法导出的递推公式计算,也可按③处理.
3. 简单无理函数的积分
关键是找出适当的变量代换去掉根号, 化为有理函数的积分.

第五章 定积分

1. 定积分的概念与性质

1. 定积分的定义
设 \(f\left( x\right)\) 是定义在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的有界函数,任取分点 \(a = {x}_{0} < {x}_{1} < {x}_{2} <\)  \(\cdots  < {x}_{n} = b\) ,将 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 分为 \(n\) 个子区间 \(\left\lbrack  {{x}_{i - 1},{x}_{i}}\right\rbrack\) ,记 \(\Delta {x}_{i} = {x}_{i} - {x}_{i - 1}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,又在每个子区间上任取一点 \({\xi }_{i} \in  \left\lbrack  {{x}_{i - 1},{x}_{i}}\right\rbrack  \left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,若不论对区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 如何分法,也不论 \({\xi }_{i}\) 在 \(\left\lbrack  {x}_{i - 1}\right.\) , \(\left. {x}_{i}\right\rbrack\) 中如何取法,只要当 \(\lambda  = \mathop{\max }\limits_{{1 \leq  i \leq  n}}\Delta {x}_{i}\) 趋于零时,和式 \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {\xi }_{i}\right) \Delta {x}_{i}\) 的极限存在,则称此极限值为 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的定积分,记为\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {\xi }_{i}\right) \Delta {x}_{i}\]此时也称 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上可积.
特别地,把区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 分为 \(n\) 等份, \({\xi }_{i}\) 取为每个小区间的右端点,则有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\frac{b - a}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {a + \frac{b - a}{n}i}\right)  = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\]\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( \frac{i}{n}\right)  = {\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{(此时 }a = 0,b = 1\text{ ) }\]使用以上两个公式可计算某些和式的极限.
2. 定积分的基本性质
(1)定积分的结果与积分变量无关,即 \(\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( t\right) \mathrm{d}t\)
(2)\(\displaystyle{\int }_{a}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x \equiv  0\)
(3)\(\displaystyle{\int }_{b}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x =  - {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\)
(4)若\(\displaystyle f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上可积, \(k\) 为任一常数,则 \(\displaystyle{\int }_{a}^{b}{kf}\left( x\right) \mathrm{d}x = k{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\)
(5)若\(\displaystyle f\left( x\right) \text{ 、 }g\left( x\right)\) 在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上都可积,则\[{\int }_{a}^{b}\left\lbrack  {f\left( x\right)  \pm  g\left( x\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \pm  {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x\](6)设函数 \(\displaystyle f\left( x\right)\) 在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,c}\right\rbrack  ,\left\lbrack  {c,b}\right\rbrack  ,\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上都可积,则\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{c}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\]当 \(c\) 点在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 外时,结论仍成立
(7)设 \(\displaystyle f\left( x\right) \text{ 、 }g\left( x\right)\) 在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上可积,且满足不等式 \(\displaystyle f\left( x\right)  \leq  g\left( x\right) ,x \in  \left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) ,则\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq  {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x\](8)估值定理 设 \(\displaystyle f\left( x\right)\) 在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的最大值、最小值分别为 \(M\) 和 \(m\) ,则有\[m\left( {b - a}\right)  \leq  {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq  M\left( {b - a}\right)\](9) 积分中值定理 设 \(\displaystyle f\left( x\right)\) 在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,则在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上至少存在一点 \(\xi\) ,使得\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( \xi \right) \left( {b - a}\right)\]称 \(\displaystyle\frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 为函数 \(\displaystyle f\left( x\right)\) 在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的积分平均值.
3. 积分不等式
设\(\displaystyle f\left( x\right) \text{ 、 }g\left( x\right)\) 在区间 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上可积,则有下列不等式
(1)\(\displaystyle\left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right|  \leq  {\int }_{a}^{b}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x\)
(2)许瓦尔兹不等式\[{\left\lbrack  {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x\right\rbrack  }^{2} \leq  {\int }_{a}^{b}{\left\lbrack  f\left( x\right) \right\rbrack  }^{2}\mathrm{\;d}x \vdot  {\int }_{a}^{b}{\left\lbrack  g\left( x\right) \right\rbrack  }^{2}\mathrm{\;d}x\]

2. 微积分基本公式

1. 变上限定积分
(1)若\(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,则 \(\displaystyle\Phi \left( x\right)  = {\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t\) 在 \(\displaystyle\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上可导,且有\[{\Phi }^{\prime }\left( x\right)  = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = f\left( x\right)\](2)若\(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续, \(g\left( x\right)\) 是可微的,\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {{\int }_{a}^{g\left( x\right) }f\left( t\right) \mathrm{d}t}\right)  = f\left\lbrack  {g\left( x\right) }\right\rbrack  {g}^{\prime }\left( x\right)\](3)若上、下限都是 \(x\) 的可微函数,则\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {{\int }_{a\left( x\right) }^{b\left( x\right) }f\left( t\right) \mathrm{d}t}\right)  = f\left\lbrack  {b\left( x\right) }\right\rbrack  {b}^{\prime }\left( x\right)  - f\left\lbrack  {a\left( x\right) }\right\rbrack  {a}^{\prime }\left( x\right)\]实际上, 这是一个求复合函数的导数问题.
2. 定积分和不定积分的关系
(1)原函数存在定理 若函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,则函数 \(\displaystyle\Phi \left( x\right)  = {\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t\) 是 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a\) , \(b\rbrack\) 区间上的一个原函数.
(2)牛顿一莱布尼兹公式 若 \(\displaystyle F\left( x\right)\) 是 \(\displaystyle f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的一个原函数,而且 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a\) , \(b\rbrack\) 上连续,则\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( b\right)  - F\left( a\right)\]这个公式也称为微积分基本公式, 它指出了定积分与不定积分的内在联系.

3. 定积分的换元法和分部积分法

1. 换元积分法
若函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续; 函数 \(x = \varphi \left( t\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {\alpha ,\beta }\right\rbrack\) 上单调且具有连续导数,当 \(\alpha  \leq  t \leq  \beta\) 时, \(a \leq  \varphi \left( t\right)  \leq  b\) ,且 \(\varphi \left( \alpha \right)  = a,\varphi \left( \beta \right)  = b\) ,则有定积分的换元公式\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left\lbrack  {\varphi \left( t\right) }\right\rbrack  {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]2. 分部积分法
设函数 \(u\left( x\right) ,v\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上具有连续导数 \(\displaystyle {u}^{\prime }\left( x\right) \text{ 、 }{v}^{\prime }\left( x\right)\) ,则有定积分的分部积分公式\[{\int }_{a}^{b}u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = {\left. \left\lbrack  u\left( x\right) v\left( x\right) \right\rbrack  \right| }_{a}^{b} - {\int }_{a}^{b}v\left( x\right) {u}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x\]3. 常用公式
设\(f\left( x\right)\) 为连续函数
(1)\(\displaystyle{\int }_{-a}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{a}\left\lbrack  {f\left( x\right)  + f\left( {-x}\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x\)
(2)\(\displaystyle{\int }_{-a}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left\{  \begin{array}{ll} 2{\displaystyle\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x, & f\left( x\right) \text{ 是偶函数 } \\  0, & f\left( x\right) \text{ 是奇函数 } \end{array}\right.\)
(3)\(\displaystyle{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f\left( {\sin x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f\left( {\cos x}\right) \mathrm{d}x\)
(4)\(\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }{xf}\left( {\sin x}\right) \mathrm{d}x = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\pi }f\left( {\sin x}\right) \mathrm{d}x\)
(5)\(\displaystyle f\left( {x + L}\right)  = f\left( x\right) ,\left( {L > 0}\right)\) ,则 \(\displaystyle{\int }_{0}^{L}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{a + L}f\left( x\right) \mathrm{d}x\)
(6)\(\displaystyle{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \sin x\right) }^{n}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \cos x\right) }^{n}\mathrm{\;d}x = \left\{  \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\left( {n - 1}\right) !!}{n!!} \vdot  \frac{\pi }{2}, & \text{ 当 }n\text{ 为偶数时 } \\  \displaystyle\frac{\left( {n - 1}\right) !!}{n!!}, & \text{ 当 }n\text{ 为奇数时 } \end{array}\right.\)
此公式在定积分计算中十分有用,应记住. 当 \(n\) 为偶数时, \(n!\) ! 表示所有偶数 (不大于 \(n\) ) 连乘积. \(n\) 为奇数时, \(n!\) 表示所有奇数 (不大于 \(n\) ) 的连乘积.

4. 广义积分

1. 无穷区间上的广义积分
设函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\lbrack a, + \infty )\) 上有定义,在 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack  \left( {b <  + \infty }\right)\) 上可积,若极限 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{b \rightarrow   + \infty }}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 存在,则定义\[{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{b \rightarrow   + \infty }}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\]并称 \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 为 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a, + \infty )\) 上的广义积分,这时也称广义积分 \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 存在或收敛; 若上述极限不存在,则称广义积分 \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 不存在或发散.
类似地, 定义\[{\int }_{-\infty }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow   - \infty }}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\]\[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{-\infty }^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{c}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow   - \infty }}{\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x + \mathop{\lim }\limits_{{b \rightarrow   + \infty }}{\int }_{c}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\]2. 无界函数的广义积分 (瑕积分)
设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a,b)\) 上连续,而且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {b}^{ - }}}f\left( x\right)  = \infty\) ,若极限 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon  \rightarrow  {0}^{ + }}}{\int }_{a}^{b - \varepsilon }f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 存在,则定义\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon  \rightarrow  {0}^{ + }}}{\int }_{a}^{b - \varepsilon }f\left( x\right) \mathrm{d}x\]并称 \(\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 为 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a,b)\) 上的广义积分,这时也称广义积分 \(\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 存在或收敛; 若上述极限不存在,则称广义积分 \(\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 不存在或发散.
类似地,若 \(f\left( x\right)\) 在 \((a,b\rbrack\) 上连续, \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {a}^{ + }}}f\left( x\right)  = \infty\) ,则定义\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon  \rightarrow  {0}^{ + }}}{\int }_{a + \varepsilon }^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\]若\(f\left( x\right)\) 在(a, b)内连续, \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {a}^{ + }}}f\left( x\right)  = \infty ,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  {b}^{ - }}}f\left( x\right)  = \infty\) ,则定义\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{{\varepsilon }_{1} \rightarrow  {0}^{ + }}}{\int }_{a + {\varepsilon }_{1}}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x + \mathop{\lim }\limits_{{{\varepsilon }_{2} \rightarrow  {0}^{ + }}}{\int }_{c}^{b - {\varepsilon }_{2}}f\left( x\right) \mathrm{d}x\]

5. 反常积分审敛

使用\(\displaystyle\int\frac1{x^p}\mathrm{d}x,\int\frac{\ln x}{x^p}\mathrm{d}x\)的基本结论:
(1)\(\displaystyle\int_0^1\frac1{x^p}\mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}0<p<1,\\\text{发散,}p\geqslant1;&\end{cases}\)

(2)\(\displaystyle\int_0^1\frac{\ln x}{x^p} \mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}0<p<1,\\\text{发散,}p\geqslant1;\end{cases}\)

(3)\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p} \mathrm{dx}\begin{cases}\text{收敛,}p>1,\\\text{发散,}p\leqslant1;\end{cases}\)

(4)\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^p} \mathrm{dx}\begin{cases}\text{收敛,}p>1,\\\text{发散,}p\leqslant1\end{cases}\)

二级结论:
①\(\displaystyle\int_1^2\frac1{x\ln^px} \mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}0<p<1,\\\text{发散,}p\geqslant1;\end{cases}\)

②\(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^{p}x}\mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}p>1,\\\text{发散,}p\leqslant1;\end{cases}\)

③\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac1{x\ln^{p}x}\mathrm{d}x\text{必发散}\)

④\(\displaystyle\int_A^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax}\vdot f(x)\mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}a>0,\\\text{发散,}a<0\end{cases}\)

⑤\(\displaystyle\int_1^2\frac1{x^p\ln^qx}\mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}0<q<1,\\\text{发散,}q\geqslant1;\end{cases}\)

⑥\(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}\ln^{q}x}\mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}p>1,&q\text{任意,}\\\text{发散,}p<1,&q\text{任意,}\\\text{收敛,}p=1,&q>1,\\\text{发散,}p=1,&q\leqslant1\end{cases}\)

⑦\(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\left|\ln x\right|^p} \mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}0<p<1,\\\text{发散,}p\geqslant1;\end{cases}\)

⑧\(\displaystyle\int_1^2\frac{1}{\left|\ln x\right|^p} \mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}0<p<1,\\\text{发散,}p\geqslant1\end{cases}\)

⑨\(\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{\left|\ln x\right|^{p}}\mathrm{d}x\begin{cases}\text{收敛,}0<p<1,\\\text{发散,}p\geqslant1;\end{cases}\)

⑩\(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\left|\ln x\right|^{p}}\mathrm{d}x\text{必发散}\)

第六章 定积分的应用

1. 定积分在几何上的应用

1. 平面图形的面积
(1)直角坐标情形: 由连续曲线 \(y = {f}_{1}\left( x\right) ,y = {f}_{2}\left( x\right) \left( {{f}_{1}\left( x\right)  \leq  {f}_{2}\left( x\right) }\right)\) 与直线 \(x = a,x = b\) 围成的图形面积 \(\left( {a \leq  b}\right)\)\[A = {\int }_{a}^{b}\left\lbrack  {{f}_{2}\left( x\right)  - {f}_{1}\left( x\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x\]由连续曲线 \(x = {g}_{1}\left( y\right) ,x = {g}_{2}\left( y\right) \left( {{g}_{1}\left( y\right)  \leq  {g}_{2}\left( y\right) }\right)\) 与直线 \(y = c,y = d\) 围成的图形面积 \((c \leq\) d)\[A = {\int }_{c}^{d}\left\lbrack  {{g}_{2}\left( y\right)  - {g}_{1}\left( y\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}y\](2)极坐标情形:由连续曲线 \(r = r\left( \theta \right)\) 与矢径 \(\theta  = \alpha ,\theta  = \beta\) 围成的图形面积\[A = \frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta\]2. 旋转体的体积
(1)设 \(f\left( x\right)\) 为 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的连续函数,则由曲线 \(y = f\left( x\right)\) 与直线 \(x = a,x = b\) 及 \(x\) 轴所围成的平面区域绕 \(x\) 轴旋转一周而成的旋转体体积为\[V = \pi {\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = \pi {\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x\](2)设 \(g\left( y\right)\) 为 \(\left\lbrack  {c,d}\right\rbrack\) 上的连续函数,则由曲线 \(x = g\left( y\right)\) 与直线 \(y = c,y = d\) 及 \(y\) 轴所围成的平面区域绕 \(y\) 轴旋转一周而成的旋转体体积\[V = \pi {\int }_{c}^{d}{x}^{2}\mathrm{\;d}y = \pi {\int }_{c}^{d}{g}^{2}\left( y\right) \mathrm{d}y\]3. 旋转曲面的面积
(1)光滑曲线 \(y = f\left( x\right) \left( {a \leq  x \leq  b}\right)\) 绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转曲面面积\[S = {2\pi }{\int }_{a}^{b}\left| y\right| \sqrt{1 + {y}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}x\](2)光滑曲线 \(\left\{  {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\  y = y\left( t\right)  \end{array}\left( {\alpha  \leq  t \leq  \beta }\right) }\right.\) 绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转曲面面积\[S = {2\pi }{\int }_{\alpha }^{\beta }\left| {y\left( t\right) }\right| \sqrt{{\left\lbrack  {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2} + {\left\lbrack  {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2}}\mathrm{\;d}t\]4. 曲线的弧长公式
(1)光滑曲线 \(y = f\left( x\right) \left( {a \leq  x \leq  b}\right)\) 的弧长为\[l = {\int }_{a}^{b}\sqrt{1 + {\left\lbrack  {y}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack  }^{2}}\mathrm{\;d}x = {\int }_{a}^{b}\sqrt{1 + {\left\lbrack  {f}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack  }^{2}}\mathrm{\;d}x\](2)光滑曲线 \(\left\{  {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\  y = y\left( t\right)  \end{array}\left( {\alpha  \leq  t \leq  \beta }\right) }\right.\) 的弧长为\[l = {\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left\lbrack  {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2} + {\left\lbrack  {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2}}\mathrm{\;d}t\](3)光滑曲线 \(r = r\left( \theta \right) ,{\varphi }_{0} \leq  \theta  \leq  {\varphi }_{1}\) 的弧长\[l = {\int }_{{\varphi }_{0}}^{{\varphi }_{1}}\sqrt{{r}^{2} + {r}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}\theta\]

2. 定积分在物理学上的应用

定积分在物理中的应用主要包括变力作功、引力、液体的静压力、质量、重心及转动惯量等, 解这些应用题首先是把实际问题化为数学问题, 并把合力分解为投影到坐标轴的分力后分别进行积分计算. 而求平均值只需要弄清楚是求函数的平均值还是均方根, 然后选用相应的公式即可.
对于几何、物理学中的实际问题, 定积分的元素法提供了一个解决问题的很好的途径. 在元素法的使用过程中,先取积分变量 \(x\) 与积分区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 及寻求所求量 \(u\) 的积分元素 \(\mathrm{d}u = f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 的表达式是最为关键的两点. 特别是在确定积分元素的表达式时, 需先把最简单的情况下如何计算相应的量搞清楚, 例如变力作功的计算, 就要先搞清楚质点沿直线运动时常力所作的功为 \(\va{F} \vdot  \va{S}\) ,这样才清楚变力在小曲线段上作功的近似值为 \(\va{F} \vdot  \va{n}\mathrm{d}s\) ,其中 \(\va{n}\) 为曲线的切向量. 其他如面积、弧长、体积、引力、压力等都是如此

第七章 向量代数与空间解析几何

1. 向量及其运算

1. 向量的数量积 (点乘积或内积)
向量 \(\va{a} = \left\{  {{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}}\right\}\) 与 \(\va{b} = \left\{  {{b}_{1},{b}_{2},{b}_{3}}\right\}\) 的数量积是一个数 \(\left| \va{a}\right|  \vdot  \left| \va{b}\right| \cos \left( {\va{a},\va{b}}\right)\) ,(且 \(0 \leq  \left( {\va{a},\va{b}}\right)\)  \(\leq  \pi\) ),记作 \(\va{a} \vdot  \va{b}\) . 若向量 \(\va{a}\) 或 \(\va{b}\) 为零向量时,则定义 \(\va{a} \vdot  \va{b} = 0\) ,数量积 \(\va{a} \vdot  \va{b}\) 的坐标表示式为\[\va{a} \vdot  \va{b} = {a}_{1}{b}_{1} + {a}_{2}{b}_{2} + {a}_{3}{b}_{3}\]两个向量 \(\va{a},\va{b}\) 垂直 (或称正交),记作 \(\va{a} \bot  \va{b}\) ,特别地,规定零向量与任一向量垂直
数量积有以下基本性质:
(1) \(\va{a} \vdot  \va{b} = \va{b} \vdot  \va{a}\)
(2) \(\left( {\lambda \va{a}}\right)  \vdot  \va{b} = \lambda \left( {\va{a} \vdot  \va{b}}\right)\)
(3) \(\left( {\va{a} + \va{b}}\right)  \vdot  \va{c} = \va{a} \vdot  \va{c} + \va{b} \vdot  \va{c}\)
(4) \(\va{a} \bot  \va{b}\) 的充分必要条件是 \(\va{a} \vdot  \va{b} = 0\)
2. 向量的向量积 (叉乘积或外积)
两个向量 \(\va{a}\) 和 \(\va{b}\) 的向量积是一个向量 \(\va{c}\) ,记为 \(\va{a} \times  \va{b}\) ,即 \(\va{c} = \va{a} \times  \va{b};\va{c}\) 的模等于 \(\left| a\right| \left| b\right| \sin \left( {\va{a},\va{b}}\right) ,\va{c}\) 的方向垂直于 \(\va{a}\) 与 \(\va{b}\) 所决定的平面,且 \(\va{a},\va{b},\va{c}\) 顺次构成右手系. 若向量 \(\va{a}\) 或 \(\va{b}\) 为零向量时,则定义 \(\va{a} \times  \va{b} = \va{0}\) ,向量积 \(\va{a} \times  \va{b}\) 坐标表示式为\[\va{a} \times  \va{b} = \left| \begin{array}{rrr} \vu{i} & \vu{j} & \vu{k} \\  {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \\  {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \end{array}\right|  = \left\{  {\left| \begin{array}{ll} {a}_{2} & {a}_{3} \\  {b}_{2} & {b}_{3} \end{array}\right| , - \left| \begin{array}{ll} {a}_{1} & {a}_{3} \\  {b}_{1} & {b}_{3} \end{array}\right| ,\left| \begin{array}{ll} {a}_{1} & {a}_{2} \\  {b}_{1} & {b}_{2} \end{array}\right| }\right\}\]向量积有以下的性质:
(1) \(\va{a} \times  \va{b} =  - \va{b} \times  \va{a}\)
(2) \(\left( {\lambda \va{a}}\right)  \times  \va{b} = \lambda \left( {\va{a} \times  \va{b}}\right)\)
(3) \(\left( {\va{a} + \va{b}}\right)  \times  \va{c} = \va{a} \times  \va{c} + \va{b} \times  \va{c}\)
(4) \(\va{a}//\va{b}\) 的充分必要条件是 \(\va{a} \times  \va{b} = \va{0}\)
3. 向量的混合积
设 \(\va{a} = \left\{  {{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}}\right\}  ,\va{b} = \left\{  {{b}_{1},{b}_{2},{b}_{3}}\right\}  ,\va{c} = \left\{  {{c}_{1},{c}_{2},{c}_{3}}\right\}\) ,则称乘积 \(\left( {\va{a} \times  \va{b}}\right)  \vdot  \va{c}\) 为向量 \(\va{a},\va{b},\va{c}\) 的混合积,记为 \(\left\lbrack{\va{a},\va{b},\va{c}}\right\rbrack\)
混合积是一数量,其几何意义为: 混合积的绝对值等于以 \(\va{a}\text{ 、 }\va{b}\text{ 、 }\va{c}\) 为相邻三条棱的平行六面体的体积. 因此,向量 \(\va{a}\text{ 、 }\va{b}\text{ 、 }\va{c}\) 共面的充分必要条件是 \(\left( {\va{a} \times  \va{b}}\right)  \vdot  \va{c} = 0\)
混合积 \(\left( {\va{a} \times  \va{b}}\right)  \vdot  \va{c}\) 的坐标表达式为 \(\left( {\va{a} \times  \va{b}}\right)  \vdot  \va{c} = \left| \begin{array}{lll} {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3} \\  {b}_{1} & {b}_{2} & {b}_{3} \\  {c}_{1} & {c}_{2} & {c}_{3} \end{array}\right|\)
且 \(\left( {\va{a} \times  \va{b}}\right)  \vdot  \va{c} = \left( {\va{b} \times  \va{c}}\right)  \vdot  \va{a} = \left( {\va{c} \times  \va{a}}\right)  \vdot  \va{b}\)

2. 空间的平面和直线

1. 平面及其方程
法向量 与平面垂直的任意非零向量, 称为该平面的法向量.
(1)点法式方程 设平面过点 \({M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) ,其法向量为 \(\va{n} = \{ A,B,C\}\) 则此平面方程为\[A\left( {x - {x}_{0}}\right)  + B\left( {y - {y}_{0}}\right)  + C\left( {z - {z}_{0}}\right)  = 0\](2)截距式方程 设 \(a,b,c\) 分别为平面在 \(x\text{ 、 }y\text{ 、 }z\) 轴上的截距,则此平面的方程为\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\](3)三点式方程 设平面过不共线的三点 \(A\left( {{x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}}\right) ,B\left( {{x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}}\right) ,C\left( {{x}_{3},{y}_{3},{z}_{3}}\right)\) ,则此平面方程为\[\left| \begin{matrix} x - {x}_{1} & y - {y}_{1} & z - {z}_{1} \\  {x}_{2} - {x}_{1} & {y}_{2} - {y}_{1} & {z}_{2} - {z}_{1} \\  {x}_{3} - {x}_{1} & {y}_{3} - {y}_{1} & {z}_{3} - {z}_{1} \end{matrix}\right|  = 0\](4)一般式方程 平面的一般式方程是三元一次方程\[{Ax} + {By} + {Cz} + D = 0\]其中 \(A,B,C\) 不同时为零.
2. 空间直线及其方程
方向向量 与直线平行的非零向量, 称为该直线的方向向量.
(1)对称式方程(又称点向式或标准式方程) 过点 \({M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) ,方向向量为 \(\va{s} = \{ l,m,n\}\) 的直线的标准式方程为\[\frac{x - {x}_{0}}{l} = \frac{y - {y}_{0}}{m} = \frac{z - {z}_{0}}{n}\](2)参数方程 由标准式方程\[\frac{x - {x}_{0}}{l} = \frac{y - {y}_{0}}{m} = \frac{z - {z}_{0}}{n} = t\]易得直线的参数方程\[\left\{  \begin{array}{l} x = {x}_{0} + {lt} \\  y = {y}_{0} + {mt}\;\quad\left( {t\text{ 为参数 }}\right) \\  z = {z}_{0} + {nt} \end{array}\right.\](3) 两点式方程 过点 \({M}_{1}\left( {{x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}}\right)\) 和 \({M}_{2}\left( {{x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}}\right)\) 的直线方程为\[\frac{x - {x}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}} = \frac{y - {y}_{1}}{{y}_{2} - {y}_{1}} = \frac{z - {z}_{1}}{{z}_{2} - {z}_{1}}\](4)一般式方程 直线的一般式方程为三元一次方程组\[\left\{  \begin{array}{l} {A}_{1}x + {B}_{1}y + {C}_{1}z + {D}_{1} = 0 \\  {A}_{2}x + {B}_{2}y + {C}_{2}z + {D}_{2} = 0 \end{array}\right.\]其中每一个三元一次方程都表示一个平面.
3. 直线、平面之间的相对位置关系
设平面 \({\pi }_{1} : {A}_{1}x + {B}_{1}y + {C}_{1}z + {D}_{1} = 0\;{\pi }_{2} : {A}_{2}x + {B}_{2}y + {C}_{2}z + {D}_{2} = 0\) 它们的法向量分别为 \({\va{n}}_{1} = \left\{  {{A}_{1},{B}_{1},{C}_{1}}\right\}  ,{\va{n}}_{2} = \left\{  {{A}_{2},{B}_{2},{C}_{2}}\right\}\)
直线 \(\displaystyle {L}_{1} : \frac{x - {x}_{1}}{{l}_{1}} = \frac{y - {y}_{1}}{{m}_{1}} = \frac{z - {z}_{1}}{{n}_{1}}\;{L}_{2} : \frac{x - {x}_{2}}{{l}_{2}} = \frac{y - {y}_{2}}{{m}_{2}} = \frac{z - {z}_{2}}{{n}_{2}}\) 它们的方向向量分别为 \({\va{s}}_{1} = \left\{  {{l}_{1},{m}_{1},{n}_{1}}\right\}  ,{\va{s}}_{2} = \left\{  {{l}_{2},{m}_{2},{n}_{2}}\right\}\)
(1) 夹角 平面 \({\pi }_{1}\) 与平面 \({\pi }_{2}\) 间的夹角 \(\theta\) 定义为法向量 \({\va{n}}_{1}\) 与 \({\va{n}}_{2}\) 间的夹角,即\[\cos \theta  = \frac{\left| {\va{n}}_{1} \vdot  {\va{n}}_{2}\right| }{\left| {\va{n}}_{1}\right|  \vdot  \left| {\va{n}}_{2}\right| } = \frac{\left| {A}_{1}{A}_{2} + {B}_{1}{B}_{2} + {C}_{1}{C}_{2}\right| }{\sqrt{{A}_{1}^{2} + {B}_{1}^{2} + {C}_{1}^{2}} \vdot  \sqrt{{A}_{2}^{2} + {B}_{2}^{2} + {C}_{2}^{2}}}\]直线 \({L}_{1}\) 与直线 \({L}_{2}\) 间的夹角 \(\theta\) 定义为方向向量 \({s}_{1}\) 与 \({s}_{2}\) 间的夹角,即\[\cos \theta  = \frac{\left| {s}_{1} \vdot  {s}_{2}\right| }{\left| {s}_{1}\right|  \vdot  \left| {s}_{2}\right| } = \frac{\left| {l}_{1}{l}_{2} + {m}_{1}{m}_{2} + {n}_{1}{n}_{2}\right| }{\sqrt{{l}_{1}^{2} + {m}_{1}^{2} + {n}_{1}^{2}} \vdot  \sqrt{{l}_{2}^{2} + {m}_{2}^{2} + {n}_{2}^{2}}}\]直线 \({L}_{1}\) 与平面 \({\pi }_{1}\) 间的夹角 \(\theta\) 定义为直线 \({L}_{1}\) 和它在平面 \({\pi }_{1}\) 上的投影所成的两邻角中的锐角, 即\[\sin \theta  = \frac{\left| {\va{n}}_{1} \vdot  {\va{s}}_{1}\right| }{\left| {\va{n}}_{1}\right|  \vdot  \left| {\va{s}}_{1}\right| } = \frac{\left| {A}_{1}{l}_{1} + {B}_{1}{m}_{1} + {C}_{1}{n}_{1}\right| }{\sqrt{{A}_{1}^{2} + {B}_{1}^{2} + {C}_{1}^{2}} \vdot  \sqrt{{l}_{1}^{2} + {m}_{1}^{2} + {n}_{1}^{2}}}\](2)平行的条件 平面 \({\pi }_{1}\) 与 \({\pi }_{2}\) 平行的充分必要条件是 \(\displaystyle\frac{{A}_{1}}{{A}_{2}} = \frac{{B}_{1}}{{B}_{2}} = \frac{{C}_{1}}{{C}_{2}}\)
直线 \({L}_{1}\) 与 \({L}_{2}\) 平行的充分必要条件是 \(\displaystyle\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}} = \frac{{m}_{1}}{{m}_{2}} = \frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}\)
直线 \({L}_{1}\) 与平面 \({\pi }_{1}\) 平行的充分必要条件是 \({l}_{1}{A}_{1} + {m}_{1}{B}_{1} + {n}_{1}{C}_{1} = 0\)
(3)垂直的条件 平面 \({\pi }_{1}\) 与 \({\pi }_{2}\) 垂直的充分必要条件是 \({A}_{1}{A}_{2} + {B}_{1}{B}_{2} + {C}_{1}{C}_{2} = 0\)
直线 \({L}_{1}\) 与 \({L}_{2}\) 垂直的充分必要条件是 \({l}_{1}{l}_{2} + {m}_{1}{m}_{2} + {n}_{1}{n}_{2} = 0\)
直线 \({L}_{1}\) 垂直于平面 \({\pi }_{1}\) 的充分必要条件是 \(\displaystyle\frac{{l}_{1}}{{A}_{1}} = \frac{{m}_{1}}{{B}_{1}} = \frac{{n}_{1}}{{C}_{1}}\)
4. 距离公式
(1)点到平面的距离 点 \({M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) 到平面 \({Ax} + {By} + {Cz} + D = 0\) 的距离为 \(\displaystyle d = \frac{\left| A{x}_{0} + B{y}_{0} + C{z}_{0} + D\right| }{\sqrt{{A}^{2} + {B}^{2} + {C}^{2}}}\)
(2)点到直线的距离 点 \({P}_{1}\left( {{x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}}\right)\) 到直线 \(\displaystyle\frac{x - {x}_{0}}{l} = \frac{y - {y}_{0}}{m} = \frac{z - {z}_{0}}{n}\) 的距离为 \(\displaystyle d = \frac{\left| \overrightarrow{{M}_{0}{P}_{1}} \times  s\right| }{\left| s\right| }\) ,其中,\[{M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) ,\;\va{s} = \{ l,m,n\}\](3)两直线共面的条件 设有两直线 \(\displaystyle {L}_{1} : \frac{x - {x}_{1}}{{l}_{1}} = \frac{y - {y}_{1}}{{m}_{1}} = \frac{z - {z}_{1}}{{n}_{1}},\;{L}_{2} : \frac{x - {x}_{2}}{{l}_{2}} = \frac{y - {y}_{2}}{{m}_{2}} = \frac{z - {z}_{2}}{{n}_{2}}\)
共面的条件为 \(\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}} \vdot  \left( {\va{a} \times  \va{b}}\right)  = 0\) ,其中\[{P}_{1}\left( {{x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}}\right) ,\;{P}_{2}\left( {{x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}}\right) ,\;\va{a} = \left\{  {{l}_{1},{m}_{1},{n}_{1}}\right\}  ,\;\va{b} = \left\{  {{l}_{2},{m}_{2},{n}_{2}}\right\}\](4)两直线间的距离 两异面直线 \({L}_{1},{L}_{2}\) 的距离为 \(\displaystyle d = \frac{\left| \overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}} \vdot  \left( \va{a} \times  \va{b}\right) \right| }{\left| \va{a} \times  \va{b}\right| }\)

3. 空间曲面与空间曲线

1. 空间曲面方程
(1)一般方程 \(F\left( {x,y,z}\right)  = 0\)
(2)显式方程 \(z = f\left( {x,y}\right)\)
(3)参数方程 \(\displaystyle\left\{  \begin{array}{l} x = x\left( {u,v}\right) \\  y = y\left( {u,v}\right) \left( {u,v}\right)  \in  D, \\  z = z\left( {u,v}\right)  \end{array}\right.\) 其中 \(D\) 为 \({uv}\) 平面上某一区域.
2. 旋转曲面方程
设\(C : f\left( {y,z}\right)  = 0\) 为 \({yOz}\) 平面上的曲线,则
(1)\(C\) 绕 \(z\) 轴旋转所得的曲面为 \(f\left( {\pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}},z}\right)  = 0\)
(2)\(C\) 绕 \(y\) 轴旋转所得的曲面为 \(f\left( {y, \pm  \sqrt{{x}^{2} + {z}^{2}}}\right)  = 0\)
旋转曲面主要由母线和旋转轴确定.
求旋转曲面方程时, 平面曲线绕某坐标轴旋转, 则该坐标轴对应的变量不变, 而曲线方程中另一变量改写成该变量与第三变量平方和的正负平方根,例如: \(\displaystyle L\left\{  \begin{array}{l} f\left( {x,y}\right)  = 0 \\  z = 0 \end{array}\right.\) . 曲线 \(L\) 绕 \(x\) 轴旋转所形成的旋转曲面的方程为 \(f\left( {x, \pm  \sqrt{{y}^{2} + {z}^{2}}}\right)  = 0\)
3. 柱面方程
(1)母线平行于 \(z\) 轴的柱面方程为 \(F\left( {x,y}\right)  = 0\)
(2)母线平行于 \(x\) 轴的柱面方程为 \(G\left( {y,z}\right)  = 0\)
(3)母线平行于 \(y\) 轴的柱面方程为 \(H\left( {x,z}\right)  = 0\)
当曲面方程中缺少一个变量时,则曲面为柱面. 如 \(F\left( {x,y}\right)  = 0\) ,变量 \(z\) 未出现,该曲面表示由准线 \(\displaystyle\left\{  \begin{array}{l} F\left( {x,y}\right)  = 0 \\  z = 0 \end{array}\right.\) 生成,母线平行于 \(z\) 轴的柱面.
柱面方程必须注意准线与母线两个要素.
4.六个典型曲面
(1)椭圆锥面\(\displaystyle\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\)
(2)椭球面\(\displaystyle\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
(3)单叶双曲面\(\displaystyle\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
(4)双叶双曲面\(\displaystyle\quad\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
(5)椭圆抛物面\(\displaystyle\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z\)
(6)双曲抛物面(马鞍面)\(\displaystyle\quad\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z\)

第八章 多元函数微分法及其应用

1. 多元函数的基本概念

1. 二元函数的概念
设有变量 \(x\text{ 、 }y\) 和 \(z\) ,如果变量 \(x\text{ 、 }y\) 在一定范围内取定一组值时,变量 \(z\) 按照一定的法则,总有唯一确定的数值与之对应,则称 \(z\) 是 \(x\text{ 、 }y\) 的二元函数,记为\[z = f\left( {x,y}\right)\]并称 \(x\text{ 、 }y\) 为自变量.
自变量 \(x\text{ 、 }y\) 的取值范围,叫做函数的定义域.
在空间直角坐标系中,二元函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 的图形通常是一张曲面,它的定义域是这张曲面在 \({xOy}\) 平面上的投影.
类似地, 可以定义三元以及三元以上的函数. 二元及二元以上的函数, 统称多元函数.
2. 二元函数的极限
设二元函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 定义在平面点集 \(E\) 上, \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 是 \(E\) 的聚点, \(A\) 为一常数. 若对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ,总存在正数 \(\delta\) ,使得适合不等式 \(0 < \left| {{P}_{0}P}\right|  = \sqrt{{\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2}} < \delta\) 的一切点 \(P\left( {x,y}\right)\) 都有\[\left| {f\left( {x,y}\right)  - A}\right|  < \varepsilon\]成立,则称 \(A\) 为函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 当 \(x \rightarrow  {x}_{0},y \rightarrow  {y}_{0}\) 时的极限,记为 \(\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  {y \rightarrow  {y}_{0}} }}f\left( {x,y}\right)  = A\) . 这时也称当 \(x \rightarrow  {x}_{0},y \rightarrow  {y}_{0}\) 时,函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 收敛于 \(A\) .
为了区别于一元函数极限, 把上述二元函数的极限叫做二重极限.
所谓二重极限存在,是指点 \(P\left( {x,y}\right)\) 以任何方式无限趋于点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 时,函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 都趋于同一数值 \(A\) . 因此,如果点 \(P\left( {x,y}\right)\) 以某一特殊方式,例如沿某一定直线或定曲线趋近于 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 时,即使函数趋于某一确定值,也不能由此断定函数的极限存在. 但是反过来,如果当 \(P\left( {x,y}\right)\) 以不同方式趋于 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 时,函数趋于不同的值,那么就可以断定该函数的极限不存在.
3. 二元函数的连续性
设函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 的定义域为 \(D,{P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 是 \(D\) 的聚点,且 \({P}_{0} \in  D\) ,若\[\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow  {x}_{0}} \\  {y \rightarrow  {y}_{0}} }}f\left( {x,y}\right)  = f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\]则称函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\) 处连续.
若函数在区域 \(D\) 内的每一点都连续,则称函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在区域 \(D\) 内连续.
多元初等函数在其定义域内是连续函数.
4. 有界闭区域上二元连续函数的性质
最大值和最小值定理 在有界闭区域上的二元连续函数, 在该区域上至少取得它的最大值和最小值各一次.
介值定理 在有界闭区域上的二元连续函数, 如果取得两个不同的函数值, 则函数在该区域上必取得介于这两个值之间的任何值.
特别地,若 \(\mu\) 是介于在有界闭区域上连续的函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 的最小值 \(m\) 和最大值 \(M\) 之间的一个数,则在该区域中至少存在一点 \(P\left( {\xi ,\eta }\right)\) ,使得 \(f\left( {\xi ,\eta }\right)  = \mu\).

2. 偏导数

1. 偏导数的定义\[\frac{\partial z}{\partial x} = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta x} \rightarrow  0}}\frac{f\left( {x + {\Delta x},y}\right)  - f\left( {x,y}\right) }{\Delta x}\]\[\frac{\partial z}{\partial y} = \mathop{\lim }\limits_{{{\Delta y} \rightarrow  0}}\frac{f\left( {x,y + {\Delta y}}\right)  - f\left( {x,y}\right) }{\Delta y}\]
2. 高阶偏导数
函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在区域 \(D\) 内的偏导数 \({f}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) ,{f}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right)\) 存在时,仍然是 \(x,y\) 的二元函数. 若这两个函数的偏导数\[\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)  = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}} = {f}_{xx}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right)\]\[\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)  = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y} = {f}_{xy}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right)\]\[\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right)  = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x} = {f}_{yx}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right)\]\[\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right)  = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}} = {f}_{yy}^{\prime \prime }\left( {x,y}\right)\]也存在,则称它们是函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 的二阶偏导数.
二阶偏导数 \(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}\) 与 \(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}\) 称为函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 的二阶混合偏导数. 当这两个二阶混合偏导数在区域 \(D\) 内连续时,则在该区域 \(D\) 内有\[\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y} = \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}\]

3. 全微分

1. 全微分的定义
设 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 为 \(f\) 定义域 \(D\) 的一个内点,如果函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 处的全增量 \({\Delta z}\) 可表示为\[{\Delta z} = f\left( {{x}_{0} + {\Delta x},{y}_{0} + {\Delta y}}\right)  - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  = A \vdot  {\Delta x} + B \vdot  {\Delta y} + o\left( \rho \right)\]其中 \(A,B\) 是与 \({\Delta x},{\Delta y}\) 无关的常数. 则称函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 处可微,并称函数 \(z =\)  \(f\left( {x,y}\right)\) 的全增量 \({\Delta z}\) 的线性主部 \(A \vdot  {\Delta x} + B \vdot  {\Delta y}\) 为函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 处的全微分, 记作\[\mathrm{d}z = A \vdot  {\Delta x} + B \vdot  {\Delta y} = A\mathrm{\;d}x + B\mathrm{\;d}y\;\left( {\mathrm{\;d}x = {\Delta x},\mathrm{\;d}y = {\Delta y}}\right)\]当函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 处可微时有\[\mathrm{d}z = {f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \mathrm{d}x + {f}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \mathrm{d}y\]2. 全微分的形式不变性
设 \(z = f\left( {u,v}\right)\) 具有连续偏导数, \(u = \varphi \left( {x,y}\right) ,v = \psi \left( {x,y}\right)\) 也具有连续偏导数,则复合函数 \(z =\)  \(f\left\lbrack  {\varphi \left( {x,y}\right) ,\psi \left( {x,y}\right) }\right\rbrack\) 在点(x, y)处的全微分为\[\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{\;d}u + \frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{\;d}v\]

4. 多元复合函数的求导法则

1. 复合函数的偏导数
设函数 \(u = \varphi \left( {x,y}\right) ,v = \psi \left( {x,y}\right)\) 在点(x, y)处存在偏导数,又函数 \(z = f\left( {u,v}\right)\) 在对应点(u, v) 处具有连续的一阶偏导数,则复合函数 \(z = f\left\lbrack  {\varphi \left( {x,y}\right) ,\psi \left( {x,y}\right) }\right\rbrack\) 在点(x, y)处对 \(x\) 及 \(y\) 的偏导数均存在, 且有\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \vdot  \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \vdot  \frac{\partial v}{\partial x},\;\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \vdot  \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \vdot  \frac{\partial v}{\partial y}\]2. 全导数
设函数 \(z = f\left( {u,v}\right)\) ,而 \(u = \varphi \left( x\right) ,v = \psi \left( x\right)\) ,则 \(z = f\left\lbrack  {\varphi \left( x\right) ,\psi \left( x\right) }\right\rbrack\) 是 \(x\) 的一元函数,且\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x} = \frac{\partial z}{\partial u} \vdot  \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}x} + \frac{\partial z}{\partial v} \vdot  \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}x}\]称 \(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x}\) 为 \(z\) 关于 \(x\) 的全导数.

5. 隐函数的求导法则

1. 一元隐函数求导法则
设函数 \(F\left( {x,y}\right)\) 在点 \(P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 的某个邻域内具有连续的偏导数 \({F}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) ,{F}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right)\) ,且 \(F\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  = 0,{F}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  \neq  0\) ,则在 \(\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 的某邻域内,方程 \(F\left( {x,y}\right)  = 0\) 恒能唯一确定一个具有连续导数的函数 \(y = f\left( x\right)\) ,它满足条件 \({y}_{0} = f\left( {x}_{0}\right)\) ,并有\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} =  - \frac{{F}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) }{{F}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right) }\]2. 二元隐函数求导法则
设函数 \(F\left( {x,y,z}\right)\) 在点 \(P\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) 的某个邻域内具有连续的偏导数 \({F}_{x}^{\prime }\left( {x,y,z}\right)\) , \({F}_{y}^{\prime }\left( {x,y,z}\right) ,{F}_{z}^{\prime }\left( {x,y,z}\right)\) ,且 \(F\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)  = 0,{F}_{z}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)  \neq  0\) ,则在点 \(\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) 的某一邻域内,方程 \(F\left( {x,y,z}\right)  = 0\) 恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) ,它满足条件 \({z}_{0} =\)  \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) ,并有\[\frac{\partial z}{\partial x} =  - \frac{{F}_{x}^{\prime }\left( {x,y,z}\right) }{{F}_{z}^{\prime }\left( {x,y,z}\right) }\;,\;\frac{\partial z}{\partial y} =  - \frac{{F}_{y}^{\prime }\left( {x,y,z}\right) }{{F}_{z}^{\prime }\left( {x,y,z}\right) }\]

6. 多元函数微分学的几何应用

1. 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 \(\left\{  \begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\  y = y\left( t\right) \\  z = z\left( t\right)  \end{array}\right.\)
其中 \(x = x\left( t\right) ,y = y\left( t\right) ,z = z\left( t\right)\) 均为 \(t\) 的可微函数,且 \({x}^{\prime }\left( t\right) \text{ 、 }{y}^{\prime }\left( t\right) \text{ 、 }{z}^{\prime }\left( t\right)\) 不同时为零,则当 \(t = {t}_{0}\) 时,曲线上对应点 \({M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) 处的切线方程为\[\frac{x - {x}_{0}}{{x}^{\prime }\left( {t}_{0}\right) } = \frac{y - {y}_{0}}{{y}^{\prime }\left( {t}_{0}\right) } = \frac{z - {z}_{0}}{{z}^{\prime }\left( {t}_{0}\right) }\]法平面方程为\[{x}^{\prime }\left( {t}_{0}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right)  + {y}^{\prime }\left( {t}_{0}\right) \left( {y - {y}_{0}}\right)  + {z}^{\prime }\left( {t}_{0}\right) \left( {z - {z}_{0}}\right)  = 0\]2. 曲面的切平面与法线
设曲面方程为 \(F\left( {x,y,z}\right)  = 0\) ,其中 \(F\left( {x,y,z}\right)\) 具有连续的偏导数 \({F}_{x}^{\prime },{F}_{y}^{\prime },{F}_{z}^{\prime }\) ,且它们不同时为零. 则在曲面上点 \({M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) 处的切平面方程为\[{F}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right)  + {F}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) \left( {y - {y}_{0}}\right)  + {F}_{z}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) \left( {z - {z}_{0}}\right)  = 0\]法线方程为\[\frac{x - {x}_{0}}{{F}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) } = \frac{y - {y}_{0}}{{F}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) } = \frac{z - {z}_{0}}{{F}_{z}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) }\]若曲面方程为 \(z = f\left( {x,y}\right)\) ,且 \(f\left( {x,y}\right)\) 具有连续的偏导数,则曲面上点 \({M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)\) 处的切平面方程为\[{f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right)  + {f}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {y - {y}_{0}}\right)  - \left( {z - {z}_{0}}\right)  = 0\]法线方程为\[\frac{x - {x}_{0}}{{f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) } = \frac{y - {y}_{0}}{{f}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) } = \frac{z - {z}_{0}}{-1}\]

7. 方向导数与梯度

1. 方向导数
设函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \(P\left( {x,y}\right)\) 的某个邻域内有定义,过点 \(P\) 引射线 \(l\) (如图 8-7-1 所示),在 \(l\) 上点 \(P\) 的邻近取一动点\[{P}^{\prime }\left( {x + {\Delta x},y + {\Delta y}}\right)\]

图8-7-1

记 \(P\) 与 \({P}^{\prime }\) 的距离为\[\rho  = \sqrt{{\left( \Delta x\right) }^{2} + {\left( \Delta y\right) }^{2}}\]当 \({P}^{\prime }\) 沿 \(l\) 趋于 \(P\) 时,如果极限\[\mathop{\lim }\limits_{{{P}^{\prime } \rightarrow  P}}\frac{f\left( {P}^{\prime }\right)  - f\left( P\right) }{\left| P{P}^{\prime }\right| } = \mathop{\lim }\limits_{{\rho  \rightarrow  0}}\frac{f\left( {x + {\Delta x},y + {\Delta y}}\right)  - f\left( {x,y}\right) }{\rho }\]存在,则称此极限值为函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \(P\) 沿方向 \(l\) 的方向导数, 记为 \(\frac{\partial z}{\partial l}\)
当函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \(P\left( {x,y}\right)\) 处可微,射线 \(l\) 的方向余弦为 \(\cos \alpha ,\cos \beta\) 时\[\frac{\partial z}{\partial l} = \frac{\partial z}{\partial x} \vdot  \cos \alpha  + \frac{\partial z}{\partial y} \vdot  \cos \beta\]同样,三元函数 \(u = f\left( {x,y,z}\right)\) 在点 \(P\left( {x,y,z}\right)\) 处可微时,则沿方向余弦为 \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma\) 的射线 \(l\) 的方向导数为\[\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \vdot  \cos \alpha  + \frac{\partial u}{\partial y} \vdot  \cos \beta  + \frac{\partial u}{\partial z} \vdot  \cos \gamma\]2. 梯度
设函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 具有连续的一阶偏导数,则函数 \(z\) 在 \(P\left( {x,y}\right)\) 处的梯度是一个向量,记为 \(\operatorname{grad}z\) ,它在 \(x,y\) 坐标轴上的投影分别为在该点处的偏导数 \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\) 与 \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}\) ,即\[\operatorname{grad}z = \frac{\partial z}{\partial x}\vu{i} + \frac{\partial z}{\partial y}\vu{j}\]函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \(P\left( {x,y}\right)\) 处沿 \(l\) 方向上的方向导数 \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial l}\) ,等于函数在该点处的梯度 \(\operatorname{grad}z\) 在 \(l\) 方向上的投影,即\[\frac{\partial z}{\partial l} = \operatorname{grad}z \vdot  {\va{l}}^{ \circ  }\]其中, \({\va{l}}^{ \circ  }\) 是射线 \(l\) 方向上的单位向量.
函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \(P\) 处的梯度 \(\operatorname{grad}z\) 的模是函数 \(z\) 在该点处方向导数的最大值,它的方向与函数 \(z\) 在点 \(P\) 处取得最大方向导数的方向一致.
同样,三元函数 \(u = f\left( {x,y,z}\right)\) 具有连续的一阶偏导数时,函数 \(u\) 在点 \(P\left( {x,y,z}\right)\) 处的梯度为\[\operatorname{grad}u = \frac{\partial u}{\partial x}\vu{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\vu{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\vu{k}\]

8. 多元函数的极值及其求法

1. 极值
(1)极值的定义 设函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 的点 \(P\left( {x,y}\right)\) ,如果都满足不等式 \(f\left( {x,y}\right)  < f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) ,则称函数在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 处有极大值 \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) ; 如果都满足不等式 \(f\left( {x,y}\right)  > f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) ,则称函数在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 处有极小值 \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) . 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
(2)极值存在的必要条件 若函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 处可微且取得极值,则必有 \({f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  = 0,{f}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  = 0\)
(3)极值存在的充分条件 设函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \({P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 的某邻域内具有二阶连续偏导数,且 \({f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  = 0\) , \({f}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  = 0\) ,记 \(A = {f}_{xx}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) ,B = {f}_{xy}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) ,C = {f}_{yy}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\)
① 若 \({AC} -{B}^{2} > 0\) ,则 \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 是极值,当 \(A < 0\) 时, \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 是极大值,当 \(A > 0\) 时, \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 是极小值.
② 若 \({AC} -{B}^{2} < 0\) ,则 \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 不是极值.
③ 若 \({AC} -{B}^{2} = 0\) ,则 \(f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 可能是极值,也可能不是极值.
2. 条件极值、拉格朗日乘数法
函数 \(u = f\left( {x,y}\right)\) 在附加条件 \(\varphi \left( {x,y}\right)  = 0\) 下的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法 求条件极值时, 可作函数\[F\left( {x,y,\lambda }\right)  = f\left( {x,y}\right)  + {\lambda \varphi }\left( {x,y}\right)\]其中, \(\lambda\) 是某一常数,则点(x, y)是极值点的必要条件为\[\left\{  \begin{array}{l} {F}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right)  = {f}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right)  + \lambda {\varphi }_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right)  = 0 \\  {F}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right)  = {f}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right)  + \lambda {\varphi }_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right)  = 0 \\  \varphi \left( {x,y}\right)  = 0 \end{array}\right.\]从上述方程组中解出 \(x,y\) 及 \(\lambda\) 的值,则点(x, y)就可能是条件极值的极值点.
3. 函数的最大值和最小值
若二元函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在有界闭域 \(D\) 上连续,则 \(f\left( {x,y}\right)\) 在 \(D\) 上必定能取得最大值和最小值.
求函数最大值、最小值的一般方法是把函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在区域 \(D\) 内部的所有可能的极值点处的函数值连同边界上的函数值加以比较, 最大者为最大值, 最小者为最小值.
如果根据实际问题的性质已经知道函数的最大值 (最小值)一定在区域 \(D\) 内部取得,而函数在区域 \(D\) 内只有唯一驻点,则该驻点处的函数值就是函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在区域 \(D\) 上的最大值 (最小值).

9. 二元函数的泰勒公式

设函数 \(z = f\left( {x,y}\right)\) 在点 \(\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 的某一邻域内连续且有直到 \(\left( {n + 1}\right)\) 阶的连续偏导数,并设 \(\left( {x = {x}_{0} + h,y = {y}_{0} + k}\right)\) 为此邻域内任意一点,我们有二元函数的 \(n\) 阶泰勒公式\[f\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0} + k}\right)  = f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  + \left( {h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}}\right) f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\]\[+ \frac{1}{2!}{\left( h\frac{\partial }{\partial x} + h\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{2}f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  + \cdots  + \frac{1}{n!}{\left( h\frac{\partial }{\partial x} + h\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{n}f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  + {R}_{n}\qquad \text{①}\]其中\[{R}_{n} = \frac{1}{\left( {n + 1}\right) !}{\left( h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y}\right) }^{n + 1}f\left( {{x}_{0} + {\theta h},y + {\theta k}}\right) ,\;0 < \theta  < 1\]叫做拉格朗日形式的余项. 特别地,当 \(n = 0\) 时,公式①成为\[f\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0} + k}\right)  = f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  + h{f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0} + {\theta h},{y}_{0} + {\theta k}}\right)  + k{f}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0} + {\theta h},{y}_{0} + {\theta k}}\right)\]它叫做二元函数的拉格朗日中值定理.
又当 \(n = 1\) 时,公式①成为\[f\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0} + k}\right)  = f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  + h{f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  + k{f}_{y}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)  + \frac{1}{2!}\left\{  {{h}^{2}{f}_{xx}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0} + {\theta h},{y}_{0} + {\theta k}}\right) }\right.\]\[\left. {+{2hk}{f}_{xy}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0} + {\theta h},{y}_{0} + {\theta k}}\right)  + {k}^{2}{f}_{yy}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0} + {\theta h},{y}_{0} + {\theta k}}\right) }\right\}  ,\;0 < \theta  < 1\]

第九章 重积分

1. 二重积分

1. 二重积分的概念
函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在二维有界闭区域 \(D\) 上的二重积分系指下述和式的极限:\[{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right) \Delta {\sigma }_{i}\]其中 \(\Delta {\sigma }_{i}\) 是分割区域 \(D\) 为 \(n\) 个子区域 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 时子区域 \({\sigma }_{i}\) 的面积,而 \(\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right)  \in  {\sigma }_{i},\lambda\) 为各子区域 \({\sigma }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) 直径之最大者.
若 \(f\left( {x,y}\right)\) 在 \(D\) 上连续,则上述二重积分存在.
2. 二重积分的性质
性质 1 \(\displaystyle{\iint }_{D}{kf}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  = k{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma\) ,其中 \(k\) 为常数
性质 2 \(\displaystyle{\iint }_{D}\left\lbrack  {{f}_{1}\left( {x,y}\right)  \pm  {f}_{2}\left( {x,y}\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}\sigma  = {\iint }_{D}{f}_{1}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  \pm  {\iint }_{D}{f}_{2}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma\)
性质 3 若有界闭区域 \(D\) 能分为两个闭区域 \({D}_{1}\) 与 \({D}_{2}\) ,则\[{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  = {\iint }_{{D}_{1}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  + {\iint }_{{D}_{2}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma\]即二重积分对于积分区域具有可加性.
性质 4 (二重积分的保号性) 若在区域 \(D\) 上, \(f\left( {x,y}\right)  \leq  \varphi \left( {x,y}\right)\) ,则\[{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  \leq  {\iint }_{D}\varphi \left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma\]性质 5 (二重积分的估值定理) 设在有界闭区域 \(D\) 上 \(f\left( {x,y}\right)\) 的最大值和最小值分别为 \(M\) 和 \(m\) ,则\[{m\sigma } \leq  {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  \leq  {M\sigma }\]其中 \(\sigma\) 是区域 \(D\) 的面积.
性质 6 (二重积分的中值定理) 设函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在有界闭区域 \(D\) 上连续,则在 \(D\) 上至少存在一点 \(\left( {\xi ,\eta }\right)\) ,使得\[{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  = f\left( {\xi ,\eta }\right) \sigma\]其中, \(\sigma\) 表示区域 \(D\) 的面积.
3. 二重积分计算法
(1)在直角坐标系中的计算法 在直角坐标系中,二重积分的面积元素 \(\mathrm{d}\sigma\) 可写成 \(\mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\) ,于是\[{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  = {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\]如果积分区域 \(D\) 是由两条直线 \(x = a,x = b\) 与两条曲线 \(y = {\varphi }_{1}\left( x\right) ,y = {\varphi }_{2}\left( x\right)\) 所围成(如图 9-1-1 所示).

图 9-1-1

即 \(D : \left\{  \begin{array}{l} a \leq  x \leq  b \\  {\varphi }_{1}\left( x\right)  \leq  y \leq  {\varphi }_{2}\left( x\right)  \end{array}\right.\)
则 \(\displaystyle{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}x{\int }_{{\varphi }_{1}\left( x\right) }^{{\varphi }_{2}\left( x\right) }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y\)
如果积分区域 \(D\) 是由两条直线 \(y = c,y = d\) 与两条曲线 \(x =\)  \({\psi }_{1}\left( y\right) ,x = {\psi }_{2}\left( y\right)\) 所围成(如图 9-1-2 所示)
即 \(D : \left\{  \begin{array}{l} c \leq  y \leq  d \\  {\psi }_{1}\left( y\right)  \leq  x \leq  {\psi }_{2}\left( y\right)  \end{array}\right.\)

图 9-1-2

则 \(\displaystyle{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{c}^{d}\mathrm{\;d}y{\int }_{{\psi }_{1}\left( y\right) }^{{\psi }_{2}\left( y\right) }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\)
(2)在极坐标系中的计算法 在极坐标系中 \(\left\{  \begin{array}{l} x = r\cos \theta \\  y = r\sin \theta  \end{array}\right.\) ,面积元素 \(\mathrm{d}\sigma  = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\)
如果极点 \(O\) 不在区域 \(D\) 上,而区域 \(D\) 是由两条射线 \(\theta  = \alpha ,\theta  = \beta\) 与两条曲线 \(r = {r}_{1}\left( \theta \right) ,r = {r}_{2}\left( \theta \right)\) 所围成 (如 \(9-1-3\) 所示)

图 9-1-3

即 \(D : \left\{  \begin{array}{l} \alpha  \leq  \theta  \leq  \beta \\  {r}_{1}\left( \theta \right)  \leq  r \leq  {r}_{2}\left( \theta \right)  \end{array}\right.\)
则 \(\displaystyle{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  = {\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{{r}_{1}\left( \theta \right) }^{{r}_{2}\left( \theta \right) }f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta }\right) r\mathrm{\;d}r\)
如果区域 \(D\) 是曲边扇形 (如图 9-1-4 所示),即 \(D : \left\{  \begin{array}{l} \alpha  \leq  \theta  \leq  \beta \\  0 \leq  r \leq  r\left( \theta \right)  \end{array}\right.\)
则 \(\displaystyle{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  = {\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{r\left( \theta \right) }f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta }\right) r\mathrm{\;d}r\)

图 9-1-4

如果区域 \(D\) 由闭曲线 \(r = r\left( \theta \right)\) 所围成,且极点 \(O\) 在区域 \(D\) 内 (如图 9-1-5 所示),

图 9-1-5

则 \(\displaystyle{\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma  = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{r\left( \theta \right) }f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta }\right) r\mathrm{d}r\)

2. 三重积分

1. 三重积分的概念
函数 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在三维有界闭区域 \(\Omega\) 上的三重积分系指下述和式的极限:\[{\iiint }_{\Omega }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {V}_{i}\]其中 \(\Delta {V}_{i}\) 是分割区域 \(\Omega\) 为 \(n\) 个子区域 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{n}\) 时子区域 \({V}_{i}\) 的体积,而 \(\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right)  \in  {V}_{i},\lambda\) 为各子区域 \({V}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) 直径之最大者.
若 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(\Omega\) 上连续,则上述三重积分存在.
2. 三重积分的计算法
(1)在直角坐标系中的计算法 在直角坐标系中,三重积分的体积元素 \(\mathrm{d}V\) 为 \(\mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z\) . 设空间有界闭区域 \(\Omega\) 在 \({xOy}\) 平面上的投影为 \({D}_{xy}\) ,且平行于 \(z\) 轴的直线与 \(\Omega\) 的边界曲面 \(S\) 的交点不多于两个. 此时如果 \(\Omega\) 可表示为:\[\Omega  : \left\{  \begin{array}{l} a \leq  x \leq  b \\  {y}_{1}\left( x\right)  \leq  y \leq  {y}_{2}\left( x\right) \\  {z}_{1}\left( {x,y}\right)  \leq  z \leq  {z}_{2}\left( {x,y}\right)  \end{array}\right.\]则\[{\iiint }_{\Omega }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}V = {\iiint }_{\Omega }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z\]\[= {\iint }_{{D}_{xy}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y{\int }_{{z}_{1}\left( {x,y}\right) }^{{z}_{2}\left( {x,y}\right) }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}x{\int }_{{y}_{1}\left( x\right) }^{{y}_{2}\left( x\right) }\mathrm{d}y{\int }_{{z}_{1}\left( {x,y}\right) }^{{z}_{2}\left( {x,y}\right) }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z\]
(2)在柱面坐标系下的计算法 直角坐标与柱面坐标的关系是 \(\left\{  \begin{array}{l} x = r\cos \theta \\  y = r\sin \theta \\  z = z \end{array}\right.\)
在柱面坐标系中三重积分的体积元素 \(\mathrm{d}V\) 为 \(r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z\) ,因此\[{\iiint }_{\Omega }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}V = {\iiint }_{\Omega }f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta ,z}\right) r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z\]将右端化为累次积分, 即可求得其结果.
(3)在球面坐标系下的计算法 直角坐标与球面坐标的关系是 \(\left\{  \begin{array}{l} x = r\sin \varphi \cos \theta \\  y = r\sin \varphi \sin \theta \\  z = r\cos \varphi  \end{array}\right.\)
在球面坐标系中三重积分的体积元素 \(\mathrm{d}V\) 为 \({r}^{2}\sin \varphi \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi\) ,因此\[{\iiint }_{\Omega }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}V = {\iiint }_{\Omega }f\left( {r\sin \varphi \cos \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \varphi }\right) {r}^{2}\sin \varphi \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta\]将右端化为累次积分即可求得其结果.

3. 重积分的应用

1. 计算面积
(1)平面闭域面积为 \(\displaystyle A = {\iint }_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
(2)设曲面 \(\sum\) 的方程为 \(z = f\left( {x,y}\right) ,\sum\) 在 \({xOy}\) 平面上投影区域为 \(D,f\left( {x,y}\right)\) 在 \(D\) 上存在连续偏导数,则曲面 \(\sum\) 的面积为\[A = {\iint }_{D}\sqrt{1 + {\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x\mathrm{d}y\]
2. 计算体积
(1)曲顶柱体的体积 设柱体上顶是连续的曲面 \(z = f\left( {x,y}\right) \left( {\left( {x,y}\right)  \in  D,f\left( {x,y}\right)  \geq  0}\right)\) ,下底是平面 \(z = 0\) ,侧面为以区域 \(D\) 的边界曲线为准线而母线平行于 \(z\) 轴的柱面,则此柱体的体积为\[V = {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\](2)已知边界曲面的空间区域 \(\Omega\) 的体积 \(\displaystyle V = {\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)
3. 静力矩和重心
(1)占有平面区域 \(D\) 且质量密度为 \(\displaystyle\mu \left( {x,y}\right)\) 的平面薄片质量 \(\displaystyle M = {\iint }_{D}\mu \left( {x,y}\right) {d\sigma }\) ,它对 \(x\) 轴、 \(y\) 轴的静力矩为\[{M}_{x} = {\iint }_{D}{y\mu }\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma ,\;{M}_{y} = {\iint }_{D}{x\mu }\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\sigma\]\(D\) 的重心坐标为 \(\displaystyle\bar{x} = \frac{{M}_{y}}{M},\;\bar{y} = \frac{{M}_{x}}{M}\)
(2)占有空间区域 \(\Omega\) 且质量密度为 \(\mu \left( {x,y,z}\right)\) 的空间物体的重心坐标为:\[\left\{  \begin{array}{l} \bar{x} = \frac{1}{M}{\iiint }_{\Omega }{x\mu }\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\  \bar{y} = \frac{1}{M}{\iiint }_{\Omega }{y\mu }\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\  \bar{z} = \frac{1}{M}{\iiint }_{\Omega }{z\mu }\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \end{array}\right.\]其中 \(M\) 为 \(\Omega\) 的质量 \(\displaystyle M = {\iiint }_{\Omega }\mu \left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

第十章 曲线积分与曲面积分

1. 对弧长的曲线积分

1. 对弧长的曲线积分的概念 (又称第一类曲线积分)\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right) \Delta {s}_{i}\]如果函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在曲线 \(L\) 上连续,则 \(f\left( {x,y}\right)\) 在曲线 \(L\) 上对弧长的曲线积分 \(\displaystyle{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\) 一定存在.
上述概念可以推广到空间,如果 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 是定义在空间中分段光滑曲线 \(L\) 上的有界函数, 则函数 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在曲线 \(L\) 上对弧长的曲线积分是\[{\int }_{L}f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}s = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {s}_{i}\]2. 对弧长的曲线积分的性质
性质 1\(\displaystyle{\int }_{L}\left\lbrack  {{f}_{1}\left( {x,y}\right)  \pm  {f}_{2}\left( {x,y}\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}s = {\int }_{L}{f}_{1}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s \pm  {\int }_{L}{f}_{2}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\)
性质 2\(\displaystyle{\int }_{L}{kf}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = k{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\) ,其中 \(k\) 为常数.
性质 3 若 \(L = {L}_{1} + {L}_{2}\) ,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{{L}_{1}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s + {\int }_{{L}_{2}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s\]

3. 对弧长曲线积分的计算法
(1)设函数 \(f\left( {x,y}\right)\) 在平面曲线\[L : \left\{  {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\  y = y\left( t\right)  \end{array}\;\left( {\alpha  \leq  t \leq  \beta }\right) }\right.\]上连续, \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {\alpha ,\beta }\right\rbrack\) 上连续,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left\lbrack  {x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right\rbrack  \sqrt{{\left\lbrack  {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2} + {\left\lbrack  {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2}}\mathrm{d}t\]如果曲线 \(L\) 的方程为 \(y = y\left( x\right) ,\left( {a \leq  x \leq  b}\right)\) 且 \({y}^{\prime }\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上连续,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{a}^{b}f\left\lbrack  {x,y\left( x\right) }\right\rbrack  \sqrt{1 + {\left\lbrack  {y}^{\prime }\left( x\right) \right\rbrack  }^{2}}\mathrm{d}x\](2)设函数 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在空间曲线\[L : \left\{  \begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\  y = y\left( t\right) \;\left( {\alpha  \leq  t \leq  \beta }\right) \\  z = z\left( t\right)  \end{array}\right.\]上连续, \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right) ,{z}^{\prime }\left( t\right)\) 在 \(\left\lbrack  {\alpha ,\beta }\right\rbrack\) 上连续,则\[{\int }_{L}f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}s = {\int }_{a}^{\beta }f\left\lbrack  {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack   \vdot  \sqrt{{\left\lbrack  {x}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2} + {\left\lbrack  {y}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2} + {\left\lbrack  {z}^{\prime }\left( t\right) \right\rbrack  }^{2}}\mathrm{d}t\]

2. 对坐标的曲线积分

1. 对坐标的曲线积分 (又称第二类曲线积分)\[{\int }_{L}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right) \Delta {x}_{i}\]\[{\int }_{L}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}Q\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i}}\right) \Delta {y}_{i}\]如果函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在有向曲线 \(L\) 上连续时,上述积分都存在.
类似地,在空间有向曲线 \(\Gamma\) 上对坐标 \(x\text{ 、 }y\text{ 、 }z\) 的曲线积分\[{\int }_{\Gamma }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {x}_{i}\]\[{\int }_{\Gamma }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}Q\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {y}_{i}\]\[{\int }_{\Gamma }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}R\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {z}_{i}\]2. 对坐标的曲线积分的性质\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y =  - {\int }_{\overset{\frown}{BA}}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]3. 对坐标的曲线积分的计算法
(1) 设函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在有向曲线 \(L\) 上连续, \(L\) 的参数方程为\[\left\{  {\begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\  y = y\left( t\right)  \end{array}\;\left( {\alpha  \leq  t \leq  \beta }\right) }\right.\]且 \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right)\) 连续,而 \(t = \alpha\) 时对应于起点 \(A,t = \beta\) 对应于终点 \(B\) ,则\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\alpha }^{\beta }P\left\lbrack  {x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right\rbrack  {x}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{\alpha }^{\beta }Q\left\lbrack  {x\left( t\right) ,y\left( t\right) }\right\rbrack  {y}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\](2)如果曲线 \(L\) 是由方程 \(y = y\left( x\right) \left( {a \leq  x \leq  b}\right)\) 给出,曲线 \(L\) 的起点 \(A\) 的横坐标为 \(x = a\) ,终点 \(B\) 的横坐标为 \(x = b\) ,函数 \(y\left( x\right)\) 具有连续的一阶导数,则\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}P\left\lbrack  {x,y\left( x\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x\]\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{a}^{b}Q\left\lbrack  {x,y\left( x\right) }\right\rbrack  {y}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x\](3)如果曲线 \(L\) 是由方程 \(x = x\left( y\right) \left( {c \leq  y \leq  d}\right)\) 给出,曲线 \(L\) 的起点 \(A\) 的纵坐标为 \(y = c\) ,终点 \(B\) 的纵坐标为 \(y = d\) ,函数 \(x\left( y\right)\) 具有连续的一阶导数,则\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{c}^{d}P\left\lbrack  {x\left( y\right) ,y}\right\rbrack  {x}^{\prime }\left( y\right) \mathrm{d}y\]\[{\int }_{\overset{\frown}{AB}}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{c}^{d}Q\left\lbrack  {x\left( y\right) ,y}\right\rbrack  \mathrm{d}y\](4)对于空间曲线积分,如果函数 \(P\left( {x,y,z}\right)\) 、 \(Q\left( {x,y,z}\right)\) 、 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲线 \(\Gamma\) 上连续, \(\Gamma\) 的参数方程为\[\left\{  \begin{array}{l} x = x\left( t\right) \\  y = y\left( t\right) \;\left( {\alpha  \leq  t \leq  \beta }\right) \\  z = z\left( t\right)  \end{array}\right.\]而 \({x}^{\prime }\left( t\right) ,{y}^{\prime }\left( t\right) ,{z}^{\prime }\left( t\right)\) 连续,且 \(t = \alpha\) 对应于起点 \(A,t = \beta\) 对应于终点 \(B\) ,则\[{\int }_{\Gamma }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{\alpha }^{\beta }P\left\lbrack  {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack  {x}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]\[{\int }_{\Gamma }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{\alpha }^{\beta }Q\left\lbrack  {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack  {y}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]\[{\int }_{\Gamma }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z = {\int }_{\alpha }^{\beta }R\left\lbrack  {x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) }\right\rbrack  {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t\]4. 两类曲线积分的关系
(1)设平面上有向曲线 \(L\) 上任一点 \(M\left( {x,y}\right)\) 处与 \(L\) 方向一致的切线的方向余弦为\[\cos \alpha  = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s},\;\cos \beta  = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}\]则\[{\int }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = {\int }_{L}\left( {P\cos \alpha  + Q\cos \beta }\right) \mathrm{d}s\](2)设空间有向曲线 \(\Gamma\) 上任一点 \(N\left( {x,y,z}\right)\) 处与 \(\Gamma\) 方向一致的切线的方向余弦为\[\cos \alpha  = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s},\;\cos \beta  = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s},\;\cos \gamma  = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}\]则\[{\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = {\int }_{\Gamma }\left( {P\cos \alpha  + Q\cos \beta  + R\cos \gamma }\right) \mathrm{d}s\]

3. 格林公式及其应用

1. 格林(Green)公式
设函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在平面区域 \(D\) 及其边界曲线 \(L\) 上具有连续的一阶偏导数,则\[{\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = {\iint }_{D}\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]其中 \(L\) 取正向.
2. 平面上曲线积分与路径无关的条件
设函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在平面单连通区域 \(D\) 内具有连续的一阶偏导数,则下面四个命题等价.
命题 1 曲线 \(L\left( \overset{\frown}{AB}\right)\) 是 \(D\) 内由点 \(A\) 到点 \(B\) 的一段有向曲线,则曲线积分\[{\int }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]与路径无关,只与起点 \(A\) 和终点 \(B\) 有关.
命题 2 在区域 \(D\) 内沿任意一条闭曲线 \(L\) 的曲线积分有\[{\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = 0\]命题 3 在区域 \(D\) 内任意一点(x, y)处有\[\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\]命题 4 在 \(D\) 内存在函数 \(u\left( {x,y}\right)\) ,使得 \(P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\) 是该二元函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的全微分,即\[\mathrm{d}u = P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]3. 已知全微分求原函数
如果函数 \(P\left( {x,y}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y}\right)\) 在单连通区域 \(D\) 内具有连续的一阶偏导数,且 \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\) ,则 \(P\mathrm{\;d}x\)  \(+ Q\mathrm{\;d}y\) 是某个函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的全微分,且有\[u\left( {x,y}\right)  = {\int }_{\left( {x}_{0},{y}_{0}\right) }^{\left( x,y\right) }P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\]其中 \(\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)\) 是区域 \(D\) 内的某一定点,(x, y)是 \(D\) 内的任一点.

4. 对面积的曲面积分

1. 对面积的曲面积分的概念 (又称第一类曲面积分)\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}f\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i}\]2. 对面积的曲面积分计算法
设光滑曲面 \(\sum\) 的方程为 \(z = z\left( {x,y}\right) ,\sum\) 在 \({xOy}\) 平面上的投影域为 \({D}_{xy}\) ,函数 \(z = z\left( {x,y}\right)\) 具有一阶连续的偏导数,被积函数 \(f\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(\sum\) 上连续,则\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = {\iint }_{{D}_{xy}}f\left\lbrack  {x,y,z\left( {x,y}\right) }\right\rbrack  \sqrt{1 + {\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) }^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]当光滑曲面 \(\sum\) 的方程为 \(x = x\left( {y,z}\right)\) 或 \(y = y\left( {z,x}\right)\) 时,可以把曲面积分化为相应的二重积分\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = {\iint }_{{D}_{yz}}f\left\lbrack  {x\left( {y,z}\right) ,y,z}\right\rbrack  \sqrt{1 + {\left( \frac{\partial x}{\partial y}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial x}{\partial z}\right) }^{2}}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]或\[{\iint }_{\sum }f\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}S = {\iint }_{{D}_{zx}}f\left\lbrack  {x,y\left( {x,z}\right) ,z}\right\rbrack  \sqrt{1 + {\left( \frac{\partial y}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial y}{\partial z}\right) }^{2}}\mathrm{d}z\mathrm{d}x\]其中 \({D}_{yz}\) 和 \({D}_{zx}\) 分别为曲面 \(\sum\) 在 \({yOz}\) 面和 \({zOx}\) 面上的投影域.

5. 对坐标的曲面积分

1. 对坐标的曲面积分的概念 (又称第二类曲面积分)
有向曲面 通常遇到的曲面都是双侧的, 规定了正侧的曲面称为有向曲面.
设 \(\sum\) 为光滑的有向曲面, \(P\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }R\left( {x,y,z}\right)\) 都是定义在 \(\sum\) 上的有界函数,将曲面 \(\sum\) 任意分成 \(n\) 个小曲面 \(\Delta {S}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,在每个小曲面上任取一点 \({N}_{i}\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right)\) ,曲面 \(\sum\) 的正侧在点 \({N}_{i}\) 处的法向量为\[{\va{n}}_{i} = \cos {\alpha }_{i}\vu{i} + \cos {\beta }_{i}\vu{j} + \cos {\gamma }_{i}\vu{k}\]有向小曲面 \(\Delta {S}_{i}\) 在 \({xOy}\) 平面上投影为 \(\Delta {S}_{i,{xy}} = \Delta {S}_{i}\cos {\gamma }_{i}\) ,如果当各小曲面直径的最大值 \(\lambda  \rightarrow  0\) 时,和式 \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}R\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{xy}}\) 的极限存在,则称此极限为函数 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲面 \(\sum\) 的正侧上对坐标 \(x,y\) 的曲面积分,记为 \({\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\) ,即\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}R\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{xy}}\]类似地,函数 \(P\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲面 \(\sum\) 的正侧上对坐标 \(y,z\) 的曲面积分\[{\iint }_{\sum }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{yz}}\]其中 \(\Delta {S}_{i,{yz}} = \Delta {S}_{i}\cos {\alpha }_{i}\)
函数 \(Q\left( {x,y,z}\right)\) 在有向曲面 \(\sum\) 的正侧上对坐标 \(z,x\) 的曲面积分\[{\iint }_{\sum }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda  \rightarrow  0}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}Q\left( {{\xi }_{i},{\eta }_{i},{\zeta }_{i}}\right) \Delta {S}_{i,{zx}}\]其中 \(\Delta {S}_{i,{zx}} = \Delta {S}_{i}\cos {\beta }_{i}\)
2. 对坐标的曲面积分的性质
若 \(\sum\) 表示有向曲面的正侧,该曲面的另一侧为负侧记为 \({\sum }^{ - }\) ,则有\[{\iint }_{\sum }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y =  - {\iint }_{{\sum }^{ - }}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]即当积分曲面改变为相反侧时, 对坐标的曲面积分要改变符号
3. 对坐标的曲面积分的计算法
设光滑曲面 \(\sum\) 是由方程 \(z = z\left( {x,y}\right)\) 所给出的曲面上侧,角 \(\gamma\) 是曲面 \(\sum\) 的法向量 \(\va{n}\) 与 \(z\) 轴的夹角,此时 \(\cos \gamma  > 0\) ,曲面 \(\sum\) 在 \({xOy}\) 平面上的投影区域为 \({D}_{xy}\) ,函数 \(z = z\left( {x,y}\right)\) 在 \({D}_{xy}\) 上具有一阶连续偏导数,被积函数 \(R\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(\sum\) 上连续,则\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = {\iint }_{{D}_{xy}}R\left\lbrack  {x,y,z\left( {x,y}\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]如果积分曲面取在 \(\sum\) 的下侧,此时 \(\cos \gamma  < 0\) ,则\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =  - {\iint }_{{D}_{xy}}R\left\lbrack  {x,y,z\left( {x,y}\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]当曲面 \(\sum\) 是母线平行于 \(z\) 轴的柱面 \(F\left( {x,y}\right)  = 0\) 时,此时 \(\displaystyle\cos \gamma  = \cos \frac{\pi }{2} = 0\) ,则\[{\iint }_{\sum }R\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0\]类似地有\[{\iint }_{\sum }P\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z =  \pm  {\iint }_{{D}_{yz}}P\left\lbrack  {x\left( {y,z}\right) ,y,z}\right\rbrack  \mathrm{d}y\mathrm{d}z\]\[{\iint }_{\sum }Q\left( {x,y,z}\right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x =  \pm  {\iint }_{{D}_{zx}}Q\left\lbrack  {x,y\left( {x,z}\right) ,z}\right\rbrack  \mathrm{d}z\mathrm{d}x\]4. 两类曲面积分之间的关系
设曲面 \(\sum\) 上任一点(x, y, z)处法向量 \(\va{n}\) 的方向余弦为 \(\cos \alpha \text{ 、 }\cos \beta \text{ 、 }\cos \gamma\) 则有\[{\iint }_{\sum }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = {\iint }_{\sum }\left( {P\cos \alpha  + Q\cos \beta  + R\cos \gamma }\right) \mathrm{d}S\]

6. 高斯公式 通量与散度

1. 高斯 (Gauss) 公式
设空间闭区域 \(\Omega\) 是由分片光滑的闭曲面 \(\sum\) 所围成,函数 \(P\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }R\left( {x,y,z}\right)\) 在 \(\Omega\) 及其边界曲面 \(\sum\) 上具有连续的一阶偏导数,则\[{\oint}_{\sum}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = {\iiint }_{\Omega }\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]或\[{\oint}_{\sum}\left( {P\cos \alpha  + Q\cos \beta  + R\cos \gamma }\right) \mathrm{d}S = {\iiint }_{\Omega }\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]其中 \(\sum\) 取外侧, \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma\) 是 \(\sum\) 上任一点(x, y, z)处外法线向量的方向余弦
2. 通量与散度
设向量场\[\va{A}\left( {x,y,z}\right)  = P\left( {x,y,z}\right) \vu{i} + Q\left( {x,y,z}\right) \vu{j} + R\left( {x,y,z}\right) \vu{k}\]其中 \(P,Q,R\) 具有连续的一阶偏导数, \(\sum\) 是场内的一个有向曲面,则称\[\Phi  = {\iint }_{\sum }\va{A} \vdot  \mathrm{d}\va{S} = {\iint }_{\sum }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]为向量场 \(\va{A}\) 通过曲面 \(\sum\) 的通量 (或流量).
\(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\) 称为向量场 \(\va{A}\) 的散度,记作 \(\operatorname{div}\va{A}\) ,即\[\operatorname{div}\va{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]有了散度的概念, 高斯公式可写成\[{\oint}_{\sum }\va{A} \vdot  \mathrm{d}\va{S} = {\iiint }_{\Omega }\operatorname{div}\va{A}\mathrm{d}V\]其中 \(\sum\) 是空间闭区域 \(\Omega\) 的边界曲面的外侧.

7. 斯托克斯公式 环流量与旋度

1. 斯托克斯 (Stokes) 公式
设函数 \(P\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }Q\left( {x,y,z}\right) \text{ 、 }R\left( {x,y,z}\right)\) 在包含曲面 \(S\) 的空间域 \(\Omega\) 内具有连续的一阶偏导数, \(L\) 是曲面 \(\sum\) 的边界曲线,则\[\small {\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = {\iint }_{\sum }\left| \begin{array}{lll} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\  P & Q & R \end{array}\right|  = {\iint }_{\sum }\left| \begin{array}{lll} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\  P & Q & R \end{array}\right| \mathrm{d}S\]其中 \(L\) 的正向与 \(\sum\) 所取的正侧符合右手法则, \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma\) 是曲面 \(S\) 的正侧上任一点(x, y, z) 处法向量 \(\va{n}\) 的方向余弦
2. 环流量与旋度
设向量场\[\va{A}\left( {x,y,z}\right)  = P\left( {x,y,z}\right) \vu{i} + Q\left( {x,y,z}\right) \vu{j} + R\left( {x,y,z}\right) \vu{k}\]\(L\) 是场内的一条有向闭曲线,则称\[\Gamma  = {\oint }_{L}\va{A} \vdot  \mathrm{d}\va{S} = {\oint }_{L}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z\]为向量场 \(\va{A}\) 沿曲线 \(L\) 的环流量,并称向量\[\left( {\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}}\right) \vu{i} + \left( {\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}}\right) \vu{j} + \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \vu{k}\]为向量 \(\va{A}\) 的旋度,记作 \(\operatorname{rot}\va{A}\) ,即\[\operatorname{rot}\va{A} = \left( {\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}}\right) \vu{i} + \left( {\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}}\right) \vu{j} + \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \vu{k} = \left| \begin{matrix} \vu{i} & \vu{j} & \vu{k} \\  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\  P & Q & R \end{matrix}\right|\]有了旋度的概念, 斯托克斯公式可写成\[{\oint }_{L}\va{A} \vdot  \mathrm{d}\va{r} = {\iint }_{\sum }\operatorname{rot}\va{A} \vdot  \mathrm{d}\va{S}\]其中 \(\mathrm{d}\va{r} = \mathrm{d}{x\vu{i}} + \mathrm{d}{y\vu{j}} + \mathrm{d}z\vu{k}\)
\(\mathrm{d}\va{S} = \mathrm{d}y\mathrm{d}z\vu{i} + \mathrm{d}z\mathrm{d}x\vu{j} + \mathrm{d}x\mathrm{d}y\vu{k}\)

第十一章 无穷级数

1. 常数项级数的概念和性质

1. 常数项级数的概念
设有数列 \(\left\{  {u}_{n}\right\}   : {u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{n},\cdots\) ,将其各项依次累加所得的式子 \({u}_{1} + {u}_{2} + \cdots  + {u}_{n} + \cdots\) 称为 (常数项) 无穷级数,简称 (常数项) 级数,记作 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) ,即 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n} = {u}_{1} + {u}_{2} + \cdots  + {u}_{n} + \cdots\)
2. 常数项级数收敛的概念
设给定常数项级数\[\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n} = {u}_{1} + {u}_{2} + \cdots  + {u}_{n} + \cdots\qquad①\]记 \({S}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{u}_{i} = {u}_{1} + {u}_{2} + \cdots  + {u}_{n}\) 为级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 的前 \(n\) 项部分和,若 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{S}_{n} = S\) (有限值),则称级数①收敛; 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{S}_{n}\) 不存在,则称级数①发散
3. 常数项级数的基本性质
(1) 级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 与 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }k{u}_{n}\) 有相同敛散性 ( \(k\) 是不为零的常数)
(2) 若级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{v}_{n}\) 均收敛,则级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{u}_{n} \pm  {v}_{n}}\right)\) 亦收敛,且有\[\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{u}_{n} \pm  {v}_{n}}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n} \pm  \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{v}_{n}\](3)在级数中去掉或添加有限项,不会影响级数的敛散性(但收敛时,级数和一般会改变)
(4)收敛级数任意加括号后所成的级数仍收敛. 如果正项级数加括号后所成的级数收敛, 则原级数收敛
(5) 级数收敛的必要条件: 若 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 收敛,则 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{u}_{n} = 0\)
4. 柯西收敛准则
级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 收敛的充分必要条件: 对任意给定的正数 \(\varepsilon\) ,总存在 \(N\) ,使得当 \(n > N\) 时,对于任意的自然数 \(p = 1,2,3,\cdots\) ,不等式\[\left| {{u}_{n + 1} + {u}_{n + 2} + \cdots  + {u}_{n + p}}\right|  < \varepsilon\]恒成立

2. 正项级数的审敛法

设 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{v}_{n}\) 均为正项级数
1. 比较审敛法
(1)若 \(0 \leq  {u}_{n} \leq  {v}_{n},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{v}_{n}\) 收敛,则 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 收敛
(2)若 \(0 \leq  {v}_{n} \leq  {u}_{n},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{v}_{n}\) 发散,则 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 发散
比较审敛法的极限形式 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\frac{{u}_{n}}{{v}_{n}} = \lambda \left( {0 < \lambda  <  + \infty }\right)\) ,则级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 与 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{v}_{n}\) 具有相同的敛散性
2. 比值审敛法
若 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\frac{{u}_{n + 1}}{{u}_{n}} = \rho \left\{  \begin{array}{ll}  < 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 收敛 } \\   > 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 发散 } \\   = 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 敛散性不定 } \end{array}\right.\)
3. 根值审敛法
若 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\sqrt[n]{{u}_{n}} = \rho \left\{  \begin{array}{ll}  < 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 收敛 } \\   > 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 发散 } \\   = 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 敛散性不定 } \end{array}\right.\)
4. 对数审敛法
(1)若存在 \(\alpha  > 0\) ,使当 \(n \geq  {n}_{0}\) 时, \(\displaystyle\frac{\ln \frac{1}{{u}_{n}}}{\ln n} \geq  1 + \alpha\) ,则正项级数 \(\displaystyle\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 收敛
(2) 若 \(n \geq  {n}_{0}\) 时, \(\displaystyle\frac{\ln \frac{1}{{u}_{n}}}{\ln n} \leq  1\) ,则正项级数 \(\displaystyle\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 发散
对数审敛法的极限形式 \(\displaystyle\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\frac{\ln\frac{1}{u_n}}{\ln{n}}=\rho \left\{  \begin{array}{ll}  > 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 收敛 } \\   < 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 发散 } \\   = 1, & \text{ 则 }\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\text{ 敛散性不定 } \end{array}\right.\)
5. 两个重要级数的敛散性
等比级数: \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }a{r}^{n}\left( {a \neq  0}\right)\) 当 \(\left| r\right|  < 1\) 时收敛; 当 \(\left| r\right|  \geq  1\) 时发散
\(p\) 一级数: \(\displaystyle\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{p}}\) 当 \(p > 1\) 时收敛,当 \(p \leq  1\) 时发散
6. 正项级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 判断敛散性的一般步骤
(1)考查 \({u}_{n} \rightarrow  0\) ,若 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{u}_{n} \neq  0\) 则级数发散
(2)若 \({u}_{n} \rightarrow  0\) ,用比值法或根值法判定级数敛散性
(3)若比值法或根值判别法均无效, 则用比较判别法
(4)若上述方法都行不通时,考虑 \({S}_{n}\) 是否有极限
从上述步骤可知, 比值法或根值法是比较重要的判别法, 也是比较易掌握的判别法

3. 任意项级数的审敛法

1. 交错级数的莱布尼兹判别法
若 \({u}_{n} > 0,{u}_{n} \geq  {u}_{n + 1},\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{u}_{n} = 0\) ,则交错级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n - 1}{u}_{n}\) 收敛,其和 \(S < {u}_{1}\)
2. 任意项级数 绝对收敛与条件收敛
若 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 为任意项级数,且 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {u}_{n}\right|\) 收敛,则 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 收敛,并称 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 为绝对收敛; 若 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 收敛,而 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {u}_{n}\right|\) 发散,则称 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 为条件收敛
3. 判定任意项级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 的敛散性的主要方法
若 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {u}_{n}\right|\) 收敛,则 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 绝对收敛; 若 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {u}_{n}\right|\) 发散,则 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\) 敛散性判别主要利用“莱布尼兹判别法”或 \({u}_{n} \rightarrow  0\) 或求 \({S}_{n}\)

4. 幂级数

1. 函数项级数的一般概念
(1)函数项级数的定义 设给定一个定义在区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的函数列\[{u}_{1}\left( x\right) ,{u}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}_{n}\left( x\right) ,\cdots \]则式子\[{u}_{1}\left( x\right)  + {u}_{2}\left( x\right)  + \cdots  + {u}_{n}\left( x\right)  + \cdots \qquad ①\]叫做函数项级数
(2)函数项级数的收敛域 对于区间 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的每一个值 \({x}_{0}\) ,级数①成为常数项级数\[{u}_{1}\left( {x}_{0}\right)  + {u}_{2}\left( {x}_{0}\right)  + \cdots  + {u}_{n}\left( {x}_{0}\right)  + \cdots \qquad  ②\]如果②收敛,则称 \({x}_{0}\) 是级数①的收敛点; 如果②发散,则称 \({x}_{0}\) 是级数①的发散点,①所有收敛点的全体称为函数项级数①的收敛域
(3)函数项级数的和函数 对于收敛域内的任一点 \(x\) ,级数① 都有一个确定的和\[S\left( x\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)\]\(S\left( x\right)\) 是定义在收敛域上的函数,称为级数①的和函数.
2. 幂级数及其收敛域
(1)幂级数的定义 形如\[{a}_{0} + {a}_{1}\left( {x - {x}_{0}}\right)  + {a}_{2}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + \cdots  + {a}_{n}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{n} + \cdots\]或 \({a}_{0} + {a}_{1}x + {a}_{2}{x}^{2} + \cdots  + {a}_{n}{x}^{n} + \cdots\)的级数称为幂级数
(2) 阿贝尔 (Abel) 引理 若 \({x}_{0}\) 是幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 的收敛点,则对于一切满足 \(\left| x\right|  < \left| {x}_{0}\right|\) 的点 \(x\) ,幂级数都绝对收敛; 若 \({x}_{0}\) 是幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 的发散点,则对一切满足 \(\left| x\right|  > \left| {x}_{0}\right|\) 的点 \(x\) ,幂级数都发散
(3) 幂级数的收敛半径 对任一幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) ,必存在一个非负数 \(R\left( {R\text{ 可为无穷大 }}\right)\) ,使得对一切 \(\left| x\right|  < R\) 的点 \(x\) (当 \(R = 0\) 时, \(x = 0\) ),幂级数都收敛; 而对一切 \(\left| x\right|  > R\) 的点 \(x\) ,幂级数都发散. \(R\) 称为幂级数的收敛半径, \(R\) 的求法如下:
设幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) ,若 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right|  = \rho\) ,则幂级数的收敛半径\[R = \left\{  \begin{array}{ll} \frac{1}{\rho }, & 0 < \rho  <  + \infty \\   + \infty , & \rho  = 0 \\  0, & \rho  =  + \infty  \end{array}\right.\](4)幂级数的收敛域 在幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 的收敛区间(-R, R)上,加上收敛区间端点中的收敛点,就得到幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 的收敛域. 若 \(R\) 是不为零的有限数,则其收敛域为以下四种情形之一:\[\left( {-R,R}\right) ,\left\lbrack  {-R,R}\right\rbrack  ,\;\left( {-R,R}\right) ,\;\lbrack  - R,R)\]
3. 幂级数的性质
若幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 的收敛半径为 \(R\) ,则有
(1)和函数 \(S\left( x\right)\) 在(-R, R)内是连续的. 若 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 在端点 \(x = R\) (或 \(x =  - R\) ) 处收敛,则和函数在点 \(x = R\) 左连续 (或在点 \(x =  - R\) 右连续)
(2)幂级数可以逐项微分,即\[{S}^{\prime }\left( x\right)  = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\left( {a}_{n}{x}^{n}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n - 1},\;x \in  \left( {-R,R}\right)\]若逐项微分后得到的幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n - 1}\) 在端点 \(x = R\) (或 \(x =  - R\) )处收敛,则逐项微分以前的幂级数在点 \(x = R\) (或 \(x =  - R\) ) 也收敛
(3)幂级数可以逐项积分,即\[{\int }_{0}^{x}S\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{x}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\int }_{0}^{x}{a}_{n}{x}^{n}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{n + 1}{x}^{n + 1},\;x \in  \left( {-R,R}\right)\]若幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 在端点 \(x = R\) (或 \(x =  - R\) ) 处收敛,则积分上限 \(x\) 可取为 \(x = R\) (或 \(x =\)  \(- R)\)
4. 幂级数的运算
设 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} = f\left( x\right)\) 的收敛半径为 \({R}_{1},\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n} = h\left( x\right)\) 的收敛半径为 \({R}_{2}\) ,则对于这两个幂级数可以进行下列四则运算:\[\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}}\right)  \pm  \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n}}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\left( {{a}_{n} \pm  {b}_{n}}\right) {x}^{n} = f\left( x\right)  \pm  h\left( x\right)\]收敛半径 \(R = \min \left\{  {{R}_{1},{R}_{2}}\right\}\)\[\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n}}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\left( {{a}_{0}{b}_{n} + {a}_{1}{b}_{n - 1} + \cdots  + {a}_{n}{b}_{0}}\right) {x}^{n} = f\left( x\right)  \vdot  h\left( x\right)\]收敛半径 \(R = \min \left\{  {{R}_{1},{R}_{2}}\right\}\)\[\frac{\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}}{\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{x}^{n}\;\left( {\text{ 其中 }{b}_{0} \neq  0}\right)\]系数 \({c}_{n}\) 可由幂级数的乘法 \(\left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{x}^{n}}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) ,并比较同次幂的系数得到. 相除后得到的幂级数 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{c}_{n}{x}^{n}\) 的收敛区间可能比原来两个幂级数的收敛区间小得多

5. 函数展开成幂级数

1. 泰勒 (Taylor) 级数
当 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 的某邻域内存在任意阶导数时,幂级数\[\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) }{n!}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{n}\]\[= f\left( {x}_{0}\right)  + \frac{{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) }{1!}\left( {x - {x}_{0}}\right)  + \frac{{f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) }{2!}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + \cdots  + \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) }{n!}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{n} + \cdots\]称为 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 处的泰勒级数
当 \({x}_{0} = 0\) 时,泰勒级数为\[\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}{x}^{n} = f\left( 0\right)  + {f}^{\prime }\left( 0\right) x + \frac{{f}^{\prime \prime }\left( 0\right) }{2!}{x}^{2} + \cdots  + \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}{x}^{n} + \cdots\]称为麦克劳林 (Maclaurin) 级数
2. 函数的幂级数展开式
函数展为幂级数有直接方法与间接方法两种 (以下主要讨论函数 \(f\left( x\right)\) 在点 \(x = 0\) 处展为幂级数的问题)
直接法 用直接法将函数展开为 \(x\) 的幂级数的步骤是
(1)求出 \(f\left( x\right)\) 在 \(x = 0\) 处各阶导数值 \({f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) ,n = 0,1,2,\cdots\)
(2)写出幂级数\[\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}{x}^{n} = f\left( 0\right)  + {f}^{\prime }\left( 0\right) x + \frac{{f}^{\prime \prime }\left( 0\right) }{2!}{x}^{2} + \cdots  + \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}{x}^{n} + \cdots\]并求出收敛半径 \(R\)
(3)在收敛区间(-R, R)内考察泰勒级数余项 \({R}_{n}\left( x\right)\) 的极限\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{R}_{n}\left( x\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\frac{{f}^{\left( n + 1\right) }\left( \xi \right) }{\left( {n + 1}\right) !}{x}^{n + 1}\;\left( {\xi \text{ 介于 }0\text{ 与 }x\text{ 之间 }}\right)\]是否为零,如果为零,则第 (2) 步写出的幂级数就是 \(f\left( x\right)\) 的幂级数展开式
间接法 这种方法是利用已知的函数展开式, 经过适当的四则运算、复合步骤以及逐项微分、逐项积分等把所给函数展为幂级数. 常用的函数展开式见需熟记的重要公式——泰勒公式及常用泰勒展开。

6. 傅立叶级数

1. 函数的傅立叶 (Fourier) 级数
设函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {-\pi ,\pi }\right\rbrack\) (或 \(\left\lbrack  {0,{2\pi }}\right\rbrack\) ) 上可积,则称\[{a}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos {nx}\mathrm{\;d}x,\;n = 0,1,2,\cdots\]\[{b}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin {nx}\mathrm{\;d}x,\;n = 1,2,\cdots\]为函数 \(f\left( x\right)\) 的傅立叶系数. 由上述 \({a}_{n},{b}_{n}\) 所形成的三角级数\[\frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{n}\cos {nx} + {b}_{n}\sin {nx}}\right)\]称为函数 \(f\left( x\right)\) 的傅立叶级数
2. 狄立克莱 (Dirichlet) 定理
设函数 \(f\left( x\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {-\pi ,\pi }\right\rbrack\) (或 \(\left\lbrack  {0,{2\pi }}\right\rbrack\) ) 上满足条件:
(1)连续或只有有限个第一类间断点
(2)至多只有有限个极值点

则 \(f\left( x\right)\) 的傅立叶级数\[\frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{n}\cos {nx} + {b}_{n}\sin {nx}}\right)\]在区间 \(\left\lbrack  {-\pi ,\pi }\right\rbrack\) (或 \(\left\lbrack  {0,{2\pi }}\right\rbrack\) ) 上收敛,并且,若其和函数为 \(S\left( x\right)\) ,则有:
(1)在 \(f\left( x\right)\) 的连续点处, \(S\left( x\right)  = f\left( x\right)\)
(2)在 \(f\left( x\right)\) 的间断点 \(x\) 处, \(\displaystyle S\left( x\right)  = \frac{f\left( {x - 0}\right)  + f\left( {x + 0}\right) }{2}\)
(3)在端点 \(x =  \pm  \pi\) 处, \(\displaystyle S\left( x\right)  = \frac{f\left( {-\pi  + 0}\right)  + f\left( {\pi  - 0}\right) }{2}\)
(或在 \(x = 0,{2\pi }\) 处, \(\displaystyle S\left( x\right)  = \frac{f\left( {0 + 0}\right)  + f\left( {{2\pi } - 0}\right) }{2}\) ),其中 \(f\left( {{x}_{0} - 0}\right) ,f\left( {{x}_{0} + 0}\right)\) 分别表示 \(f\left( x\right)\) 在 \({x}_{0}\) 处的左、右极限\[{a}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos {nx}\mathrm{\;d}x,\;n = 0,1,2,\cdots\]\[{b}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin {nx}\mathrm{\;d}x,\;n = 1,2,\cdots\]
3. 正弦级数
若 \(f\left( x\right)\) 是 \(\left( {-\pi ,\pi }\right)\) 上的奇函数,则\[f\left( x\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{b}_{n}\sin {nx}\]其中 \({b}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \sin {nx}\mathrm{\;d}x,\;n = 1,2,\cdots\)
4. 余弦级数
若 \(f\left( x\right)\) 是 \(\left( {-\pi ,\pi }\right)\) 上的偶函数,则\[f\left( x\right)  = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}\cos {nx}\]其中 \({a}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \cos {nx}\mathrm{\;d}x,\;n = 0,1,2,\cdots\)

7. 一般周期函数的傅立叶级数

任意区间 \(\left\lbrack  {-l,l}\right\rbrack\) 上的傅立叶级数
设函数 \(f\left( x\right)\) 在长为 \({2l}\) 的区间 \(\left\lbrack  {-l,l}\right\rbrack\) (或 \(\left\lbrack  {0,{2l}}\right\rbrack\) ) 上满足狄立克莱定理条件,作变量置换 \(\displaystyle t =\frac{\pi x}{l}\) ,则函数 \(\displaystyle f\left( x\right)  = f\left( {\frac{l}{\pi }t}\right)  = \varphi \left( t\right)\) ,而 \(\varphi \left( t\right)\) 在区间 \(\left\lbrack  {-\pi ,\pi }\right\rbrack\) 上满足狄立克莱定理条件,所以 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack  {-l,l}\right\rbrack\) 上的傅立叶级数 \(\displaystyle \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{n}\cos \frac{n\pi }{l}x + {b}_{n}\sin \frac{n\pi }{l}x}\right)\) 收敛,并且,若其和函数为 \(S\left( x\right)\) ,则有
(1)在 \(f\left( x\right)\) 的连续点处, \(S\left( x\right)  = f\left( x\right)\)
(2)在 \(f\left( x\right)\) 的间断点 \(x\) 处, \(\displaystyle S\left( x\right)  = \frac{f\left( {x - 0}\right)  + f\left( {x + 0}\right) }{2}\)
(3)在端点 \(x =  \pm  l\) 处, \(\displaystyle S\left( x\right)  = \frac{f\left( {-l + 0}\right)  + f\left( {l - 0}\right) }{2}\)
\(\displaystyle \left( {\text{ 或在 }x = 0,{2l}}\right.\) 处, \(\left. {S\left( x\right)  = \frac{f\left( {0 + 0}\right)  + f\left( {{2l} - 0}\right) }{2}}\right)\)
其中\[{a}_{n} = \frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f\left( x\right) \cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{\;d}x,\;n = 0,1,2,\cdots\]\[{b}_{n} = \frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f\left( x\right) \sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{\;d}x,\;n = 1,2,\cdots\]可见,任意区间 \(\left\lbrack  {-l,l}\right\rbrack\) 上的傅立叶级数是区间 \(\left\lbrack  {-\pi ,\pi }\right\rbrack\) 上的傅立叶级数的推广. 而区间 \(\left\lbrack  {-\pi ,\pi }\right\rbrack\) 上的傅立叶级数是区间 \(\left\lbrack  {-l,l}\right\rbrack\) 上的傅立叶级数的特殊情况

第十二章 常微分方程

1. 微分方程的基本概念

含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程
微分方程分两类: 常微分方程和偏微分方程. 若未知函数为多元函数, 微分方程中出现偏导数, 这样的微分方程称为偏微分方程. 而未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程, 本章只限于研究常微分方程, 简称微分方程, 有时也简称为方程
微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为这个方程的阶
\(n\) 阶常微分方程的一般形式为\[F\left( {x,y,{y}^{\prime },{y}^{\prime \prime },\cdots ,{y}^{\left( n\right) }}\right)  = 0\]若将函数 \(y = y\left( x\right)\) 代入微分方程后,能使方程成为恒等式,则称函数 \(y = y\left( x\right)\) 为微分方程的解
若微分方程的解中所含独立任意常数的个数与此微分方程的阶数相等, 则称这个解为微分方程的通解
确定通解中任意常数的条件称为定解条件
满足定解条件的解称为微分方程的特解

2. 可分离变量的微分方程

形如\[{f}_{1}\left( x\right) {g}_{1}\left( y\right) \mathrm{d}x + {f}_{2}\left( x\right) {g}_{2}\left( y\right) \mathrm{d}y = 0\]的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程. 将方程两端除以 \({g}_{1}\left( y\right) {f}_{2}\left( x\right)\) (此时 \({g}_{1}\left( y\right) {f}_{2}\left( x\right)  \neq\)  \(0)\) ,得\[\frac{{f}_{1}\left( x\right) }{{f}_{2}\left( x\right) }\mathrm{d}x + \frac{{g}_{2}\left( y\right) }{{g}_{1}\left( y\right) }\mathrm{d}y = 0\]然后对上式两端积分, 即可得方程的通解\[\int \frac{{f}_{1}\left( x\right) }{{f}_{2}\left( x\right) }\mathrm{d}x + \int \frac{{g}_{2}\left( y\right) }{{g}_{2}\left( y\right) }\mathrm{d}y = C\]

3. 齐次微分方程

1. 齐次方程
形如\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( \frac{y}{x}\right)\]的一阶微分方程称为齐次方程
令 \(\displaystyle u = \frac{y}{x}\) ,或 \(y = x \vdot  u\) ,则 \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\) ,代入原方程得\[u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f\left( u\right) ,\;\text{ 即 }\;\frac{\mathrm{d}u}{f\left( u\right)  - u} = \frac{1}{x}\mathrm{d}x\]这是变量已分离的微分方程, 经积分即可得方程的通解
2. 可化为齐次方程的微分方程
形如方程\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f\left( \frac{{a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1}}{{a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2}}\right)\]其中 \({a}_{1},{b}_{1},{c}_{1},{a}_{2},{b}_{2},{c}_{2}\) 为常数,且 \({c}_{1}{}^{2} + {c}_{2}{}^{2} \neq  0\) . 当 \(\displaystyle \left| \begin{array}{ll} {a}_{1} & {b}_{1} \\  {a}_{2} & {b}_{2} \end{array}\right|  \neq  0\) 时,令 \(x = X + h,y = Y + k\) ,由\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{1}h + {b}_{1}k + {c}_{1} = 0 \\  {a}_{2}h + {b}_{2}k + {c}_{2} = 0 \end{array}\right.\]解出 \(h\) 与 \(k\) ,可将原方程化为齐次方程\[\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{\;d}X} = f\left( \frac{{a}_{1}X + {b}_{1}Y}{{a}_{2}X + {b}_{2}Y}\right)  = f\left\lbrack  \frac{{a}_{1} + {b}_{1}\frac{Y}{X}}{{a}_{2} + {b}_{2}\frac{Y}{X}}\right\rbrack   = g\left( \frac{Y}{X}\right)\]当 \(\left| \begin{array}{ll} {a}_{1} & {b}_{1} \\  {a}_{2} & {b}_{2} \end{array}\right|  = 0\) 时,即 \(\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}} = \frac{{b}_{1}}{{b}_{2}} = k\) ,可设 \(u = {a}_{2}x + {b}_{2}y\) ,代入原方程后可化为可分离变量的微分方程, 即有\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( \frac{{ku} + {c}_{1}}{u + {c}_{2}}\right)  = g\left( u\right) ,\;\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = {a}_{2} + {b}_{2}g\left( u\right)\]

4. 一阶线性微分方程

1. 一阶线性微分方程
形如\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + P\left( x\right) y = Q\left( x\right)\]的一阶微分方程称为一阶线性微分方程
(1) \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P\left( x\right) y = 0\) ,称为一阶线性齐次方程,直接积分,可得其通解\[y = C{\mathrm{e}}^{-\int P\left( x\right) \mathrm{d}x}\](2) \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P\left( x\right) y = Q\left( x\right)\) ,称为一阶线性非齐次方程,用常数变易法,可得其通解\[y = {\mathrm{e}}^{-\int P\left( x\right) \mathrm{d}x}\left\lbrack  {\int Q\left( x\right) {\mathrm{e}}^{\int P\left( x\right) \mathrm{d}x}\mathrm{d}x + C}\right\rbrack \]
2. 贝努里 (Bernoulli) 方程
一阶微分方程 \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P\left( x\right) y = Q\left( x\right) {y}^{n}\left( {n \neq  0,1}\right)\) ,称为贝努里方程,用变量代换 \(z = {y}^{1 - n}\) ,可化为 \(z\) 的一阶线性方程\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + \left( {1 - n}\right) P\left( x\right) z = \left( {1 - n}\right) Q\left( x\right)\]

5. 全微分方程

1. 全微分方程
若方程\[P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0\qquad  ①\]的左端恰好是某一个二元函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的全微分,即:\[\mathrm{d}u = P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = \frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y\]则称方程①为全微分方程(或称为恰当方程),全微分方程通解是 \(u\left( {x,y}\right)  = C\) ( \(C\) 是任意常数), \(u\) (x, y)也称为 \(P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\) 的原函数
2. 方程① 为全微分方程的充要条件及原函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的求法
若 \(P\left( {x,y}\right) ,Q\left( {x,y}\right)\) 在某一单连通域上连续,且有连续的一阶偏导数,则方程① 为全微分方程的充要条件是 \(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) ,这时有\[u\left( {x,y}\right)  = {\int }_{{x}_{0}}^{x}P\left( {x,{y}_{0}}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{{y}_{0}}^{y}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y\]或\[u\left( {x,y}\right)  = {\int }_{{x}_{0}}^{x}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{{y}_{0}}^{y}Q\left( {{x}_{0},y}\right) \mathrm{d}y\]
3. 积分因子
若方程①不是全微分方程,但存在一个函数 \(\mu \left( {x,y}\right)\) 使\[\mu \left( {x,y}\right) P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + \mu \left( {x,y}\right) Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0\]为全微分方程,则称 \(\mu \left( {x,y}\right)\) 为方程①的积分因子
4. 某些已知的二元函数的全微分公式\[x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left( {xy}\right)\]\[\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{{x}^{2}} = \mathrm{d}\left( \frac{y}{x}\right)\]\[\frac{-x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x}{{y}^{2}} = \mathrm{d}\left( \frac{x}{y}\right)\]\[\frac{y\mathrm{d}y + x\mathrm{d}x}{\sqrt{{y}^{2} + {x}^{2}}} = \mathrm{d}\left( \sqrt{{y}^{2} + {x}^{2}}\right)\]\[\frac{-x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x}{xy} = \mathrm{d}\left( {\ln \frac{x}{y}}\right)\]\[\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \mathrm{d}\left( {\arctan \frac{y}{x}}\right)\]\[\frac{y\mathrm{d}x - x\mathrm{d}y}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \mathrm{d}\left( {\arctan \frac{x}{y}}\right)\]\[\frac{y\mathrm{d}y + x\mathrm{d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \frac{1}{2}\mathrm{d}\ln \left( {{y}^{2} + {x}^{2}}\right)\]\[\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{{y}^{2} - {x}^{2}} = \mathrm{d}\ln \sqrt{\frac{y - x}{y + x}}\]

6. 可降阶的高阶微分方程

1. \({y}^{\left( n\right) } = f\left( x\right)\)
方程特点是右端为自变量 \(x\) 的函数,且不含有函数 \(y\) 及其导数 \({y}^{\prime },{y}^{\prime \prime },\cdots ,{y}^{\left( n - 1\right) }\) ,将方程两边对 \(x\) 逐次积分即得其通解\[y= \int \mathrm{d}x\cdots \int f\left( x\right) \mathrm{d}x + \frac{{C}_{1}}{\left( {n - 1}\right) !}{x}^{n - 1} + \frac{{C}_{2}}{\left( {n - 2}\right) !}{x}^{n - 2} + \cdots  + {C}_{n - 1}x + {C}_{n}\]2. \({y}^{\prime \prime } = f\left( {x,{y}^{\prime }}\right)\)
方程特点是右端不显含函数 \(y\) ,令 \(\displaystyle {y}^{\prime } = p,{y}^{\prime \prime } = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = {p}^{\prime }\) ,代入原方程即可化为一阶方程 \({p}^{\prime } = f\left( {x,p}\right)\) ,若其解为 \(p = \varphi \left( {x,{C}_{1}}\right)\) ,则原方程的通解为\[y = \int \varphi \left( {x,{C}_{1}}\right) \mathrm{d}x + {C}_{2}\]3. \({y}^{\prime \prime } = f\left( {y,{y}^{\prime }}\right)\)
方程特点是右端不显含自变量 \(x\) ,令 \({y}^{\prime } = p\) ,并利用复合函数的求导法则,把 \({y}^{\prime \prime }\) 化为对 \(y\) 的导数, 即\[{y}^{\prime \prime } = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \vdot  \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \vdot  \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\]代入原方程即可化为一阶方程\[p \vdot  \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f\left( {y,p}\right)\]若其解为 \(p = \varphi \left( {y,{C}_{1}}\right)\) ,即 \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( {y,{C}_{1}}\right)\) ,则原方程的通解为\[\int \frac{\mathrm{d}y}{\varphi \left( {y,{C}_{1}}\right) } = x + {C}_{2}\]

7. 高阶线性微分方程解的结构

\(n\) 阶线性微分方程的一般形式为\[{y}^{\left( n\right) } + {P}_{1}\left( x\right) {y}^{\left( n - 1\right) } + {P}_{2}\left( x\right) {y}^{\left( n - 2\right) } + \cdots  + {P}_{n - 1}\left( x\right) {y}^{\prime } + {P}_{n}\left( x\right) y = f\left( x\right)\quad  ①\]其中 \(n \geq  2,{P}_{1}\left( x\right) ,{P}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{P}_{n}\left( x\right) ,f\left( x\right)\) 为已知连续函数
当 \(f\left( x\right)  \equiv  0\) 时,方程① 称为 \(n\) 阶线性齐次微分方程; 当 \(f\left( x\right)  \neq  0\) 时,方程称为 \(n\) 阶线性非齐次微分方程
现以二阶线性微分方程\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = 0\qquad ②\]\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = f\left( x\right)\qquad  ③\]为例, 讨论其解的性质及其解法. 这些性质及解法均可推广到任意高阶的线性微分方程
(1)若函数 \({y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right)\) 是线性齐次方程②的两个解,则 \({C}_{1}{y}_{1}\left( x\right)  + {C}_{2}{y}_{2}\left( x\right)\) 也是方程②的解,其中 \({C}_{1},{C}_{2}\) 为任意常数
(2)若 \({y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right)\) 是方程②的两个线性无关的解,则 \({C}_{1}{y}_{1}\left( x\right)  + {C}_{2}{y}_{2}\left( x\right)\) 是②的通解,其中 \({C}_{1},{C}_{2}\) 为任意常数
(3) 设 \({y}^{ * }\) 是线性非齐次方程③的一个特解, \(Y = {C}_{1}{y}_{1}\left( x\right)  + {C}_{2}{y}_{2}\left( x\right)\) 是对应的齐次方程②的通解,则 \(y = Y + {y}^{ * }\) 是非齐次方程③的通解
(4) 设线性非齐次方程③的右端 \(f\left( x\right)\) 是两个函数之和,如\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{1}\left( x\right)  + {f}_{2}\left( x\right)\]而 \({y}_{1}\left( x\right)\) 与 \({y}_{2}\left( x\right)\) 分别是方程\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{1}\left( x\right) \text{ 与 }{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{2}\left( x\right)\]的解,则 \({y}_{1}\left( x\right)  + {y}_{2}\left( x\right)\) 是方程\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{1}\left( x\right)  + {f}_{2}\left( x\right)\]的解

8. 常系数齐次线性微分方程

1. 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
设\[{y}^{\prime \prime } + p{y}^{\prime } + {qy} = 0\qquad  ①\](1) 特征方程有两个相异根 \({r}_{1} \neq  {r}_{2}\) ,则方程①的通解为 \(Y = {C}_{1}{\mathrm{e}}^{{r}_{1}x} + {C}_{2}{\mathrm{e}}^{{r}_{2}x}\)
(2)特征方程有两个相等实根 \({r}_{1} = {r}_{2} = r\) ,则方程①的通解为 \(Y = \left( {{C}_{1} + {C}_{2}x}\right) {\mathrm{e}}^{rx}\)
(3)特征方程有一对共轭复根 \({r}_{1,2} = \alpha  \pm  {i\beta }\) ,则方程①的通解为 \(Y = {\mathrm{e}}^{\alpha x}\left( {{C}_{1}\cos {\beta x} + {C}_{2}\sin {\beta x}}\right)\)
2. \(n\) 阶常系数线性齐次微分方程
设 \(n\) 阶常系数线性齐次微分方程是\[{y}^{\left( n\right) } + {p}_{1}{y}^{\left( n - 1\right) } + {p}_{2}{y}^{\left( n - 2\right) } + \cdots  + {p}_{n - 1}{y}^{\prime } + {p}_{n}y = 0\qquad  ②\]其中 \({p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}\) 是常数,代数方程\[{r}^{n} + {p}_{1}{r}^{n - 1} + {p}_{2}{r}^{n - 2} + \cdots  + {p}_{n - 1}r + {p}_{n} = 0\]称为微分方程②的特征方程, 特征方程的根叫作微分方程②的特征根
(1)如果 \({r}_{1}\) 是特征方程的单根,则\[y = {C}_{{\mathrm{e}}^{{r}_{1}}}\]是微分方程②的解
(2)如果特征方程有一对共轭复根 \({r}_{1} = \alpha  + {i\beta },{r}_{2} = \alpha  - {i\beta }\) ,则\[y = {\mathrm{e}}^{\alpha x}\left( {{C}_{1}\cos {\beta x} + {C}_{2}\sin {\beta x}}\right)\]是微分方程②的解
(3) 如果 \({r}_{1}\) 是特征方程的 \(k\) 重根,则\[y = \left( {{C}_{1} + {C}_{2}x + \cdots  + {C}_{k}{x}^{k - 1}}\right) {\mathrm{e}}^{{r}_{1}x}\]是微分方程②的解
(4) 如果 \({r}_{1} = \alpha  + {i\beta },{r}_{2} = \alpha  - {i\beta }\) 都是特征方程的 \(k\) 重根,则\[\small y = {\mathrm{e}}^{ax}\left\lbrack  {\left( {{C}_{1} + {C}_{2}x + \cdots  + {C}_{k}{x}^{k - 1}}\right) \cos {\beta x} + \left( {{D}_{1} + {D}_{2}x + \cdots  + {D}_{k}{x}^{k - 1}}\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack\]是微分方程②的解

9. 常系数非齐次线性微分方程

设二阶常系数非齐次线性微分方程为\[{y}^{\prime \prime } + p{y}^{\prime } + {qy} = f\left( x\right)\qquad ①\]其中 \(p,q\) 为常数
(1)如果方程①的右端 \(f\left( x\right)\) 是 \(x\) 的 \(n\) 次多项式 \({P}_{n}\left( x\right)\) ,即 \(f\left( x\right)  = {P}_{n}\left( x\right)\) 时,而常数 0 是特征方程的 \(k\) 重根时,可设特解为\[{y}^{ * } = {x}^{k}{Q}_{n}\left( x\right)\]其中 \({Q}_{n}\left( x\right)\) 也是 \(x\) 的 \(n\) 次多项式,但其系数是待定的常数,如果常数 0 不是特征根,则取 \(k = 0\)
(2)如果方程①的右端 \(f\left( x\right)  = {\mathrm{e}}^{ax}{P}_{n}\left( x\right)\) ,可设特解为\[{y}^{ * } = {x}^{k}{Q}_{n}\left( x\right) {\mathrm{e}}^{ax}\]其中 \({Q}_{n}\left( x\right)\) (待定) 是与 \({P}_{n}\left( x\right)\) 同次的多项式\[k = \left\{  \begin{array}{ll} 0, & \alpha \text{ 不是特征方程的根 } \\  1, & \alpha \text{ 是特征方程的单根 } \\  2, & \alpha \text{ 是特征方程的二重相 } \end{array}\right.\](3)如果方程①的右端 \(f\left( x\right)  = {\mathrm{e}}^{ax}\left\lbrack  {{P}_{l}\left( x\right) \cos {\beta x} + {P}_{n}\left( x\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack\) ,其中 \({P}_{l}\left( x\right) ,{P}_{n}\left( x\right)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次和 \(n\) 次的多项式, \(\alpha ,\beta\) 是已知常数,设特解形式为\[{y}^{ * } = {x}^{k}{\mathrm{e}}^{ax}\left\lbrack  {{R}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \cos {\beta x} + {R}_{m}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack\]其中, \({R}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) ,{R}_{m}^{\left( 2\right) }\) 是两个 \(m\) 次多项式\[m = \max \{ l,n\} ,\;k = \left\{  \begin{array}{ll} 0, & \alpha  + {i\beta }\text{ 不是特征方程的根 } \\  1, & \alpha  + {i\beta }\text{ 是特征方程的单复根 } \end{array}\right.\]

10. 欧拉方程

微分方程\[{x}^{n}{y}^{\left( n\right) } + {p}_{1}{x}^{n - 1}{y}^{\left( n - 1\right) } + \cdots  + {p}_{n - 1}x{y}^{\prime } + {p}_{n}y = f\left( x\right)\]其中 \({p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}\) 是常数,称为欧拉方程,它的解法是
设 \(x = {\mathrm{e}}^{t}\) ,即 \(t = \ln x\) ,则\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \vdot  \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} \vdot  \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\]\[\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{1}{{x}^{2}}\left( {\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^{2}} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}\right)\]\[\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^{3}} = \frac{1}{{x}^{3}}\left( {\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{t}^{3}} - 3\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^{2}} + 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}\right) ,\cdots\]将它们代入原方程, 则可将欧拉方程化为常系数线性微分方程

11. 微分方程的幂级数解法

对于二阶齐次线性微分方程 \({y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = 0\) 用幂级数求解有下述定理
若方程中的系数 \(P\left( x\right)\) 与 \(Q\left( x\right)\) 可在 \(- R < x < R\) 内展开成 \(x\) 的幂级数,那么在 \(- R < x < R\) 内该微分方程必有形如 \(y = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 的解.

第二部分 线代

第一章 行列式

1. 行列式的定义

1. \(n\) 级排列
由 \(1,2,\cdots ,n\) 组成的一个有序数组称为一个 \(n\) 级排列,通常记为 \({i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}\)
逆序 在一个排列中, 如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数, 则它们称为一个逆序
逆序数 一个排列中的逆序总数,通常记为 \(\tau \left( {{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}\right)\) .
奇 (偶) 排列 逆序数为奇数 (偶数) 的排列
对换 把一个排列中某两个数的位置互换, 而其余的数不动, 就得到另一个排列, 这样的一个变换称为一个对换
2. \(n\) 级排列的性质
(1)任意一个排列经过一个对换后, 奇偶性改变
(2)\(n\) 级排列共有 \(n\) ! 种,奇偶排列各占一半
3. \(n\) 阶行列式
\(\displaystyle\left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\) 是所有取自不同行不同列的 \(n\) 个元素的乘积 \({a}_{1{j}_{1}}{a}_{2{j}_{2}}\cdots {a}_{n{j}_{n}}\) 的代数和,这里 \({j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}\) 是一个 \(n\) 级排列. 当 \({j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}\) 是偶排列时,该项前面带正号; 当 \({j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}\) 是奇排列时,该项前面带负号,即\[\left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|  = \mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}\right) }{a}_{1{j}_{1}}{a}_{2{j}_{2}}\cdots {a}_{n{j}_{n}}\]其中 \(\mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}}\) 表示对所有 \(n\) 级排列求和
\(n\) 阶行列式有时简记为 \({\left| {a}_{ij}\right| }_{n}\) ,而且有如下另外两种类似的定义:\[{\left| {a}_{ij}\right| }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {{i}_{1}\cdots {i}_{n}}\right) }{a}_{{i}_{1}1}{a}_{{i}_{2}2}\cdots {a}_{{i}_{n}n}\]和 \(\displaystyle {\left| {a}_{ij}\right| }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{\substack{{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}} \\  {\operatorname{轴}}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}} }}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}\right)  + \tau \left( {{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}\right) }{a}_{{i}_{1}{j}_{1}}{a}_{{i}_{2}{j}_{2}}\cdots {a}_{{i}_{n}{j}_{n}}\)
由 \(n\) 级排列的性质可知, \(n\) 阶行列式共有 \(n\) ! 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项 (不算元素本身所带的负号) 各占一半
4. 常见行列式
(1)二阶行列式: \(\displaystyle\left| \begin{array}{ll} {a}_{11} & {a}_{12} \\  {a}_{21} & {a}_{22} \end{array}\right|  = {a}_{11}{a}_{22} - {a}_{12}{a}_{21}\)
(2)三阶行列式:\[\small\left| \begin{array}{lll} {a}_{11} & {a}_{12} & {a}_{13} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & {a}_{23} \\  {a}_{31} & {a}_{32} & {a}_{33} \end{array}\right|  = {a}_{11}{a}_{22}{a}_{33} + {a}_{12}{a}_{23}{a}_{31} + {a}_{13}{a}_{21}{a}_{32} - {a}_{13}{a}_{22}{a}_{31} - {a}_{12}{a}_{21}{a}_{33} - {a}_{11}{a}_{23}{a}_{32}\](3)上三角、下三角、对角行列式:\[\left| \begin{matrix} {a}_{11} & & &  * \\   & {a}_{22} & & \\   & & \cdots & \\  O & & & {a}_{nn} \end{matrix}\right|  = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & & & O \\   & {a}_{22} & & \\   & & \cdots & \\   * & & & {a}_{nn} \end{matrix}\right|  = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & & & O \\   & {a}_{22} & & \\   & & \cdots & \\  O & & & {a}_{nn} \end{matrix}\right|  = {a}_{11}{a}_{22}\cdots {a}_{nn}\](4)副对角线方向的行列式:\[\left| \begin{matrix}  * & & & {a}_{1n} \\  & & {a}_{2,n - 1} & \\  & \cdots & & \\  {a}_{n1} & & & O \end{matrix}\right|  = \left| \begin{matrix} O & & & {a}_{1n} \\  & & {a}_{2,n - 1} & \\  & \cdots & & \\  {a}_{n1} & & &  *  \end{matrix}\right|  = \left| \begin{matrix} O & & & {a}_{1n} \\   & & {a}_{2,n - 1} & \\  & \cdots & & \\ {a}_{n1} & & & O \end{matrix}\right|\]\(\displaystyle = {\left( -1\right) }^{\frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n - 1}\cdots {a}_{n1}\)
(5)范德蒙行列式:\[\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\  {a}_{1} & {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} \\  {a}_{1}^{2} & {a}_{2}^{2} & \cdots & {a}_{n}^{2} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {a}_{1}^{n - 1} & {a}_{2}^{n - 1} & \cdots & {a}_{n}^{n - 1} \end{matrix}\right|  = \mathop{\prod }\limits_{{1 \leq  j < i \leq  n}}\left( {{a}_{i} - {a}_{j}}\right)\]

2. 行列式的性质

行列式的性质
性质 1 行列式 \(D\) 与它的转置行列式 \({D}^{T}\) 相等
性质 2 互换行列式的两行 (列),行列式变号 (交换 \({r}_{1}\) 行和 \({r}_{2}\) 行,记为 \({r}_{1} \leftrightarrow  {r}_{2}\) ; 交换 \({c}_{1}\) 列和 \(\left. {{c}_{2}\text{ 列,记为 }{c}_{1} \leftrightarrow  {c}_{2}}\right)\)
性质 3 行列式的某一行 (列) 中所有的元素都乘以同一数 \(k\) ,等于用数 \(k\) 乘此行列式
推论 行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可以提到整个行列式的外面
性质 4 行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式等于零
性质 5 若行列式的某一列 (行) 的所有元素都是两数之和,例如第 \(i\) 列的元素都是两数之和, 即\[D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & \left( {{a}_{1i} + {a}_{1i}^{\prime }}\right) & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & \left( {{a}_{2i} + {a}_{2i}^{\prime }}\right) & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & & \cdots & & \cdots \\  {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & \left( {{a}_{ni} + {a}_{ni}^{\prime }}\right) & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\]则 \(D\) 等于下列两个行列式之和:\[D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1i} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2i} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & & \cdots & & \cdots \\  {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{ni} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|  + \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1i}^{\prime } & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2i}^{\prime } & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & & \cdots & & \cdots \\  {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{ni}^{\prime } & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\]性质 6 把行列式的某一行 (列) 的各元素乘以同一数然后加到另一行 (列) 对应的元素上, 行列式不变
例如以数 \(k\) 乘第 \(j\) 列加到第 \(i\) 列上 (记作 \({c}_{i} + k{c}_{j}\) ),有\[\small\left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1i} & \cdots & {a}_{1j} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & \cdots & {a}_{2i} & \cdots & {a}_{2j} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & & \cdots & & \cdots & & \cdots \\  {a}_{n1} & \cdots & {a}_{ni} & \cdots & {a}_{nj} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| \xrightarrow[]{{c}_{i} + k{c}_{j}}\left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & \left( {{a}_{1i} + k{a}_{1j}}\right) & \cdots & {a}_{1j} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & \cdots & ({a}_{2i} + k{a}_{2j}) & \cdots & {a}_{2j} & \cdots & {a}_{2n} & \\  \cdots & & \cdots & & \cdots & & \cdots \\  {a}_{n1} & \cdots & \left( {{a}_{ni} + k{a}_{nj}}\right) & \cdots & {a}_{nj} & \cdots & {a}_{nj} \end{matrix}\right| \left( {i \neq  j}\right)\](以数 \(k\) 乘第 \(j\) 行加到第 \(i\) 行上,记作 \({r}_{i} + k{r}_{j}\) )

3. 行列式按行 (列) 展开

1. 余子式
在 \(n\) 阶行列式 \(D = \left| {a}_{ij}\right|\) 中,去掉元素 \({a}_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后,余下的 \(n -\) 1 阶行列式,称为 \({a}_{ij}\) 的余子式,记为 \({M}_{ij}\)
代数余子式 \({A}_{ij} = {\left( -1\right) }^{i + j}{M}_{ij}\) 称为 \({a}_{ij}\) 的代数余子式
\(k\) 阶子式 在 \(n\) 阶行列式 \(D = \left| {a}_{ij}\right|\) 中,任意选定 \(k\) 行 \(k\) 列 \(\left( {1 \leq  k \leq  n}\right)\) ,位于这些行列交叉处的 \({k}^{2}\) 个元素,按原来顺序构成一个 \(k\) 阶行列式,称为 \(D\) 的一个 \(k\) 阶子式
2. 按一行 (列) 展开
(1)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
按第 \(i\) 行展开 \(D = {a}_{i1}{A}_{i1} + {a}_{i2}{A}_{i2} + \cdots  + {a}_{in}{A}_{in}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
按第 \(j\) 列展开 \(D = {a}_{1j}{A}_{1j} + {a}_{2j}{A}_{2j} + \cdots  + {a}_{nj}{A}_{nj}\left( {j = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
(2)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 \[\small {a}_{i1}{A}_{j1} + {a}_{i2}{A}_{j2} + \cdots  + {a}_{in}{A}_{jn} = 0,i \neq  j\quad\text{或}\quad {a}_{1i}{A}_{1j} + {a}_{2i}{A}_{2j} + \cdots  + {a}_{ni}{A}_{nj} = 0,i \neq  j\]3. 按 \(k\) 行 \(\left( {k\text{ 列 }}\right)\) 展开
拉普拉斯定理: 在 \(n\) 阶行列式中,任意取定 \(k\) 行 \(\left( {k\text{ 列 }}\right) (1 \leq  k \leq  n-1)\), 由这 \(k\) 行 ( \(k\) 列) 组成的所有的 \(k\) 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值

4. 行列式的计算

行列式的计算方法有很多种, 大致有以下几种思路:
思路 1: 利用行列式的定义
思路 2: 利用行列式的性质
思路 3: 利用行列式的行列展开

5. 克莱姆法则

1. 克莱姆法则
如果含 \(n\) 个未知量 \(n\) 个方程的线性方程组\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{1n}{x}_{n} = {b}_{1}, \\  {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{2n}{x}_{n} = {b}_{2}, \\  \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\  {a}_{n1}{x}_{1} + {a}_{n2}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{nn}{x}_{n} = {b}_{n} \end{array}\right.\]的系数行列式不等于零, 即\[D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1n} \\  \cdots & & \cdots \\  {a}_{n1} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|  \neq  0\]则方程组有唯一解\[{x}_{1} = \frac{{D}_{1}}{D},\;{x}_{2} = \frac{{D}_{2}}{D},\cdots ,\;{x}_{n} = \frac{{D}_{n}}{D}\]其中 \({D}_{j}\left( {j = 1,2,\cdots ,n}\right)\) 是把系数行列式 \(D\) 中第 \(j\) 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 \(n\) 阶行列式,即\[{D}_{j} = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1,j - 1} & {b}_{1} & {a}_{1,j + 1} & \cdots & {a}_{1n} \\  \cdots & & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\  {a}_{n1} & \cdots & {a}_{n,j - 1} & {b}_{n} & {a}_{n,j + 1} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\]2. 含 \(n\) 个未知量 \(n\) 个方程的齐次线性方程组\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{1n}{x}_{n} = 0, \\  {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{2n}{x}_{n} = 0, \\  \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\  {a}_{n1}{x}_{1} + {a}_{n2}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{nn}{x}_{n} = 0 \end{array}\right.\]只有零解的充分必要条件是系数行列式 \(D \neq  0\) ; 有非零解的充分必要条件是 \(D = 0\)

第二章 矩阵

1. 矩阵的运算

1. 矩阵的概念
由 \(m \times  n\) 个数 \({a}_{ij}\left( {i = 1,2,\cdots ,m;j = 1,2,\cdots ,n}\right)\) 按一定次序排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的矩形数表\[\left\lbrack  \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix}\right\rbrack\]称为 \(m \times  n\) 矩阵 ( \(m\) 行 \(n\) 列矩阵). \({a}_{ij}\) 叫做矩阵的元素,矩阵可简记为\[\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{m \times  n}\text{ 或 }\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right) \]当 \(m = n\) 时,即矩阵的行数与列数相同时,称 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶方阵
当 \(m = 1\) 时,矩阵只有一行,称为行矩阵,记为\[\boldsymbol{A} = \left( {{a}_{11},{a}_{12},\cdots ,{a}_{1n}}\right)\]这样的行矩阵也称为 \(n\) 维行向量
当 \(n = 1\) 时,矩阵只有一列,称为列矩阵,记为\[\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {a}_{11} \\  {a}_{12} \\  \cdots \\  {a}_{m1} \end{matrix}\right\rbrack\]这样的列矩阵也称为 \(m\) 维列向量
矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 中各元素变号得到的矩阵叫做 \(\boldsymbol{A}\) 的负矩阵,记作 \(- \boldsymbol{A}\) ,即\[- \boldsymbol{A} = {\left( -{a}_{ij}\right) }_{m \times  n}\]如果矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的所有元素都是 0,即\[\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\  0 & 0 & \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\right\rbrack\]则 \(\boldsymbol{A}\) 称为零矩阵,记为0
2. 矩阵的运算
(1)矩阵的相等 设\[\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{m \times  n},\;\boldsymbol{B} = {\left( {b}_{ij}\right) }_{m \times  n}\]如果 \({a}_{ij} = {b}_{ij}\left( {i = 1,2,\cdots ,m;j = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,则称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相等,记作 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}\)
(2)矩阵的加、减法 设\[\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{m \times  n},\;\boldsymbol{B} = {\left( {b}_{ij}\right) }_{m \times  n},\;\boldsymbol{C} = {\left( {c}_{ij}\right) }_{m \times  n}\]其中 \({c}_{ij} = {a}_{ij} \pm  {b}_{ij}\left( {i = 1,2,\cdots ,m;j = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
则称 \(\boldsymbol{C}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的和 (或差),记为 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} \pm  \boldsymbol{B}\)
(3) 数与矩阵的乘法 设 \(k\) 为一个常数,\[\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{m \times  n},\;\boldsymbol{C} = {\left( {c}_{ij}\right) }_{m \times  n}\]其中 \({c}_{ij} = k{a}_{ij}\left( {i = 1,2,\cdots ,m;j = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
则称矩阵 \(\boldsymbol{C}\) 为数 \(k\) 与矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的数量乘积,简称数乘,记为 \(k\boldsymbol{A}\)
(4)矩阵的乘法 设 \(\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{m \times  s},\boldsymbol{B} = {\left( {b}_{ij}\right) }_{s \times  n},\boldsymbol{C} = {\left( {c}_{ij}\right) }_{m \times  n}\) ,其中\[{c}_{ij} = \mathop{\sum }\limits_{{l = 1}}^{s}{a}_{il}{b}_{lj}\;\left( {i = 1,2,\cdots ,m;j = 1,2,\cdots ,n}\right)\]则称矩阵 \(\boldsymbol{C}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的乘积,记为 \(\boldsymbol{{AB}}\) ,即 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{{AB}}\)
(5)方阵的幂运算 对 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) ,定义\[{\boldsymbol{A}}^{k} = \underset{k\text{个}}{\underbrace{\boldsymbol{A} \vdot  \boldsymbol{A} \vdot  \cdots  \vdot  \boldsymbol{A}}}\text{ ,称为 }\boldsymbol{A}\text{ 的 }k\text{ 次幂.} \](6) 矩阵的转置 把矩阵 \(\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{m \times  n}\) 的行列互换而得到的矩阵 \({\left( {a}_{ji}\right) }_{n \times  m}\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的转置矩阵, 记为 \({\boldsymbol{A}}^{T}\) (或 \({\boldsymbol{A}}^{\prime }\) )
(7)方阵的行列式 方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的元素按原来的位置构成的行列式,称为方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的行列式,记为 \(\left| \boldsymbol{A}\right|\)
若 \(\left| \boldsymbol{A}\right|  = 0\) ,称 \(\boldsymbol{A}\) 为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵
3. 矩阵的运算公式
关于矩阵的加法运算公式
(1)\(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}\) ; (2) \(\left( {\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}}\right)  + \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + \left( {\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}}\right)\)
(3)\(\boldsymbol{A} + \left( {-\boldsymbol{A}}\right)  = \boldsymbol{0}\) ; (4) \(\left( {\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}}\right)  = \boldsymbol{A} + \left( {-\boldsymbol{B}}\right)\)
关于数乘运算的公式
\(\left( 1\right) \left( {kl}\right) \boldsymbol{A} = k\left( {l\boldsymbol{A}}\right) ;\) (2) \(\left( {k + l}\right) \boldsymbol{A} = k\boldsymbol{A} + l\boldsymbol{A}\)
(3) \(k\left( {\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}}\right)  = k\boldsymbol{A} + k\boldsymbol{B}\)
关于矩阵的乘法运算的公式
\(\left( 1\right) \left( \boldsymbol{{AB}}\right) \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\left( \boldsymbol{{BC}}\right) ;\)  \(\left( 2\right) k\left( \boldsymbol{{AB}}\right)  = \left( {k\boldsymbol{A}}\right) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}\left( {k\boldsymbol{B}}\right)\)
(3) \(\boldsymbol{A}\left( {\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}}\right)  = \boldsymbol{{AB}} + \boldsymbol{{AC}};\left( {\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}}\right) \boldsymbol{A} = \boldsymbol{{BA}} + \boldsymbol{{CA}}\) ; (4) \(\boldsymbol{{EA}} = \boldsymbol{{AE}} = \boldsymbol{A}\)
(5) \(\left( {\lambda \boldsymbol{E}}\right) \boldsymbol{A} = \lambda \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}\left( {\lambda \boldsymbol{E}}\right)\) ; (6) \({\boldsymbol{A}}^{k}{\boldsymbol{A}}^{l} = {\boldsymbol{A}}^{k + l}\) ; (7) \({\left( {\boldsymbol{A}}^{k}\right) }^{l} = {\boldsymbol{A}}^{kl}\)
(8)矩阵的乘法一般不满足交换律,即 \(\boldsymbol{{AB}}\) 有意义,但 \(\boldsymbol{{BA}}\) 不一定有意义;即使 \(\boldsymbol{{AB}}\) 和 \(\boldsymbol{{BA}}\) 都有意义, 两者也不一定相等
(9)两个非零矩阵相乘,可能是零矩阵,从而不能从 \(\boldsymbol{{AB}} = \boldsymbol{0}\) 必然推出 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{0}\) 或 \(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{0}\)
(10)矩阵的乘法一般不满足消去律,即不能从 \(\boldsymbol{{AC}} = \boldsymbol{{BC}}\) 必然推出 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}\)
关于矩阵的转置运算的公式
(1)\({\left( {\boldsymbol{A}}^{T}\right) }^{T} = \boldsymbol{A}\)
(2)\({\left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\right) }^{T} = {\boldsymbol{A}}^{T} + {\boldsymbol{B}}^{T}\)
(3)\({\left( k\boldsymbol{A}\right) }^{T} = k{\boldsymbol{A}}^{T}\)
(4)\({\left( \boldsymbol{{AB}}\right) }^{T} = {\boldsymbol{B}}^{T}{\boldsymbol{A}}^{T}\)
关于方阵的行列式的公式
若 \(\boldsymbol{A}\text{ 、 }\boldsymbol{B}\) 是 \(n\) 阶方阵,
(1)\(\left| {\boldsymbol{A}}^{T}\right|  = \left| \boldsymbol{A}\right|\)
(2)\(\left| {\lambda \boldsymbol{A}}\right|  = {\lambda }^{n}\left| \boldsymbol{A}\right|\)
(3)\(\left| \boldsymbol{{AB}}\right|  = \left| \boldsymbol{A}\right| \left| \boldsymbol{B}\right|\)
(4)\(\left| \boldsymbol{{AB}}\right|  = \left| \boldsymbol{{BA}}\right|\)
4. 几类特殊矩阵
(1)单位矩阵 主对角线上元素都是 1,其余元素均为零的方阵称为单位矩阵,记为 \(\boldsymbol{E}\) (或\(\boldsymbol{I}\)),即\[\boldsymbol{E} = \left\lbrack  \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\  0 & 1 & \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  0 & 0 & \cdots & 1 \end{matrix}\right\rbrack\](2)对角矩阵 主对角线上元素为任意常数, 而主对角线外的元素均为零的矩阵. 若对角矩阵的主对角线上的元素相等, 则称为数量矩阵
(3)三角矩阵 主对角线下方元素全为零的方阵称为上三角矩阵;主对角线上方元素全为零的方阵称为下三角矩阵; 上、下三角矩阵统称为三角矩阵
(4)对称矩阵 如果 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right)\) 满足 \({a}_{ij} = {a}_{ji}\left( {i,j = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,即 \({\boldsymbol{A}}^{T} = \boldsymbol{A}\) ,则称 \(\boldsymbol{A}\) 为对称矩阵
(5)反对称矩阵 如果 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right)\) 满足 \({a}_{ij} =  - {a}_{ji}\left( {i \neq  j}\right) ,{a}_{ii} = 0\left( {i,j = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,即 \({\boldsymbol{A}}^{T} =  - \boldsymbol{A}\) ,则称 \(\boldsymbol{A}\) 为反对称矩阵
(6)正交矩阵 对方阵 \(\boldsymbol{A}\) ,如果有 \({\boldsymbol{A}}^{T}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}{\boldsymbol{A}}^{T} = \boldsymbol{E}\) ,则称 \(\boldsymbol{A}\) 为正交矩阵
(7)幂零矩阵 对方阵 \(\boldsymbol{A}\) ,如果存在正整数 \(m\) ,使 \({\boldsymbol{A}}^{m} = \boldsymbol{0}\) ,则称 \(\boldsymbol{A}\) 为幂零矩阵
(8)幂等矩阵 满足 \({\boldsymbol{A}}^{2} = \boldsymbol{A}\) 的方阵 \(\boldsymbol{A}\) 称为幂等矩阵
(9)对合矩阵 满足 \({\boldsymbol{A}}^{2} = \boldsymbol{E}\) 的方阵 \(\boldsymbol{A}\) 称为对合矩阵

2. 逆矩阵

1. 逆矩阵的定义
对于 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) ,如果存在 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{B}\) 使 \(\boldsymbol{{AB}} = \boldsymbol{{BA}} = \boldsymbol{E}\) ,则称 \(\boldsymbol{A}\) 是可逆的, 并把 \(\boldsymbol{B}\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的逆矩阵,记作 \({\boldsymbol{A}}^{-1} = \boldsymbol{B}\)
2. 关于逆矩阵的常用结论
(1)方阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆的充要条件是 \(\left| \boldsymbol{A}\right|  \neq  0\)
(2)若 \(\boldsymbol{{AB}} = \boldsymbol{E}\) 或 \(\boldsymbol{{BA}} = \boldsymbol{E}\) ,则 \(\boldsymbol{B} = {\boldsymbol{A}}^{-1}\)
(3) \({\left( {\boldsymbol{A}}^{-1}\right) }^{-1} = \boldsymbol{A}\)
(4) \({\left( k\boldsymbol{A}\right) }^{-1} = \frac{1}{k}{\boldsymbol{A}}^{-1}\) 其中 \(k \neq  0\)
(5) \({\left( {\boldsymbol{A}}^{T}\right) }^{-1} = {\left( {\boldsymbol{A}}^{-1}\right) }^{T}\)
(6) \({\left( \boldsymbol{{AB}}\right) }^{-1} = {\boldsymbol{B}}^{-1}{\boldsymbol{A}}^{-1}\)
(7) \(\left| {\boldsymbol{A}}^{-1}\right|  = {\left| \boldsymbol{A}\right| }^{-1}\)
(8)一般情况下, \({\left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\right) }^{-1} \neq  {\boldsymbol{A}}^{-1} + {\boldsymbol{B}}^{-1}\)
(9)可逆的上(下)三角矩阵的逆矩阵仍为上(下)三角矩阵
3. 伴随矩阵的定义
设 \(\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right)\) 是 \(n\) 阶方阵,行列式 \(\left| \boldsymbol{A}\right|\) 的各个元素 \({a}_{ij}\) 的代数余子式所构成的如下的矩阵\[{\boldsymbol{A}}^{ * } = \left\lbrack  \begin{matrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\  {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \end{matrix}\right\rbrack\]称为 \(\boldsymbol{A}\) 的伴随矩阵
4. 关于伴随矩阵的常用结论
(1)\(\boldsymbol{A}{\boldsymbol{A}}^{ * } = {\boldsymbol{A}}^{ * }\boldsymbol{A} = \left| \boldsymbol{A}\right| \boldsymbol{E}\)
(2)若 \(\boldsymbol{A}\) 可逆,则 \(\displaystyle {\boldsymbol{A}}^{-1} = \frac{1}{\left| \boldsymbol{A}\right| }{\boldsymbol{A}}^{ * },{\boldsymbol{A}}^{ * } = \left| \boldsymbol{A}\right| {\boldsymbol{A}}^{-1}\) ,且 \({\boldsymbol{A}}^{ * }\) 也可逆, \(\displaystyle {\left( {\boldsymbol{A}}^{ * }\right) }^{-1} = {\left( {\boldsymbol{A}}^{-1}\right) }^{ * } = \frac{1}{\left| \boldsymbol{A}\right| }\boldsymbol{A}\)
(3)\({\left( \boldsymbol{{AB}}\right) }^{ * } = {\boldsymbol{B}}^{ * }{\boldsymbol{A}}^{ * }\)
(4) \({\left( {\boldsymbol{A}}^{ * }\right) }^{T} = {\left( {\boldsymbol{A}}^{T}\right) }^{ * }\)
(5) \({\left( k\boldsymbol{A}\right) }^{ * } = {k}^{n - 1}{\boldsymbol{A}}^{ * }\left( {k \neq  0}\right)\)
(6) \(\left| {\boldsymbol{A}}^{ * }\right|  = {\left| \boldsymbol{A}\right| }^{n - 1}\left( {n \geq  2}\right)\)
(7)\({\left( {\boldsymbol{A}}^{ * }\right) }^{ * } = {\left| \boldsymbol{A}\right| }^{n - 2}\boldsymbol{A}\left( {n \geq  2}\right)\)

3. 初等变换

1. 矩阵的初等变换
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 下列三种关于矩阵的变换称为矩阵的初等行 (列) 变换:
(1)互换矩阵中两行(列)的位置 \(\left( {{r}_{i} \leftrightarrow  {r}_{j},{c}_{i} \leftrightarrow  {c}_{j}}\right)\)
(2)以一非零常数乘矩阵的某一行(列) \(\left( {k{r}_{i},k{c}_{j}}\right)\)
(3)将矩阵的某一行(列)的 \(k\) 倍加到另一行(列)上去 \(\left( {{r}_{i} + k{r}_{j},{c}_{i} + k{c}_{j}}\right)\)
2. 初等矩阵
(1)定义:由单位阵 \(\boldsymbol{E}\) 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
(2)三种初等变换对应三种初等矩阵:
①互换两行或两列的位置

②以数 \(k \neq  0\) 乘某行或某列

③以数 \(k\) 乘某行(列)加到另一行(列)上去

(3)
\({\boldsymbol{E}}^{T}\left( {i,j}\right)  = \boldsymbol{E}\left( {i,j}\right)\)
\({\boldsymbol{E}}^{T}\left( {i\left( k\right) }\right)  = \boldsymbol{E}\left( {i\left( k\right) }\right)\)
\({\boldsymbol{E}}^{T}\left( {i,j\left( k\right) }\right)  = \boldsymbol{E}\left( {j,i\left( k\right) }\right)\)
\(\boldsymbol{E}^{-1}(i,j)=\boldsymbol{E}(i,j)\)
\(\boldsymbol{E}^{-1}(i(k))=\boldsymbol{E}(i(\frac1k))\)
\(\boldsymbol{E}^{-1}(i,j(k))=\boldsymbol{E}(i,j(-k))\)
\(\left| {\boldsymbol{E}\left( {i,j}\right) }\right|  =  - 1\)
\(\left| {\boldsymbol{E}\left( {i,j\left( k\right) }\right) }\right|  = 1\)
3. 初等变换与初等矩阵的联系
设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(m \times  n\) 矩阵,对 \(\boldsymbol{A}\) 施行一次初等行变换,相当于在 \(\boldsymbol{A}\) 的左边乘以相应的 \(m\) 阶初等矩阵; 对 \(\boldsymbol{A}\) 施行一次初等列变换,相当于在 \(\boldsymbol{A}\) 的右边乘以相应的 \(n\) 阶初等矩阵
4. 初等变换化简矩阵
(1)行阶梯形矩阵: 可画出一条阶梯线,线的下方全为 0,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元, 就是非零行的第一个非零元
(2)行最简形矩阵: 非零行的第一个非零元为 1 ,且这些非零元所在的列的其他元素都为 0
(3)对于任何矩阵 \(\boldsymbol{A}\) ,总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵
(4) 标准型: 对于 \(m \times  n\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}\) ,总可经过初等变换,把它化为 \(\boldsymbol{F} = {\left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{E}}_{r} & \boldsymbol{0} \\  \boldsymbol{0} & {\boldsymbol{0}} \end{matrix}\right\rbrack  }_{m \times  n}\) 称为等价标准型
5. 矩阵等价
(1)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 经过一系列的初等变换得到矩阵 \(\boldsymbol{B}\) ,则称 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 等价. 特别地, \(\boldsymbol{A}\) 经过一系列初等行 (列) 变换得到 \(\boldsymbol{B}\) ,称 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 行 (列) 等价
(2)方阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 \({\boldsymbol{P}}_{1},{\boldsymbol{P}}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{P}}_{t}\) ,使 \(\boldsymbol{A} = {\boldsymbol{P}}_{1}\cdots {\boldsymbol{P}}_{t}\)
(3)方阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆的充要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 与单位矩阵等价
(4) \(m \times  n\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 等价的充要条件是存在 \(m\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 和 \(n\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{Q}\) ,使 \(\boldsymbol{{PAQ}} =\)B
(5) \(m \times  n\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 等价的充要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 有相同的秩
6. 初等变换求逆矩阵
(1) \(\left( {\boldsymbol{A}\,\cdots \, \boldsymbol{E}}\right) \xrightarrow[]{\text{ 初等行变换 }}\left( {\boldsymbol{E}\,\cdots\, {\boldsymbol{A}}^{-1}}\right)\)
(2) \(\left\lbrack  \begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\  \cdots \\  \boldsymbol{E} \end{array}\right\rbrack\) 初等列变换, \(\left\lbrack  \begin{matrix} \boldsymbol{E} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{A}}^{-1} \end{matrix}\right\rbrack\)
(3) \(\left\lbrack  \begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\  \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \end{array}\right\rbrack  \xrightarrow[]{\text{ 初等行,列变换 }}\left\lbrack  \begin{array}{ll} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{C} \\  \boldsymbol{B} & \boldsymbol{0} \end{array}\right\rbrack\) ,则 \({\boldsymbol{A}}^{-1} = \boldsymbol{{BC}}\)
7. 初等矩阵的推广
(1) 设 \({\boldsymbol{A}}_{m \times  n} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{m \times  n},\;{\boldsymbol{E}}_{ij} = \left\lbrack  \begin{matrix} 0 & & \cdots & & &\\   &  \ddots  & \cdots & & & \\  \cdots & \cdots & 1 & \cdots & \cdots & \cdots \\   & & \cdots & 0 & & \\   & & \cdots & &  \ddots  & \\   & & \cdots & & &  0 \end{matrix}\right\rbrack\) ,则\[{\boldsymbol{E}}_{ij}\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} 0 & & & & & & \\   & 0 & & & & & \\   & &  \ddots  & & & & \\   & & & 1 & & & \\   & & & & 0 & & \\   & & & & &  \ddots  & \\   & & & & & & 0 \end{matrix}\right\rbrack  \boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & & \cdots \\  {a}_{j1} & {a}_{j2} & \cdots & {a}_{jn} \\  0 & 0 & \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & & \cdots \\  0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\right\rbrack\]即 \(\boldsymbol{A}\) 左乘 \({\boldsymbol{E}}_{ij}\) 相当于把 \(\boldsymbol{A}\) 中第 \(i\) 行换成第 \(j\) 行元素,其他元素为 0 . 类似地,\[\boldsymbol{A}{\boldsymbol{E}}_{ij} = \boldsymbol{A}\left\lbrack  \begin{array}{lllllll} 0 & & & & & & \\   & 0 & & & & & \\   & &  \ddots  & & & & \\   & & & 1 & & & \\   & & & & 0 & & \\   & & & & &  \ddots  & \\   & & & & & & 0 \end{array}\right\rbrack   = \left\lbrack  \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & {a}_{1i} & 0 & \cdots & 0 \\  0 & \cdots & 0 & {a}_{2i} & 0 & \cdots & 0 \\  \cdots & & \cdots & \cdots & \cdots & & \\  0 & \cdots & 0 & {a}_{ni} & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\right\rbrack\]即 \(\boldsymbol{A}\) 右乘 \({\boldsymbol{E}}_{ij}\) 相当于把 \(\boldsymbol{A}\) 中第 \(j\) 列换成第 \(i\) 列元素,其他元素都为 0
(2)设 \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{n} \end{matrix}\right\rbrack\) ,其中 \({\boldsymbol{\alpha }}_{i}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的行向量, \(i = 1,\cdots ,n\) ,则\[\left\lbrack  \begin{array}{llll}  & & & 1 \\   & & 1 & \\   & {\Large ⋰} & & \\  1 & & &  \end{array}\right\rbrack  \boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{array}{llll}  & & & 1 \\   & & 1 & \\   & {\Large ⋰} & & \\   & & &  \end{array}\right\rbrack  \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{n} \end{matrix}\right\rbrack   = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{\alpha }}_{n} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \end{matrix}\right\rbrack\]即 \(\boldsymbol{A}\) 左乘 \(\left\lbrack  \begin{array}{llll}  & & & 1 \\   & & 1 & \\   &  {\Large ⋰} & & \\  1 & & &  \end{array}\right\rbrack\) 相当于把矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的行向量颠倒了一下
同理设 \(\boldsymbol{A} = \left( {{\boldsymbol{\beta }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{n}}\right)\) ,其中 \({\boldsymbol{\beta }}_{j}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量, \(j = 1,\cdots ,n\) ,则\[\boldsymbol{A}\left\lbrack  \begin{array}{llll}  & & & 1 \\   & & 1 & \\   &  {\Large ⋰} & & \\  1 & & &  \end{array}\right\rbrack   = \left( {{\boldsymbol{\beta }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{n}}\right) \left\lbrack  \begin{array}{llll}  & & & 1 \\   & & 1 & \\   &  {\Large ⋰} & & \\  1 & & &  \end{array}\right\rbrack   = \left( {{\boldsymbol{\beta }}_{n},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{1}}\right)\]即 \(\boldsymbol{A}\) 右乘 \(\left\lbrack  \begin{array}{llll}  & & & 1 \\   & & 1 & \\   &  {\Large ⋰} & & \\  1 & & &  \end{array}\right\rbrack\) 相当于把矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量颠倒了一下
(3) 设 \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{n} \end{matrix}\right\rbrack\) ,其中 \({\boldsymbol{\alpha }}_{i}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的行向量, \(i = 1,\cdots ,n\) ,则\[\left\lbrack  \begin{matrix} 0 & 1 & & \\   & 0 &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 1 \\   & & & 0 \end{matrix}\right\rbrack  \boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} 0 & 1 & & \\   & 0 &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 1 \\   & & & 0 \end{matrix}\right\rbrack  \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{n} \end{matrix}\right\rbrack   = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{\alpha }}_{2} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{n} \\  \boldsymbol{0} \end{matrix}\right\rbrack\]即矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 左乘 \(\left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & 1 & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 1 \\   & & & 0 \end{array}\right\rbrack\) 相当于把 \(\boldsymbol{A}\) 的各行向上递推了一次. 类似地,\[\left\lbrack  \begin{matrix} 0 & & & \\  1 &  \ddots  & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 0 \\   & & & 1 \end{matrix}\right\rbrack  \boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} 0 & & & \\  1 &  \ddots  & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 0 \\   & & & 1 \end{matrix}\right\rbrack  \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{n} \end{matrix}\right\rbrack   = \left\lbrack  \begin{matrix} \boldsymbol{0} \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \\  \cdots \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{n - 1} \end{matrix}\right\rbrack\]即矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 左乘 \(\left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & & & \\  1 &  \ddots  & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 0 \\   & & & 1 \end{array}\right\rbrack\) 相当于把 \(\boldsymbol{A}\) 的各行向下递推了一次
同理设 \(\boldsymbol{A} = \left( {{\boldsymbol{\beta }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{n}}\right)\) ,其中 \({\boldsymbol{\beta }}_{j}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量, \(j = 1,2,\cdots ,n\) ,则\[\boldsymbol{A}\left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & 1 & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 1 \\   & & & 0 \end{array}\right\rbrack   = \left( {{\boldsymbol{\beta }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{n}}\right) \left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & 1 & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 1 \\   & & & 0 \end{array}\right\rbrack   = \left( {\boldsymbol{0},{\boldsymbol{\beta }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{n - 1}}\right)\]即矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 右乘 \(\left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & 1 & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & &  \ddots  & 1 \\   & & & 0 \end{array}\right\rbrack\) 相当于把 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量向右递推一次. 类似地,\[\boldsymbol{A}\left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & & & \\  1 &  \ddots  & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & & 1 & 0 \end{array}\right\rbrack   = \left( {{\boldsymbol{\beta }}_{1},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{n}}\right) \left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & & & \\  1 &  \ddots  & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & & 1 & 0 \end{array}\right\rbrack   = \left( {{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{n},\boldsymbol{0}}\right)\]即矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 右乘 \(\left\lbrack  \begin{array}{llll} 0 & & & \\  1 &  \ddots  & & \\   &  \ddots  &  \ddots  & \\   & & 1 & 0 \end{array}\right\rbrack\) 相当于把 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量向左递推一次

4. 矩阵的秩

1. \(k\) 阶子式
在 \(m \times  n\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 中,任取 \(k\) 行 \(k\) 列,则其交叉处的 \({k}^{2}\) 个元素按原顺序组成一个 \(k\) 阶矩阵,其行列式称为 \(\boldsymbol{A}\) 的一个 \(k\) 阶子式
2. 矩阵的秩 矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的不为零的子式的最高阶数称为 \(\boldsymbol{A}\) 的秩,记为 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)\)
3. 常用公式和结论
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(m \times  n\) 矩阵, \(\boldsymbol{B}\) 为 \(n \times  l\) 矩阵,则
(1)\( 0 \leq  r\left( \boldsymbol{A}\right)  \leq  \min \{ m,n\}\)
(2)\(r\left( {\boldsymbol{A}}^{T}\right)  = r\left( \boldsymbol{A}\right)\)
(3)若 \(\boldsymbol{A} \neq  \boldsymbol{0}\) ,则 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  \geq  1\)
(4) \(r\left( {\boldsymbol{A} \pm  \boldsymbol{B}}\right)  \leq  r\left( \boldsymbol{A}\right)  + r\left( \boldsymbol{B}\right)\)
(5)若 \(\boldsymbol{P}\) 可逆,则 \(r\left( {\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}}\right)  = r\left( \boldsymbol{A}\right)\) ; 若 \(\boldsymbol{Q}\) 可逆,则 \(r\left( \boldsymbol{{AQ}}\right)  = r\left( \boldsymbol{A}\right)\)
(6) \(r\left( \boldsymbol{{AB}}\right)  \leq  \min \{ r\left( \boldsymbol{A}\right) ,r\left( \boldsymbol{B}\right) \}\)
(7) \(r\left( \boldsymbol{{AB}}\right)  \geq  r\left( \boldsymbol{A}\right)  + r\left( \boldsymbol{B}\right)  - n\)
(8)若 \(\boldsymbol{{AB}} = \boldsymbol{0}\) ,则 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  + r\left( \boldsymbol{B}\right)  \leq  n\)
(9)\(\boldsymbol{A}\) 行满秩 \(\Leftrightarrow  r\left( \boldsymbol{A}\right)  = m \Leftrightarrow  \boldsymbol{A}\) 的等价标准型为 \(\left( \begin{array}{ll} {\boldsymbol{E}}_{m} & \boldsymbol{0} \end{array}\right)\)
(10)\(\boldsymbol{A}\) 列满秩 \(\Leftrightarrow  r\left( \boldsymbol{A}\right)  = n \Leftrightarrow  \boldsymbol{A}\) 的等价标准型为 \(\left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{E}}_{n} \\  \boldsymbol{0} \end{matrix}\right\rbrack\)
(11)若 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶方阵,则 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = n \Leftrightarrow  \left| \boldsymbol{A}\right|  \neq  0,r\left( \boldsymbol{A}\right)  < n \Leftrightarrow  \left| \boldsymbol{A}\right|  = 0\)
(12)同型矩阵 \(\boldsymbol{A}\text{ 、 }\boldsymbol{B}\) 等价的充要条件是 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \boldsymbol{B}\right)\)
(13)设 \({\boldsymbol{A}}^{ * }\) 是 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的伴随矩阵,则\[r\left( {\boldsymbol{A}}^{ * }\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} n & \text{ 若 }r\left( \boldsymbol{A}\right)  = n, \\  1 & \text{ 若 }r\left( \boldsymbol{A}\right)  = n - 1, \\  0 & \text{ 若 }r\left( \boldsymbol{A}\right)  < n - 1. \end{array}\right.\]

5. 分块矩阵

1. 分块矩阵的定义
将矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为 \(\boldsymbol{A}\) 的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
如: \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & {a}_{13} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & {a}_{23} \\  {a}_{31} & {a}_{32} & {a}_{33} \end{matrix}\right\rbrack   = \left\lbrack  \begin{array}{l} {\boldsymbol{\alpha }}_{1} \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{2} \\  {\boldsymbol{\alpha }}_{3} \end{array}\right\rbrack\)
其中 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1} = \left( {{a}_{11},{a}_{12},{a}_{13}}\right)\) 是一个子块
又如: \(\;\boldsymbol{B} = \left\lbrack  \begin{array}{llll} {b}_{11} & {b}_{12} & {b}_{13} & {b}_{14} \\  {b}_{21} & {b}_{22} & {b}_{23} & {b}_{24} \\  {b}_{31} & {b}_{32} & {b}_{33} & {b}_{34} \\  {b}_{41} & {b}_{42} & {b}_{43} & {b}_{44} \end{array}\right\rbrack   = \left\lbrack  \begin{array}{ll} {\boldsymbol{B}}_{1} & {\boldsymbol{B}}_{2} \\  {\boldsymbol{B}}_{3} & {\boldsymbol{B}}_{4} \end{array}\right\rbrack\)
其中 \({\boldsymbol{B}}_{1} = \left\lbrack  \begin{array}{ll} {b}_{11} & {b}_{12} \\  {b}_{21} & {b}_{22} \end{array}\right\rbrack  ,{\boldsymbol{B}}_{2} = \left\lbrack  \begin{array}{ll} {b}_{13} & {b}_{14} \\  {b}_{23} & {b}_{24} \end{array}\right\rbrack  ,{\boldsymbol{B}}_{3} = \left\lbrack  \begin{array}{ll} {b}_{31} & {b}_{32} \\  {b}_{41} & {b}_{42} \end{array}\right\rbrack  ,{\boldsymbol{B}}_{4} = \left\lbrack  \begin{array}{ll} {b}_{33} & {b}_{34} \\  {b}_{43} & {b}_{44} \end{array}\right\rbrack\) , 则 \({\boldsymbol{B}}_{1},{\boldsymbol{B}}_{2},{\boldsymbol{B}}_{3},{\boldsymbol{B}}_{4}\) 是 \(\boldsymbol{B}\) 的子块
同一矩阵分成子块的分法有很多
2. 分块矩阵的运算
(1)分块矩阵的加减法 若矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与矩阵 \(\boldsymbol{B}\) 有相同的行数和列数,且有\[\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{A}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{A}}_{s1} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{sr} \end{matrix}\right\rbrack  ,\;\boldsymbol{B} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{B}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{B}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{B}}_{s1} & \cdots & {\boldsymbol{B}}_{sr} \end{matrix}\right\rbrack\]其中 \({\boldsymbol{A}}_{ij}\) 与 \({\boldsymbol{B}}_{ij}\) 有相同的行数和列数,则\[\boldsymbol{A} \pm  \boldsymbol{B} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{A}}_{11} \pm  {\boldsymbol{B}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{1r} \pm  {\boldsymbol{B}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{A}}_{s1} \pm  {\boldsymbol{B}}_{s1} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{sr} \pm  {\boldsymbol{B}}_{sr} \end{matrix}\right\rbrack  \](2)分块矩阵的数乘 设矩阵 \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{A}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{A}}_{s1} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{sr} \end{matrix}\right\rbrack  ,\lambda\) 为数,则\[\lambda \boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} \lambda {\boldsymbol{A}}_{11} & \cdots & \lambda {\boldsymbol{A}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  \lambda {\boldsymbol{A}}_{s1} & \cdots & \lambda {\boldsymbol{A}}_{sr} \end{matrix}\right\rbrack\](3)分块矩阵的乘法 若 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(m \times  l\) 矩阵, \(\boldsymbol{B}\) 为 \(l \times  n\) 矩阵,且\[\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{A}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{1t} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{A}}_{s1} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{st} \end{matrix}\right\rbrack  ,\;\boldsymbol{B} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{B}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{B}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{B}}_{t1} & \cdots & {\boldsymbol{B}}_{tr} \end{matrix}\right\rbrack\]其中 \({\boldsymbol{A}}_{i1},{\boldsymbol{A}}_{i2},\cdots ,{\boldsymbol{A}}_{it}\) 的列数分别与 \({\boldsymbol{B}}_{1j},{\boldsymbol{B}}_{2j},\cdots ,{\boldsymbol{B}}_{tj}\) 的行数相等,则\[\boldsymbol{{AB}} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{C}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{C}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{C}}_{s1} & \cdots & {\boldsymbol{C}}_{rr} \end{matrix}\right\rbrack\]其中 \({\boldsymbol{C}}_{ij} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{l}{\boldsymbol{A}}_{ik}{\boldsymbol{B}}_{kj}\;\left( {i = 1,\cdots ,s;\; j = 1,\cdots ,r}\right)\)
(4)分块矩阵的转置 设矩阵 \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{A}}_{11} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{1r} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{A}}_{s1} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{sr} \end{matrix}\right\rbrack\) ,则 \({\boldsymbol{A}}^{T} = \left\lbrack  \begin{matrix} {\boldsymbol{A}}_{11}^{T} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{s1}^{T} \\  \cdots & & \cdots \\  {\boldsymbol{A}}_{1r}^{T} & \cdots & {\boldsymbol{A}}_{sr}^{T} \end{matrix}\right\rbrack\)
3. 分块矩阵常用结论
(1)设 \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{array}{llll} {\boldsymbol{A}}_{1} & & & \\   & {\boldsymbol{A}}_{2} & & \\   & &  \ddots  & \\   & & & {\boldsymbol{A}}_{m} \end{array}\right\rbrack\) ,其中 \({\boldsymbol{A}}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) 都是方阵,则\[\left| \boldsymbol{A}\right|  = \left| {\boldsymbol{A}}_{1}\right| \cdots \left| {\boldsymbol{A}}_{m}\right| ,\;{\boldsymbol{A}}^{n} = \left\lbrack  \begin{array}{llll} {\boldsymbol{A}}_{1}^{n} & & & \\   & {\boldsymbol{A}}_{2}^{n} & & \\   & &  \ddots  & \\   & & & {\boldsymbol{A}}_{m}^{n} \end{array}\right\rbrack\](2) 设 \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{array}{llll} {\boldsymbol{A}}_{1} & & & \\   & {\boldsymbol{A}}_{2} & & \\   & &  \ddots  & \\   & & & {\boldsymbol{A}}_{m} \end{array}\right\rbrack  ,{\boldsymbol{A}}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) 均为可逆矩阵,则\[{\boldsymbol{A}}^{-1} = \left\lbrack  \begin{array}{llll} {\boldsymbol{A}}_{1}^{-1} & & & \\   & {\boldsymbol{A}}_{2}^{-1} & & \\   & &  \ddots  & \\   & & & {\boldsymbol{A}}_{m}^{-1} \end{array}\right\rbrack\](3) 设 \(\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{array}{llll}  & & & {\boldsymbol{A}}_{1} \\   & & {\boldsymbol{A}}_{2} & \\   &  {\Large ⋰} & & \\  {\boldsymbol{A}}_{m} & & &  \end{array}\right\rbrack  ,{\boldsymbol{A}}_{i}\left( {i = 1,\cdots ,m}\right)\) 均为可逆矩阵,则\[{\boldsymbol{A}}^{-1} = \left\lbrack  \begin{matrix}  & & & {\boldsymbol{A}}_{m}^{-1} \\   & & {\Large ⋰} & \\   & {\boldsymbol{A}}_{2}^{-1} & & \\  {\boldsymbol{A}}_{1}^{-1} & & &  \end{matrix}\right\rbrack\](4)设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 为方阵,则 \(\left| \begin{matrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\  \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B} \end{matrix}\right|  = \left| \begin{matrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \\  \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B} \end{matrix}\right|  = \left| \begin{matrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \\  \boldsymbol{D} & \boldsymbol{B} \end{matrix}\right|  = \left| \boldsymbol{A}\right| \left| \boldsymbol{B}\right|\)

6. 矩阵方程

1.矩阵方程 \(\boldsymbol{{AX}} = \boldsymbol{B} \) 有解 \( \Leftrightarrow r\left( \boldsymbol{A}\right) = r\left( {\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}}\right) \)
2. 求解矩阵方程 \( \boldsymbol{{AX}} = \boldsymbol{B} \Leftrightarrow \) 求解线性方程组 \( \boldsymbol{A}{\boldsymbol{x}}_{i} = {\boldsymbol{b}}_{i}\left( {i = 1,\cdots ,n}\right) \)
3.求解矩阵方程 \( \boldsymbol{X}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \Leftrightarrow \) 求解矩阵方程\( {\boldsymbol{A}}^{T}{\boldsymbol{X}}^{T} = {\boldsymbol{B}}^{T} \)
4.特别地,若 \( \boldsymbol{A} \) 可逆,则 \( \boldsymbol{{AX}} = \boldsymbol{B} \) 有唯一解 \( \boldsymbol{X} = {\boldsymbol{A}}^{-1}\boldsymbol{B},\boldsymbol{{XA}} = \boldsymbol{B} \) 有唯一解 \( \boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}{\boldsymbol{A}}^{-1} \)
5.对于其他形式的矩阵方程可考虑待定系数法

第三章 向量

1. 向量的运算

1. 向量的定义
由 \(n\) 个数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) 组成的有序数组称为 \(n\) 维向量,简称向量\[\boldsymbol{\alpha } = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right)\]称为 \(n\) 维行向量, \({a}_{i}\) 称为 \(\boldsymbol{\alpha }\) 的第 \(i\) 个分量\[\boldsymbol{\beta } = \left\lbrack  \begin{matrix} {b}_{1} \\  {b}_{2} \\  \cdots \\  {b}_{n} \end{matrix}\right\rbrack   = {\left( {b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}\right) }^{T}\]称为 \(n\) 维列向量
由定义可看出, \(n\) 维行 (列) 向量就是 \(1 \times  n\left( {n \times  1}\right)\) 矩阵. 本书约定,所讨论的向量未指明是行向量还是列向量时, 都当作列向量
分量全为 0 的向量称为零向量; 设 \(\boldsymbol{\alpha } = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right)\) ,称 \(- \boldsymbol{\alpha } = \left( {-{a}_{1}, - {a}_{2},\cdots , - {a}_{n}}\right)\) 为 \(\boldsymbol{\alpha }\) 的负向量
2. 向量的运算
(1)向量的相等 设 \(\boldsymbol{\alpha } = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) ,\boldsymbol{\beta } = \left( {{b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}}\right)\) ,如果 \({a}_{i} = {b}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,则称向量 \(\boldsymbol{\alpha }\) 与 \(\boldsymbol{\beta }\) 相等
(2)向量的加减 设 \(\boldsymbol{\alpha } = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) ,\boldsymbol{\beta } = \left( {{b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}}\right)\) ,则 \(\boldsymbol{\alpha } \pm  \boldsymbol{\beta } = \left( {{a}_{1} \pm  {b}_{1},{a}_{2} \pm  {b}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right.\)  \(\left. {\pm {b}_{n}}\right)\)
(3)向量的数乘 设 \(\boldsymbol{\alpha } = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) ,k\) 为常数,则 \(k\boldsymbol{\alpha } = \left( {k{a}_{1},k{a}_{2},\cdots ,k{a}_{n}}\right)\)
3. 向量的运算规律
设 \(\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta },\boldsymbol{\gamma }\) 均为 \(n\) 维向量, \(\lambda ,\mu\) 为实数,则
(1)\(\boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{\beta } = \boldsymbol{\beta } + \boldsymbol{\alpha }\)
(2)\(\left( {\boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{\beta }}\right)  + \gamma  = \boldsymbol{\alpha } + \left( {\boldsymbol{\beta } + \gamma }\right)\)
(3)\(\boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\alpha }\)
(4)\(\boldsymbol{\alpha } + \left( {-\boldsymbol{\alpha }}\right)  = \boldsymbol{0}\)
(5)\(1\boldsymbol{\alpha } = \boldsymbol{\alpha }\)
(6)\(\lambda \left( {\mu \boldsymbol{\alpha }}\right)  = \left( {\lambda \mu }\right) \boldsymbol{\alpha }\)
(7)\(\lambda \left( {\boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{\beta }}\right)  = \lambda \boldsymbol{\alpha } + \lambda \boldsymbol{\beta }\)
(8)\(\left( {\lambda  + \mu }\right) \boldsymbol{\alpha } = \lambda \boldsymbol{\alpha } + \mu \boldsymbol{\alpha }\)

2. 向量间的线性关系

1. 基本概念
(1)线性表示 对于向量 \(\boldsymbol{\beta },{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) ,如果存在一组数 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}\) ,使得\[\boldsymbol{\beta } = {k}_{1}{\boldsymbol{\alpha }}_{1} + {k}_{2}{\boldsymbol{\alpha }}_{2} + \cdots  + {k}_{m}{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\]成立,则称 \(\boldsymbol{\beta }\) 是 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 的线性组合,或称 \(\boldsymbol{\beta }\) 可由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性表示
(2)线性相关与线性无关 设 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 为一组向量,如果存在一组不全为零的数 \({k}_{1}\) , \({k}_{2},\cdots {k}_{m}\) ,使得\[{k}_{1}{\boldsymbol{\alpha }}_{1} + {k}_{2}{\boldsymbol{\alpha }}_{2} + \cdots  + {k}_{m}{\boldsymbol{\alpha }}_{m} = \boldsymbol{0}\]成立,则称向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性相关; 当且仅当 \({k}_{1} = {k}_{2} = \cdots  = {k}_{m} = 0\) 时等式成立,则称向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性无关
2. 常用结论
设 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1} = {\left( {a}_{11},{a}_{12},\cdots ,{a}_{1n}\right) }^{T},{\boldsymbol{\alpha }}_{2} = {\left( {a}_{21},{a}_{22},\cdots ,{a}_{2n}\right) }^{T},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m} = {\left( {a}_{m1},{a}_{m2},\cdots ,{a}_{mn}\right) }^{T}\) ,\(\boldsymbol{\beta } = {\left( {b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}\right) }^{T}\) ,这里 \(m \leq  n\)
(1)\(\boldsymbol{\beta }\) 可由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性表示的充分必要条件是线性方程组 \({x}_{1}{\boldsymbol{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\boldsymbol{\alpha }}_{2} + \cdots  + {x}_{m}{\boldsymbol{\alpha }}_{m} =\)  \(\boldsymbol{\beta }\) 有解,即下列线性方程组有解\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{21}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{m1}{x}_{m} = {b}_{1}, \\  {a}_{12}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{m2}{x}_{m} = {b}_{2}, \\  \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\  {a}_{1n}{x}_{1} + {a}_{2n}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{mn}{x}_{m} = {b}_{n}. \end{array}\right.\](2)① 令 \(\boldsymbol{A} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}}\right) ,\boldsymbol{B} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m},\boldsymbol{\beta }}\right)\) ,则 \(\boldsymbol{\beta }\) 可由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性表示的充分必要条件是以 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 为列向量的矩阵和以 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m},\boldsymbol{\beta }\) 为列向量的矩阵有相同的秩,即 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \boldsymbol{B}\right)\)
②\(\boldsymbol{\beta }\) 可由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 唯一线性表示的充分必要条件是 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \boldsymbol{B}\right)  = m\)
③\(\boldsymbol{\beta }\) 不能由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性表示的充分必要条件是 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  < r\left( \boldsymbol{B}\right)\)
(3)向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{21}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{m1}{x}_{m} = 0, \\  {a}_{12}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{m2}{x}_{m} = 0, \\  \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\  {a}_{1m}{x}_{1} + {a}_{2m}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{mm}{x}_{m} = 0 \end{array}\right.\]有非零解,且当 \(m = n\) 时,其线性相关的充要条件是\[\left| \boldsymbol{A}\right|  = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|  = 0\](4)向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{21}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{m1}{x}_{m} = 0, \\  {a}_{12}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{m2}{x}_{m} = 0, \\  \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\  {a}_{1n}{x}_{1} + {a}_{2n}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{mn}{x}_{m} = 0 \end{array}\right.\]只有零解,且当 \(m = n\) 时,其线性无关的充要条件是\[\left| \boldsymbol{A}\right|  = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix}\right|  \neq  0\](5)向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性相关的充要条件是以 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 为列向量的矩阵的秩小于向量个数 \(m\)
(6)向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性无关的充要条件是以 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 为列向量的矩阵的秩等于向量个数 \(m\)
(7)向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\left( {m \geq  2}\right)\) 线性相关的充要条件是向量组至少有一个向量是其余向量的线性组合; 向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\left( {m \geq  2}\right)\) 线性无关的充要条件是向量组中每一个向量都不能由其余向量线性表示
(8)如果向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性无关,而向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m},\boldsymbol{\beta }\) 线性相关,则 \(\boldsymbol{\beta }\) 可以由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性表示,且表达式唯一
(9)如果向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 可以由向量组 \({\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{t}\) 线性表示,并且 \(m > t\) ,则向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性相关; 或者说,如果向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性无关,并且可以由 \({\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{t}\) 线性表示,则 \(m \leq  t\)
(10)向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 中,如果有一个部分组线性相关,则整个向量组线性相关; 如果整个向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性无关,则其任一部分组也一定线性无关
(11)设 \(r\) 维向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{i} = \left( {{a}_{i1},{a}_{i2},\cdots ,{a}_{ir}}\right) \left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) 线性无关,则在每个向量上再添加 \(n - r\) 个分量所得到的 \(n\) 维向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{i}^{\prime } = \left( {{a}_{i1},{a}_{i2},\cdots ,{a}_{ir},{a}_{{ir} + 1},\cdots ,{a}_{in}}\right) \left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) 也线性无关
(12)\(n + 1\) 个 \(n\) 维向量必线性相关
(13)一个零向量线性相关;含有零向量的向量组必线性相关;一个非零向量线性无关;两个非零向量线性相关的充要条件是对应分量成比例
(14) 设 \({\varepsilon }_{1} = \left( {1,0,\cdots ,0}\right) ,{\varepsilon }_{2} = \left( {0,1,\cdots ,0}\right) ,\cdots ,{\varepsilon }_{n} = \left( {0,0,\cdots ,1}\right)\) ,称 \({\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2},\cdots ,{\varepsilon }_{n}\) 为 \(n\) 维单位向量组, 且
①\({\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2},\cdots ,{\varepsilon }_{n}\) 线性无关
②任意 \(n\) 维向量 \(\boldsymbol{\alpha } = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right)\) 都可由 \({\boldsymbol{\varepsilon }}_{1},{\boldsymbol{\varepsilon }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\varepsilon }}_{n}\) 线性表示,即 \(\boldsymbol{\alpha } = {a}_{1}{\boldsymbol{\varepsilon }}_{1} + {a}_{2}{\boldsymbol{\varepsilon }}_{2} + \cdots  +\)  \({a}_{n}{\varepsilon }_{n}\)
(15)初等行变换不改变矩阵的列向量组之间的线性关系; 初等列变换不改变矩阵的行向量组之间的线性关系

3. 向量组的极大线性无关组和秩

1. 极大无关组
设向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{i1},{\boldsymbol{\alpha }}_{i2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{ir}\) 为向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 的一个部分组,且满足
(1)\({\boldsymbol{\alpha }}_{i1},{\boldsymbol{\alpha }}_{i2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{ir}\) 线性无关
(2)向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 中任一向量均可由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{i1},{\boldsymbol{\alpha }}_{i2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{ir}\) 线性表示
则称向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{i1},{\boldsymbol{\alpha }}_{i2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{ir}\) 为向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 的一个极大线性无关组,简称极大无关组
2. 向量组的秩 向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 的极大无关组中所含向量的个数为该向量组的秩,记为 \(r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}}\right)\)
如果一个向量组仅含有零向量, 则规定它的秩为零
3. 向量组的秩的性质
(1)若 \(r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}}\right)  = r\) ,则
①\({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 的任何含有多于 \(r\) 个向量的部分组一定线性相关
②\({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 的任何含 \(r\) 个向量的线性无关部分组一定是极大无关组
(2)\(r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}}\right)  \leq  m\) ,且 \(r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}}\right)  = m \Leftrightarrow  {\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性无关
(3)向量 \(\boldsymbol{\beta }\) 可用 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}\) 线性表示 \(\Leftrightarrow  r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m},\boldsymbol{\beta }}\right)  = r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{m}}\right)\)
(4)若 \({\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{t}\) 可用 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{s}\) 线性表示,则 \(r\left( {{\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{t}}\right)  \leq  r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{s}}\right)\)
(5)设 \(\boldsymbol{A}\) 是一个 \(m \times  n\) 矩阵,记 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量组 \(\left( {m\text{ 维 }}\right) ,{\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{m}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的行向量组 ( \(n\) 维),则 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}}\right)  = r\left( {{\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{m}}\right)\)
4. 向量组的等价
两个向量组能够相互线性表示, 则称这两个向量组等价
向量组等价的结论:
(1)任一向量组和它的极大无关组等价
(2)向量组的任意两个极大无关组等价
(3)两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同
(4) 两个向量组等价的充要条件是它们的极大无关组等价
(5)等价的两个向量组有相同的秩

4. 向量的内积与向量空间

1. 向量的内积
给定 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 中向量\[\boldsymbol{\alpha } = {\left( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\right) }^{T},\;\boldsymbol{\beta } = {\left( {b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}\right) }^{T}\]则称 \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{b}_{i}\) 为向量 \(\boldsymbol{\alpha }\) 与 \(\boldsymbol{\beta }\) 的内积,记为 \(\left( {\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta }}\right)\) ,即 \(\left( {\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta }}\right)  = {\boldsymbol{\alpha }}^{T}\boldsymbol{\beta } = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{b}_{i}\)
内积具有下列性质:
(1)\(\left( {\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta }}\right)  = \left( {\boldsymbol{\beta },\boldsymbol{\alpha }}\right)\)
(2)\(\left( {k\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta }}\right)  = k\left( {\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta }}\right)\)
(3)\(\left( {\boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{\beta },\gamma }\right)  = \left( {\boldsymbol{\alpha },\gamma }\right)  + \left( {\boldsymbol{\beta },\gamma }\right)\)
(4)\(\left( {\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\alpha }}\right)  \geq  0\) ,当且仅当 \(\boldsymbol{\alpha } = \boldsymbol{0}\) 时,等号成立
2. 向量的范数
设 \(\boldsymbol{\alpha }\) 为 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 中任意向量,将非负实数 \(\sqrt{\left( \boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\alpha }\right) }\) 定义为 \(\boldsymbol{\alpha }\) 的长度,记为 \(\parallel \boldsymbol{\alpha }\parallel\) ,即若 \(\boldsymbol{\alpha } = {\left( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\right) }^{T}\) ,则有\[\parallel \boldsymbol{\alpha }\parallel  = \sqrt{\left( {a}_{1}^{2} + {a}_{2}^{2} + \cdots  + {a}_{n}^{2}\right) }\]向量的长度也称为向量的范数或模
向量范数具有下列性质:
(1)\(\parallel \boldsymbol{\alpha }\parallel  \geq  0\) ,当且仅当 \(\boldsymbol{\alpha } = \boldsymbol{0}\) 时,等号成立
(2)对于任意向量 \(\boldsymbol{\alpha }\) 和任意实数 \(k\) ,都有 \(\parallel k\boldsymbol{\alpha }\parallel  = \left| k\right| \parallel \boldsymbol{\alpha }\parallel\)
(3)对于任意 \(n\) 维向量 \(\boldsymbol{\alpha }\) 和 \(\boldsymbol{\beta }\) ,有 \(\left| \left( {\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta }}\right) \right|  = \left| {{\boldsymbol{\alpha }}^{T}\boldsymbol{\beta }}\right|  \leq  \parallel \boldsymbol{\alpha }\parallel \parallel \boldsymbol{\beta }\parallel\)
3. 向量的正交
如果向量 \(\boldsymbol{\alpha }\) 和 \(\boldsymbol{\beta }\) 的内积等于零,即 \(\left( {\boldsymbol{\alpha },\boldsymbol{\beta }}\right)  = 0\) ,则称 \(\boldsymbol{\alpha }\) 和 \(\boldsymbol{\beta }\) 相互正交
如果非零向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{s}\) 中向量两两正交,即 \(\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{i},{\boldsymbol{\alpha }}_{j}}\right)  = 0\left( {i \neq  j,i,j = 1,2,\cdots ,s}\right)\) ,则称该向量组为正交向量组
正交向量具有下列性质:
(1)零向量与任何向量正交
(2)与自己正交的向量只有零向量
(3)正交向量组是线性无关的
(4)对任意向量 \(\boldsymbol{\alpha }\) 和 \(\boldsymbol{\beta }\) ,有三角不等式\[\parallel \boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{\beta }\parallel  \leq  \parallel \boldsymbol{\alpha }\parallel  + \parallel \boldsymbol{\beta }\parallel\]当且仅当 \(\boldsymbol{\alpha }\) 与 \(\boldsymbol{\beta }\) 相互正交时,有 \(\parallel \boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{\beta }{\parallel }^{2} = \parallel \boldsymbol{\alpha }{\parallel }^{2} + \parallel \boldsymbol{\beta }{\parallel }^{2}\)
4. 向量空间
设 \(\boldsymbol{V}\) 是实数域 \(\boldsymbol{R}\) 上的 \(n\) 维向量组成的集合,如果 \(\boldsymbol{V}\) 关于向量的加法和数乘是封闭的, 即
若 \(\alpha  \in  V,\beta  \in  V\) ,则 \(\alpha  + \beta  \in  V\) ; 若 \(\alpha  \in  V,k \in  R\) ,则 \({k\alpha } \in  V\) ,则称 \(V\) 是实数域 \(R\) 上的向量空间
显然,实数域 \(\boldsymbol{R}\) 上的 \(n\) 维向量的全体构成一个向量空间,记为 \({\boldsymbol{R}}^{n}\)
5. 基与坐标 在向量空间 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 中, \(n\) 个线性无关的向量 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) 称为 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 的一组基. 若 \(\boldsymbol{\alpha } \in  {\boldsymbol{R}}^{n}\) 为任一向量,且\[\boldsymbol{\alpha } = {a}_{1}{\boldsymbol{\xi }}_{1} + {a}_{2}{\boldsymbol{\xi }}_{2} + \cdots  + {a}_{n}{\boldsymbol{\xi }}_{n}\]则称 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) 为 \(\boldsymbol{\alpha }\) 关于基 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) 的坐标,记作 \({\left( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\right) }^{T}\)
6. 基变换与坐标变换
设 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) 和 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}\) 是 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 的两组基,且有\[\left( {{\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}}\right)  = \left( {{\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}}\right) \left\lbrack  \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right\rbrack   = \left( {{\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}}\right) \boldsymbol{A}\]称 \(\boldsymbol{A}\) 为由基 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) 到基 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}\) 的过渡矩阵,两个基之间的过渡矩阵是可逆矩阵
设 \(\boldsymbol{\alpha } \in  {\boldsymbol{R}}^{n}\) 在基 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) 和基 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}\) 下的坐标分别为\[{\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T}\text{ 与 }{\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) }^{T}\]则有\[\left\lbrack  \begin{matrix} {x}_{1} \\  {x}_{2} \\  \cdots \\  {x}_{n} \end{matrix}\right\rbrack   = \boldsymbol{A}\left\lbrack  \begin{matrix} {y}_{1} \\  {y}_{2} \\  \cdots \\  {y}_{n} \end{matrix}\right\rbrack  \text{ 或 }\left\lbrack  \begin{matrix} {y}_{1} \\  {y}_{2} \\  \cdots \\  {y}_{n} \end{matrix}\right\rbrack   = {\boldsymbol{A}}^{-1}\left\lbrack  \begin{matrix} {x}_{1} \\  {x}_{2} \\  \cdots \\  {x}_{n} \end{matrix}\right\rbrack\]称其为坐标变换公式
7. \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 的标准正交基
向量空间 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 中 \(n\) 个向量 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}\) 满足
(1)两两正交,即 \({\boldsymbol{\eta }}_{i}^{T}{\boldsymbol{\eta }}_{j} = 0,i \neq  j,i,j = 1,2,\cdots ,n\)
(2)都是单位向量,即 \(\begin{Vmatrix}{\boldsymbol{\eta }}_{i}\end{Vmatrix} = 1,i = 1,2,\cdots ,n\)
则称 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}\) 为 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 的一组标准正交基
8. 标准正交基的求法
(1)施密特正交化方法 给定一线性无关向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{s}\) ,由其生成等价的 \(s\) 个向量的正交向量组 \({\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\beta }}_{s}\) 的公式如下:
\({\boldsymbol{\beta }}_{1} = {\boldsymbol{\alpha }}_{1}\)
\(\displaystyle{\boldsymbol{\beta }}_{2} = {\boldsymbol{\alpha }}_{2} - \frac{\left( {\boldsymbol{\alpha }}_{2},{\boldsymbol{\beta }}_{1}\right) }{\left( {\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{1}\right) }{\boldsymbol{\beta }}_{1}\)
\(\displaystyle{\boldsymbol{\beta }}_{3} = {\boldsymbol{\alpha }}_{3} - \frac{\left( {\boldsymbol{\alpha }}_{3},{\boldsymbol{\beta }}_{1}\right) }{\left( {\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{1}\right) }{\boldsymbol{\beta }}_{1} - \frac{\left( {\boldsymbol{\alpha }}_{3},{\boldsymbol{\beta }}_{2}\right) }{\left( {\boldsymbol{\beta }}_{2},{\boldsymbol{\beta }}_{2}\right) }{\boldsymbol{\beta }}_{2}\)
····················································
\(\displaystyle{\boldsymbol{\beta }}_{s} = {\boldsymbol{\alpha }}_{s} - \frac{\left( {\boldsymbol{\alpha }}_{s},{\boldsymbol{\beta }}_{1}\right) }{\left( {\boldsymbol{\beta }}_{1},{\boldsymbol{\beta }}_{1}\right) }{\boldsymbol{\beta }}_{1} - \frac{\left( {\boldsymbol{\alpha }}_{s},{\boldsymbol{\beta }}_{2}\right) }{\left( {\boldsymbol{\beta }}_{2},{\boldsymbol{\beta }}_{2}\right) }{\boldsymbol{\beta }}_{2} - \cdots  - \frac{\left( {\boldsymbol{\alpha }}_{s},{\boldsymbol{\beta }}_{s - 1}\right) }{\left( {\boldsymbol{\beta }}_{s - 1},{\boldsymbol{\beta }}_{s - 1}\right) }{\boldsymbol{\beta }}_{s - 1}\)
(2)给定 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 任意一组基,把它变为标准正交基的步骤如下:
①利用施密特正交化方法,由这组基生成有 \(n\) 个向量的正交向量组
②把正交向量组中每个向量标准化, 即单位化
这样就得到 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 的一组标准正交基. 这一过程称为标准正交化
9. 两组标准正交基之间的过渡矩阵
设 \({\boldsymbol{R}}^{n}\) 的两组标准正交基 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) 和 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}\) 间的过渡矩阵为 \(Q\) ,则存在下列关系\[\left( {{\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}}\right)  = \left( {{\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{n}}\right) Q\]且 \(\boldsymbol{Q}\) 满足 \({\boldsymbol{Q}}^{T}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E}\) ,即 \(\boldsymbol{Q}\) 为正交矩阵

第四章 线性方程组

1. 齐次线性方程组

1. 线性方程组的表示形式
含有 \(n\) 个未知数, \(m\) 个一次方程的线性方程组一般有如下几种表示形式:
(1)一般形式:\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{1n}{x}_{n} = {b}_{1}\\  {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{2n}{x}_{n} = {b}_{2}\\  \cdots \cdots \cdots \cdots \\  {a}_{m1}{x}_{1} + {a}_{m2}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{mn}{x}_{n} = {b}_{m}\end{array}\right.\qquad ①\]如果 \({b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{m}\) 不全为零,则称为非齐次线性方程组. 矩阵\[\boldsymbol{A} = \left\lbrack  \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\  \cdots & \cdots & & \cdots \\  {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix}\right\rbrack\]和\[\overline{\boldsymbol{A}} = \left\lbrack  \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} & {b}_{1} \\  {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} & {b}_{2} \\  \cdots & \cdots & & \cdots & \cdots \\  {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} & {b}_{m} \end{matrix}\right\rbrack\]分别称为非齐次线性方程组①的系数矩阵和增广矩阵.
如果线性方程组中的 \({b}_{1} = {b}_{2} = \cdots  = {b}_{m} = 0\) ,即\[\left\{  \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{1n}{x}_{n} = 0 \\  {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{2n}{x}_{n} = 0 \\  \cdots \cdots \cdots \cdots \\  {a}_{m1}{x}_{1} + {a}_{m2}{x}_{2} + \cdots  + {a}_{mn}{x}_{n} = 0 \end{array}\right.\qquad ②\]则称为齐次线性方程组, 并称②为①的导出组
(2)矩阵形式:非齐次线性方程组的矩阵形式:\[\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\]其中\[\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T},\;\boldsymbol{b} = {\left( {b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{m}\right) }^{T}\]类似地, 齐次线性方程组的矩阵形式:\[\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\](3)向量组形式:若系数矩阵按列分块为 \(\boldsymbol{A} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}}\right)\) ,则非齐次线性方程组可写为:\[{x}_{1}{\boldsymbol{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\boldsymbol{\alpha }}_{2} + \cdots  + {x}_{n}{\boldsymbol{\alpha }}_{n} = \boldsymbol{b}\]类似地, 齐次线性方程组可写为:\[{x}_{1}{\boldsymbol{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\boldsymbol{\alpha }}_{2} + \cdots  + {x}_{n}{\boldsymbol{\alpha }}_{n} = \boldsymbol{0}\]
2. 齐次线性方程组解的性质和判定
(1)如果 \({\xi }_{1},{\xi }_{2}\) 是齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的解, \(k\) 为任意数,那么 \({\xi }_{1} + {\xi }_{2},k{\xi }_{1}\) 都是该齐次线性方程组的解. 因此 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的解向量的线性组合仍是它的解向量
(2)设齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 含有 \(n\) 个未知数和 \(m\) 个一次方程,即系数矩阵 \(A\) 为 \(m \times  n\) 阶矩阵,则 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 有非零解的充分必要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right)  < n\)
②A 的列向量组线性相关
③\(\boldsymbol{{AB}} = \boldsymbol{0}\) ,且 \(\boldsymbol{B} \neq  \boldsymbol{0}\)
④ 当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right|  = 0\)
亦即: \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 只有零解的充分必要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = n\)
②A 的列向量组线性无关
③ 当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right|  \neq  0\)
3. 齐次线性方程组的基础解系
(1)设 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{s}\) 是齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的解向量,如果
①\({\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{s}\) 线性无关
②方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的任意一个解向量都可由 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{s}\) 线性表示, 则称 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{s}\) 是齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的一个基础解系
(2)设 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 含有 \(n\) 个未知数,则基础解系所含向量的个数为: \(n - r\left( \boldsymbol{A}\right)\) ,即自由未知量的个数
(3) 若 \({\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{s}\) 为齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的一个基础解系,则 \({Ax} = 0\) 的任意一个解向量都可由它们线性表示:\[{k}_{1}{\xi }_{1} + {k}_{2}{\xi }_{2} + \cdots  + {k}_{s}{\xi }_{s}\]称为齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的通解 (一般解或全部解),其中 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{s}\) 为任意常数
4. 齐次线性方程组的解空间
齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的解向量的全体构成的向量空间,称为齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的解空间. 设 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 含有 \(n\) 个未知数,则解空间的维数为: \(n - r\left( \boldsymbol{A}\right)\)
注意: 如无特别说明,我们总假设齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 含有 \(n\) 个未知数和 \(m\) 个一次方程, 即系数矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(m \times  n\) 阶矩阵

2. 非齐次线性方程组

1. 非齐次线性方程组解的性质和判定
设 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 是含有 \(n\) 个未知数、 \(m\) 个方程的非齐次线性方程组
(1)设 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2}\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的两个解,则 \({\boldsymbol{\eta }}_{1} - {\boldsymbol{\eta }}_{2}\) 是其导出组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的解
(2)设 \(\eta\) 是 \({Ax} = b\) 的解, \(\xi\) 是其导出组 \({Ax} = 0\) 的解,则 \(\eta  + \xi\) 是 \({Ax} = b\) 的解
(3)设 \(\boldsymbol{A} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}}\right) ,\overline{\boldsymbol{A}} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n},\boldsymbol{b}}\right)\) 分别是 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 的系数矩阵和增广矩阵,则 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 有解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)\) ,即系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同
②\(b\) 可由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 线性表示
③向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 与 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n},\boldsymbol{b}\) 等价
④\(r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2}\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}}\right)  = r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n},\boldsymbol{b}}\right)\)
(4)\(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 无解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right)  \neq  r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)\) ,即 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  + 1 = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)\)
②\(b\) 不能由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 线性表示
(5)\(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 由唯一解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)  = n\)
②\(b\) 由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 唯一线性表示
③当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right|  \neq  0\)
(6)\(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 有无穷多解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)  < n\)
②\(b\) 可由 \({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}\) 线性表示,但表示法不唯一
③当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right|  = 0\)
2. 非齐次线性方程组的通解
对非齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) ,若 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)  = r\) ,且 \(\boldsymbol{\eta }\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的一个解, \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n - r}\) 是其导出组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的一个基础解系,则 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 的通解 (全部解) 为\[\eta  + {k}_{1}{\xi }_{1} + {k}_{2}{\xi }_{2} + \cdots  + {k}_{n - r}{\xi }_{n - r}\]其中 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n - r}\) 为任意常数

3. 线性方程组同解、公共解问题

1. 线性方程组的同解性
线性方程组有下列三种变换, 称为线性方程组的初等变换
(1)换法变换 交换某两个方程的位置
(2)倍法变换 某个方程的两端同乘以一个非零常数
(3)消法变换 把一个方程的若干倍加到另一个方程上去
在线性方程组的三种初等变换之下, 线性方程组的同解性不变
2. 常见的同解方程组形式
(1)设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(m \times  n\) 矩阵, \(\boldsymbol{P}\) 为 \(m\) 阶可逆阵,则 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 与 \(\boldsymbol{{PAx}} = \boldsymbol{0}\) 为同解方程组, \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 与 \(\boldsymbol{{PAx}}\)  \(= \boldsymbol{{Pb}}\) 为同解方程组
(2)设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实矩阵, \({\boldsymbol{A}}^{T}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的转置,则 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 与 \({\boldsymbol{A}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 为同解方程组
(3)设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵,则 \(\boldsymbol{A}x = \boldsymbol{0}\) 与 \({\boldsymbol{A}}^{2}x = \boldsymbol{0}\) 为同解方程组
3. 有关两个方程组的公共解
(1)由通解表达式相等求公共解 此类题目一般所给条件为:方程组(I)的基础解系及方程组 (II) 的一般表示式. 这时一般只须把方程组 (I) 的通解代入方程组 (II) 即可求得两个方程组的公共解
(2)由两个方程组合并为一个新的方程组求公共解 此类题目一般所给条件为方程组 (I)、(II) 的一般表示式. 这时只须把两个方程组合并为方程组 (III), 则方程组 (III) 的通解即为方程组 (I)、(II) 的公共解

第五章 矩阵的特征值与特征向量

1. 矩阵的特征值与特征向量

1. 基本概念
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶矩阵, \(\lambda\) 是一个数,若存在一个 \(n\) 维非零列向量 \(\boldsymbol{x}\) 使 \(\boldsymbol{{Ax}} = \lambda \boldsymbol{x}\) 成立,则称 \(\lambda\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的一个特征值,相应的非零列向量 \(\boldsymbol{x}\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于 \(\lambda\) 的特征向量
\(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征矩阵, \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征多项式, \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|  = 0\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征方程
2. 特征值的性质及运算
若 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值,则
(1)\({k\lambda }\) 是 \(k\boldsymbol{A}\) 的特征值
(2)\({\lambda }^{m}\) 是 \({\boldsymbol{A}}^{m}\) 的特征值
(3)\(f\left( \boldsymbol{A}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i}\) 的特征值为 \(f\left( \lambda \right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\lambda }^{i}\)
(4)若 \(\boldsymbol{A}\) 可逆,则 \(\lambda  \neq  0\) ,且 \(\displaystyle \frac{1}{\lambda }\) 是 \({\boldsymbol{A}}^{-1}\) 的特征值
(5)若 \(\lambda  \neq  0\) ,则 \({\boldsymbol{A}}^{ * }\) 有特征值 \(\displaystyle \frac{\left| \boldsymbol{A}\right| }{\lambda }\)
(6)\(\boldsymbol{A}\) 与 \({\boldsymbol{A}}^{T}\) 有相同的特征值
(7)\(\boldsymbol{{AB}}\) 与 \(\boldsymbol{{BA}}\) 有相同的特征值
(8)0 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值的充分必要条件是 \(\left| \boldsymbol{A}\right|  = 0\) ,亦即 \(\boldsymbol{A}\) 可逆的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 的所有特征值全不为零
(9)零矩阵有 \(n\) 重特征值 0
(10)单位矩阵有 \(n\) 重特征值 1
(11)数量矩阵 \(k\boldsymbol{E}\) 有 \(n\) 重特征值 \(k\)
(12)幂零矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{m} = \boldsymbol{0}}\right)\) 有 \(n\) 重特征值 0
(13)幂等矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{2} = \boldsymbol{A}}\right)\) 的特征值只可能是 0 或 1
(14)对合矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{2} = \boldsymbol{E}}\right)\) 的特征值只可能是 1 或 -1
(15) \(k\)--幂矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{k} = \boldsymbol{E}}\right)\) 的特征值只可能是 1 的 \(k\) 次方根
(16)设 \(\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times  n}\) 的 \(n\) 个特征值为 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) ,则
①\({\lambda }_{1} + {\lambda }_{2} + \cdots  + {\lambda }_{n} = {a}_{11} + {a}_{22} + \cdots  + {a}_{nn}\) ,即特征值之和等于矩阵的迹
②\({\lambda }_{1}{\lambda }_{2}\cdots {\lambda }_{n} = \left| \boldsymbol{A}\right|\) ,即特征值之积等于矩阵的行列式
3. 特征向量的性质
(1)若 \(\boldsymbol{x}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量,则 \(\boldsymbol{x}\) 一定是非零向量
(2)若 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m}\) 都是 \(\boldsymbol{A}\) 的属于同一特征值 \(\lambda\) 的特征向量,且 \({k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2} + \cdots  + {k}_{m}{x}_{m} \neq  \boldsymbol{0}\) , 则 \({k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2} + \cdots  + {k}_{m}{x}_{m}\) 也是 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量
(3)设 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的两个不同特征值, \({\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的分别属于 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2}\) 的特征向量,则 \({\boldsymbol{x}}_{1} + {\boldsymbol{x}}_{2}\) 不是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征向量
(4)若 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(r\) 重特征值,则属于 \(\lambda\) 的线性无关的特征向量最多有 \(r\) 个
(5)\(\boldsymbol{A}\) 的属于不同特征值的特征向量线性无关
(6)设 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值, \(\boldsymbol{x}\) 是属于 \(\lambda\) 的特征向量,则
①\(\boldsymbol{x}\) 是 \(k\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 \({k\lambda }\) 的, \({\boldsymbol{A}}^{m}\) 的属于特征值 \({\lambda }^{m}\) 的和 \(f\left( \boldsymbol{A}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i}\) 的属于特征值 \(f\left( \lambda \right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\lambda }^{i}\) 的特征向量
②若 \(\lambda  \neq  0\) ,则 \(\boldsymbol{x}\) 也是 \({\boldsymbol{A}}^{-1}\) 的属于特征值 \(\displaystyle \frac{1}{\lambda }\) 和 \({\boldsymbol{A}}^{ * }\) 的属于特征值 \(\displaystyle \frac{\left| \boldsymbol{A}\right| }{\lambda }\) 的特征向量
③若 \(\boldsymbol{B} = {\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P},\boldsymbol{P}\) 为可逆阵,则 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{B}\) 的特征值,且 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{x}\) 是 \(\boldsymbol{B}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量
4. 矩阵的特征值和特征向量的求法
(1)对于数字型矩阵 \(\boldsymbol{A}\) ,其特征值和特征向量的求法如下:
①计算特征多项式 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|\)
②求解特征方程 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|  = 0\) ,其所有根 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) 即为 \(\boldsymbol{A}\) 的全部特征值
③固定一个特征值 \(\lambda\) ,求解齐次线性方程组 \(\left( {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right) x = 0\) ,求得基础解系为 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{s}\) , \(s = n - r\left( {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right)\) ,则 \(\boldsymbol{A}\) 的属于 \(\lambda\) 的所有特征向量为:
\({k}_{1}{\boldsymbol{\eta }}_{1} + {k}_{2}{\boldsymbol{\eta }}_{2} + \cdots  + {k}_{s}{\boldsymbol{\eta }}_{s}\) ,其中 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{s}\) 不全为零
(2)对于抽象型矩阵 \(\boldsymbol{A}\) ,其特征值和特征向量的求法通常有两种思路:
①利用特征值和特征向量的定义,若数 \(\lambda\) 和非零向量 \(\boldsymbol{x}\) 满足 \(\boldsymbol{{Ax}} = \lambda \boldsymbol{x}\) ,则 \(\lambda\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值, \(\boldsymbol{x}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于 \(\lambda\) 的特征向量
②利用特征值和特征向量的性质,例如已知 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值,便可求得 \(k\boldsymbol{A},{\boldsymbol{A}}^{m},\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i}\) 等矩阵的特征值

2. 矩阵的相似对角化

1. 矩阵相似的概念
设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 是 \(n\) 阶矩阵,若存在可逆阵 \(\boldsymbol{P}\) 使 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = \boldsymbol{B}\) ,则称 \(\boldsymbol{B}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的相似矩阵,或称 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相似,记为 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{B}\)
2. 矩阵相似的性质
(1)若 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{B},\boldsymbol{B} \sim  \boldsymbol{C}\) ,则 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{C}\)
(2)若 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{B}\) ,则 \(k\boldsymbol{A} \sim  k\boldsymbol{B},{\boldsymbol{A}}^{m} \sim  {\boldsymbol{B}}^{m}\) ,进而\[f\left( \boldsymbol{A}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i} \sim  f\left( \boldsymbol{B}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{B}}^{i}\](3)若 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{B}\) ,则 \({\boldsymbol{A}}^{T} \sim  {\boldsymbol{B}}^{T},{\boldsymbol{A}}^{-1} \sim  {\boldsymbol{B}}^{-1},{\boldsymbol{A}}^{ * } \sim  {\boldsymbol{B}}^{ * }\)
(4)若 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{B}\) ,则 \(\left| \boldsymbol{A}\right|  = \left| \boldsymbol{B}\right| ,r\left( \boldsymbol{A}\right)  = r\left( \boldsymbol{B}\right)\)
(5)设 \(\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right) ,\boldsymbol{B} = \left( {b}_{ij}\right)\) ,若 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{B}\) ,则 \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{ii} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{ii}\) ,即 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 有相同的迹
(6)若 \(\boldsymbol{A} \sim  \boldsymbol{B}\) ,则 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|  = \left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}}\right|\) ,即 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 有相同的特征值
(7)零矩阵, 单位矩阵, 数量矩阵只与自己相似
注意:(2) \(\sim\) (6)只是矩阵相似的必要条件
3. 矩阵的相似对角化
设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶矩阵,若存在可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) ,使 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}}\) 为对角阵,则称 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化
4. 矩阵相似对角化的判定
(1)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量
(2)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化的充分必要条件是对 \(\boldsymbol{A}\) 的任意特征值 \(\lambda\) ,属于 \(\lambda\) 的线性无关的特征向量的个数等于 \(\lambda\) 的重数,亦即 \(n - r\left( {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right)\) 等于 \(\lambda\) 的重数
(3)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化的充分条件是 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(n\) 个互不相同的特征值
5. 矩阵相似对角化的步骤
(1)解特征方程 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|  = 0\) ,求出所有特征值
(2)对于不同的特征值 \({\lambda }_{i}\) ,解方程组 \(\left( {{\lambda }_{i}\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}\right)  = \boldsymbol{0}\) ,求出基础解系,如果每一个 \({\lambda }_{i}\) 的重数等于基础解系中向量的个数,则 \(\boldsymbol{A}\) 可对角化,否则, \(\boldsymbol{A}\) 不可对角化
(3)若 \(\boldsymbol{A}\) 可对角化,设所有线性无关的特征向量为 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) ,则所求的可逆阵 \(\boldsymbol{P} = \left( {\boldsymbol{\xi }}_{1}\right.\) , \(\left. {{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}}\right)\) ,并且有 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = \boldsymbol{\Lambda }\) ,其中\[\boldsymbol{\Lambda } = \left\lbrack  \begin{array}{llll} {\lambda }_{1} & & & \\   & {\lambda }_{2} & & \\   & &  \ddots  & \\   & & & {\lambda }_{n} \end{array}\right\rbrack\]注意: \(\boldsymbol{A}\) 的主对角线元素为全部的特征值,其排列顺序与 \(\boldsymbol{P}\) 中列向量的排列顺序对应

3. 实对称矩阵的正交相似对角化

1. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
设 \(\boldsymbol{A}\) 是实对称矩阵,则
(1)\(\boldsymbol{A}\) 的特征值为实数, \(\boldsymbol{A}\) 的特征向量为实向量
(2)\(\boldsymbol{A}\) 的不同特征值所对应的特征向量正交
(3)\(\boldsymbol{A}\) 的 \(k\) 重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有 \(k\) 个
(4)\(\boldsymbol{A}\) 相似于对角阵,且存在正交矩阵 \(\boldsymbol{P}\) ,使\[{\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = {\boldsymbol{P}}^{T}\boldsymbol{{AP}} = \left\lbrack  \begin{array}{llll} {\lambda }_{1} & & & \\   & {\lambda }_{2} & & \\   & &  \ddots  & \\   & & & {\lambda }_{n} \end{array}\right\rbrack\]其中 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值
(5)实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相似的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 有相同的特征值
2. 实对称矩阵的正交相似对角化的步骤
(1)求出矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的全部特征值 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{s}\) ,其中 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{s}\) 的重数分别为 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{s}\)
(2)对每个 \({k}_{i}\) 重特征值 \({\lambda }_{i}\) ,求方程组 \(\left( {{\lambda }_{i}\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的基础解系,得 \({k}_{i}\) 个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化,得 \({k}_{i}\) 个两两正交的单位特征向量. 因 \({k}_{1} + \cdots  + {k}_{i} = n\) ,故总共可得 \(n\) 个两两正交的单位特征向量
(3)把这 \(n\) 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 \(\boldsymbol{P}\) ,便有 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = {\boldsymbol{P}}^{T}\boldsymbol{{AP}} = \boldsymbol{\Lambda }\) . 注意 \(\boldsymbol{\Lambda }\) 中对角元的排列次序应与 \(\boldsymbol{P}\) 中列向量的排列次序相对应

第六章 二次型

1. 二次型的标准形和规范形

1. 二次型的基本概念
(1)含有 \(n\) 个变量 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的二次齐次函数\[f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)  = {a}_{11}{x}_{1}^{2} + {a}_{22}{x}_{2}^{2} + \cdots  + {a}_{nn}{x}_{n}^{2} + 2{a}_{12}{x}_{1}{x}_{2} + 2{a}_{13}{x}_{1}{x}_{3}\]\(+ \cdots  + 2{a}_{1n}{x}_{1}{x}_{n} + 2{a}_{23}{x}_{2}{x}_{3} + \cdots  + 2{a}_{2n}{x}_{2}{x}_{n}\)
\(+ \cdots  + 2{a}_{n - 1,n}{x}_{n - 1}{x}_{n}\)
称为 \(n\) 元二次型,其中 \({a}_{ij} = {a}_{ji}\) ,任意 \(i,j = 1,2,\cdots ,n\)
(2)二次型有矩阵表示\[f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)  = {\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\]其中 \(\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T},\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right)\) ,且 \({\boldsymbol{A}}^{T} = \boldsymbol{A}\) 是对称矩阵,称 \(\boldsymbol{A}\) 为二次型的矩阵. 秩 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)\) 称为二次型的秩,记为 \(r\left( f\right)\)
(3)如果二次型中只含有变量的平方项,所有混合项 \({x}_{i}{x}_{j}\left( {i \neq  j}\right)\) 的系数全是零,即\[{\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = {d}_{1}{x}_{1}^{2} + {d}_{2}{x}_{2}^{2} + \cdots  + {d}_{n}{x}_{n}^{2}\]这样的二次型称为标准形
在标准形中,如平方项的系数 \({d}_{j}\) 为 \(1, - 1\) 或 0\[{\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = {x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} + \cdots  + {x}_{p}^{2} - {x}_{p + 1}^{2} - \cdots  - {x}_{p + q}^{2}\]则称其为二次型的规范形
(4)在二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 的标准形中,正平方项的个数 \(p\) 称为二次型的正惯性指数,负平方项的个数 \(q\) 称为二次型的负惯性指数; 正负惯性指数之差即 \(p - q\) 称为二次型的符号差
(5)如果\[\left\{  \begin{array}{l} {x}_{1} = {c}_{11}{y}_{1} + {c}_{12}{y}_{2} + \cdots  + {c}_{1n}{y}_{n}\\  {x}_{2} = {c}_{21}{y}_{1} + {c}_{22}{y}_{2} + \cdots  + {c}_{2n}{y}_{n}\\  \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \\  {x}_{n} = {c}_{n1}{y}_{1} + {c}_{n2}{y}_{2} + \cdots  + {c}_{nn}{y}_{n}\end{array}\right.\qquad (*)\]满足\[\left| \boldsymbol{C}\right|  = \left| \begin{matrix} {c}_{11} & {c}_{12} & \cdots & {c}_{1n} \\  {c}_{21} & {c}_{22} & \cdots & {c}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {c}_{n1} & {c}_{n2} & \cdots & {c}_{nn} \end{matrix}\right|  \neq  0\]称 \(\left( *\right)\) 为由 \(\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T}\) 到 \(\boldsymbol{y} = {\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) }^{T}\) 的非退化线性替换,且 \(\left( *\right)\) 可用矩阵描述, 即\[\left\lbrack  \begin{matrix} {x}_{1} \\  {x}_{2} \\  \cdots \\  {x}_{n} \end{matrix}\right\rbrack   = \left\lbrack  \begin{matrix} {c}_{11} & {c}_{12} & \cdots & {c}_{1n} \\  {c}_{21} & {c}_{22} & \cdots & {c}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {c}_{m1} & {c}_{m2} & \cdots & {c}_{mn} \end{matrix}\right\rbrack  \left\lbrack  \begin{matrix} {y}_{1} \\  {y}_{2} \\  \cdots \\  {y}_{n} \end{matrix}\right\rbrack\]或 \(x = {Cy}\) ,其中 \(C\) 是可逆矩阵
注意: 如果没有特别说明,本章所涉及的二次型均为实二次型,即二次型中变量的系数均为实数, 所涉及的矩阵和向量都是实的
2. 二次型的常用结论
(1)二次型与对称矩阵一一对应
(2)变量 \(\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T}\) 的 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 经过非退化线性替换 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{{Cy}}\) 后,成为变量 \(\boldsymbol{y} = {\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) }^{T}\) 的 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{y}}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}\) ,其中 \(\boldsymbol{B} = {\boldsymbol{C}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\)
(3)任意的 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 都可以通过非退化线性替换化成标准形 \({d}_{1}{y}_{1}^{2} + {d}_{2}{y}_{2}^{2} + \cdots  +\)  \({d}_{n}{y}_{n}^{2}\) ,其中 \({d}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) 是实数
(4)(惯性定理). 任意 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 都可通过非退化线性替换化为规范形\[{z}_{1}^{2} + {z}_{2}^{2} + \cdots  + {z}_{p}^{2} - {z}_{p + 1}^{2} - \cdots  - {z}_{p + q}^{2}\]其中 \(p\) 为正惯性指数, \(q\) 为负惯性指数, \(p + q\) 为二次型的秩,且 \(p,q\) 由二次型唯一确定,即规范形是唯一的
(5)任意 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) ,由于 \(\boldsymbol{A}\) 是实对称矩阵,故必存在正交变换 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{y}(\boldsymbol{C}\) 为正交矩阵),使得二次型化为标准形 \({\lambda }_{1}{y}_{1}^{2} + {\lambda }_{2}{y}_{2}^{2} + \cdots  + {\lambda }_{n}{y}_{n}^{2}\) ,且 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(n\) 个特征值
(6)非退化线性替换保持二次型的正负惯性指数, 秩, 正定性等

2. 二次型的正定性

1. 基本概念
如果实二次型 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 对任意一组不全为零的实数 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) ,都有 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right.\) , \(\left. {\cdots ,{x}_{n}}\right)  > 0\) ,则称该二次型为正定二次型,正定二次型的矩阵称为正定矩阵. 正定二次型与正定矩阵一一对应
2. 实对称阵正定性的判定
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵,则下列命题等价
(1)\(\boldsymbol{A}\) 是正定矩阵
(2)\({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 的正惯性指数 \(p = n\)
(3)\(\boldsymbol{A}\) 的顺序主子式大于 0
(4)\(\boldsymbol{A}\) 的所有主子式大于 0
(5)\(\boldsymbol{A}\) 合同于单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\)
(6)\(\boldsymbol{A}\) 的特征值全大于 0
(7)存在可逆阵 \(\boldsymbol{P}\) ,使 \(\boldsymbol{A} = {\boldsymbol{P}}^{T}\boldsymbol{P}\)
(8)存在非退化的上(下)三角阵 \(Q\) ,使 \(A = {Q}^{T}Q\)
3. 正定矩阵的性质
(1)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \(\left| \boldsymbol{A}\right|  > 0,\boldsymbol{A}\) 为可逆对称矩阵
(2)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \(\boldsymbol{A}\) 的主对角线元素 \({a}_{ii} > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
(3)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \({\boldsymbol{A}}^{-1},k\boldsymbol{A}\left( {k > 0\text{ 为实数 }}\right)\) 均为正定矩阵
(4)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \({\boldsymbol{A}}^{ * },{\boldsymbol{A}}^{m}\) 均为正定矩阵,其中 \(m\) 为正整数
(5)若 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 为 \(n\) 阶正定矩阵,则 \(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\) 是正定矩阵

3. 矩阵的合同

1. 矩阵合同的定义
设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 为两个方阵,若存在可逆矩阵 \(\boldsymbol{Q}\) ,使 \(\boldsymbol{B} = {\boldsymbol{Q}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}\) 成立,则称 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同
2. 矩阵合同的性质
(1)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的充要条件是对 \(\boldsymbol{A}\) 的行和列施以相同的初等变换变成 \(\boldsymbol{B}\)
(2)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的秩相同
现设 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 是实对称矩阵
(3)\(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的充要条件是二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 与 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\) 有相同的正负惯性指数
(4)\(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的充分条件是 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相似

第三部分 概率论与数理统计

第一章 随机事件及其概率

1. 随机事件及其运算

1. 随机事件的相关概念
(1)随机试验 在概率论中将具备下列三个条件的试验称为随机试验, 简称试验:
\({1}^{ \circ  }\) 在相同条件下可重复进行
\({2}^{ \circ  }\) 每次试验的结果具有多种可能性
\({3}^{ \circ  }\) 在每次试验之前不能准确预言该次试验将出现何种结果,但是所有结果明确可知
(2)样本空间 随机试验的所有可能结果构成的集合,常用 \(\Omega\) 表示
(3)随机事件 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件,常用 \(A,B,C,D\) 表示
(4)基本事件 不能分解为其他事件组合的最简单的随机事件
(5)必然事件 每次试验中一定发生的事件,常用 \(\Omega\) 表示
(6)不可能事件 每次试验中一定不发生的事件,常用 \(\varnothing\) 表示
2. 事件的关系及运算
(1)包含 \(A\) 发生必然导致 \(B\) 发生,则称 \(B\) 包含 \(A\) (或 \(A\) 包含于 \(B\) ),记为 \(B \supset  A\) (或 \(A \subset  B\) )
(2) 相等 若 \(A \supset  B\) 且 \(B \supset  A\) ,则称 \(A\) 与 \(B\) 相等,记为 \(A = B\)
(3)事件的和 \(A\) 与 \(B\) 至少有一个发生,称为 \(A\) 与 \(B\) 的和事件,记为 \(A \cup  B\)
(4)事件的积 \(A\) 与 \(B\) 同时发生,称为 \(A\) 与 \(B\) 的积事件,记为 \(A \cap  B\) (或 \({AB}\) )
(5)事件的差 \(A\) 发生而 \(B\) 不发生,称为 \(A\) 与 \(B\) 的差事件,记为 \(A - B\)
(6)互斥事件 在试验中,若事件 \(A\) 与 \(B\) 不能同时发生,即 \(A \cap  B = \varnothing\) ,则称 \(A\text{ 、 }B\) 为互斥事件
(7)对立事件 在每次试验中,“事件 \(A\) 不发生”的事件称为事件 \(A\) 的对立事件. \(A\) 的对立事件. \(A\) 的对立事件常记为 \(\bar{A}\)
3. 事件的运算律
(1)交换律 \(A \cup  B = B \cup  A,{AB} = {BA}\)
(2)结合律 \(\left( {A \cup  B}\right)  \cup  C = A \cup  \left( {B \cup  C}\right) ,\left( {A \cap  B}\right)  \cap  C = A \cap  \left( {B \cap  C}\right)\)
(3)分配律 \(\left( {A \cup  B}\right) C = \left( {AC}\right)  \cup  \left( {BC}\right) ,A \cup  \left( {BC}\right)  = \left( {A \cup  B}\right) \left( {A \cup  C}\right)\)
(4)摩根律 \(\overline{A \cup  B} = \bar{A} \cap  \bar{B},\overline{A \cap  B} = \bar{A} \cup  \bar{B}\)

2. 随机事件的概率

1. 概率的统计定义
在相同的条件下,重复进行 \(n\) 次试验,事件 \(A\) 发生的频率稳定地在某一常数 \(p\) 附近摆动. 且一般说来, \(n\) 越大,摆动幅度越小,则称常数 \(p\) 为事件 \(A\) 的概率,记作 \(P\left( A\right)\)
2. 概率的公理化定义
设 \(\Omega\) 是一样本空间,称满足下列三条公理的集函数 \(P\left( \vdot \right)\) 为定义在 \(\Omega\) 上的概率:
(1)非负性 对任意事件 \(A,P\left( A\right)  \geq  0\)
(2)规范性 \(P\left( \Omega \right)  = 1\)
(3) 可列可加性 若两两互不相容的事件列 \(\left\{  {A}_{n}\right\}\) 是可列的,则 \(P\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }P\left( {A}_{i}\right)\)
3. 古典概型
具有下列两个特点的试验称为古典概型
(1)每次试验只有有限种可能的试验结果
(2)每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同
对于古典概型,事件 \(A\) 发生的概率为\[P\left( A\right)  = \frac{A\text{ 中基本事件数 }}{\Omega \text{ 中基本事件数 }} = \frac{m}{n}\]
4. 几何概型
如果随机试验的样本空间是一个区域 (例如直线上的区间、平面或空间中的区域), 而且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性,那么规定事件 \(A\) 的概率为\[P\left( A\right)  = \frac{A\text{ 的测度 (长度、面积、体积) }}{\text{ 样本空间的测度 (长度、面积、体积) }}\]

3. 概率基本运算法则

1. 概率的性质
(1)对任何事件 \(A,0 \leq  P\left( A\right)  \leq  1\)
(2)\(P\left( \Omega \right)  = 1,P\left( \varnothing \right)  = 0\)
(3)设 \(A\) 为任一随机事件,则 \(P\left( \bar{A}\right)  = 1 - P\left( A\right)\)
(4)设 \(A \subset  B\) ,则 \(P\left( {B - A}\right)  = P\left( B\right)  - P\left( A\right)\)
(5)设事件 \({A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n}\) 两两互斥,则\[P\left( {{A}_{1} + {A}_{2} + \cdots  + {A}_{n}}\right)  = P\left( {A}_{1}\right)  + P\left( {A}_{2}\right)  + \cdots  + P\left( {A}_{n}\right)\](6)设 \(A,B\) 为任意两个随机事件,则 \(P\left( {A \cup  B}\right)  = P\left( A\right)  + P\left( B\right)  - P\left( {AB}\right)\)
上式还能推广到多个事件的情况. 例如,设 \({A}_{1},{A}_{2},{A}_{3}\) 为任意三个事件,则有\[P\left( {{A}_{1} \cup  {A}_{2} \cup  {A}_{3}}\right)\]\[= P\left( {A}_{1}\right)  + P\left( {A}_{2}\right)  + P\left( {A}_{3}\right)  - P\left( {{A}_{1}{A}_{2}}\right)  - P\left( {{A}_{1}{A}_{3}}\right)  - P\left( {{A}_{2}{A}_{3}}\right)  + P\left( {{A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}}\right)\]一般,对于任意 \(n\) 个事件 \({A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n}\)\[P\left( {{A}_{1} \cup  {A}_{2} \cup  \cdots  \cup  {A}_{n}}\right)\]\[\small = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {A}_{i}\right)  - \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq  i \leq  j \leq  n}}P\left( {{A}_{i}{A}_{j}}\right)  + \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq  i \leq  j \leq  k \leq  n}}P\left( {{A}_{i}{A}_{j}{A}_{k}}\right)  + \cdots  + {\left( -1\right) }^{n - 1}P\left( {{A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n}}\right)\]
2. 条件概率
在事件 \(A\) 已经发生的条件下,事件 \(B\) 发生的概率,称为事件 \(B\) 在给定条件 \(A\) 下的条件概率,记作 \(P\left( {B \mid  A}\right)\)\[P\left( {B \mid  A}\right)  = \frac{P\left( {AB}\right) }{P\left( A\right) },\;P\left( A\right)  > 0\]3. 乘法公式
设 \(A,B\) 是任意两个随机事件, \(P\left( A\right)  > 0,P\left( B\right)  > 0\) ,则\[P\left( {AB}\right)  = P\left( {A \mid  B}\right) P\left( B\right)  = P\left( {B \mid  A}\right) P\left( A\right)\]一般地,设 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 是 \(n\) 个随机事件,且 \(P\left( {{A}_{1}\cdots {A}_{n - 1}}\right)  > 0\) ,则\[P\left( {{A}_{1}\cdots {A}_{n}}\right)  = P\left( {{A}_{n} \mid  {A}_{1}\cdots {A}_{n - 1}}\right) \cdots P\left( {{A}_{3} \mid  {A}_{1}{A}_{2}}\right) P\left( {{A}_{2} \mid  {A}_{1}}\right) P\left( {A}_{1}\right)\]

4. 全概率公式与贝叶斯公式

1. 完备事件组
设 \(\Omega\) 为试验的样本空间, \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 为试验的一组事件,若有
(1)\({B}_{i}{B}_{j} = \varnothing \left( {i \neq  j;i,j = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
(2)\(\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i} = \Omega\)
则称 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 为 \(\Omega\) 的一个分划或完备事件组
由定义可见,若 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 为 \(\Omega\) 的一个分划,则在一次试验中, \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 必有且仅有一个发生
2. 全概率公式
设事件 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 是样本空间 \(\Omega\) 的一个分划, \(P\left( {B}_{i}\right)  > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right) ,A\) 是试验的任一事件, 则有\[P\left( A\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {B}_{i}\right) \left( {A \mid  {B}_{i}}\right)\]3. 贝叶斯公式
设事件 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 是样本空间 \(\Omega\) 的一个分划, \(P\left( {B}_{i}\right)  > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right) ,A\) 为试验的任一事件. 且 \(P\left( A\right)  > 0\) ,则有\[P\left( {{B}_{i} \mid  A}\right)  = \frac{P\left( {B}_{i}\right) P\left( {A \mid  {B}_{i}}\right) }{\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}P\left( {B}_{j}\right) P\left( {A \mid  {B}_{j}}\right) }\;\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\]

5. 独立性

1. 两事件相互独立
如果事件 \(A\) 发生的可能性不受事件 \(B\) 发生与否的影响,也就是 \(P\left( {A \mid  B}\right)  = P\left( A\right)\) ,则称事件 \(A\) 对于事件 \(B\) 相互独立. 若 \(A\) 对于 \(B\) 独立,则 \(B\) 对于 \(A\) 也独立,那么就称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 相互独立
基本性质:
(1)\(A\) 与 \(B\) 独立 \(\Leftrightarrow  P\left( {AB}\right)  = P\left( A\right) P\left( B\right)\)
(2)若 \(A\) 与 \(B\) 独立,则 \(A\) 与 \(\bar{B}\) 、 \(\bar{A}\) 与 \(B\) 、 \(\bar{A}\) 与 \(\bar{B}\) 中的每一对事件都相互独立
2. \(n\) 个事件相互独立
\(n\left( {n > 2}\right)\) 个事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 中任意一个事件发生的可能性都不受其他一个或多个事件发生与否的影响,则称 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立
基本性质:
(1)如果事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立,则对于任意 \(k\left( {1 < k \leq  n}\right)\) 和任意 \(1 \leq  {i}_{1} < {i}_{2} < \cdots  < {i}_{k} \leq  n\) , \(P\left( {{A}_{{i}_{1}}{A}_{{i}_{2}}\cdots {A}_{{i}_{k}}}\right)  = P\left( {A}_{{i}_{1}}\right) P\left( {A}_{{i}_{2}}\right) \cdots P\left( {A}_{{i}_{k}}\right)\) 成立
(2)如果事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立,则将 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 中任意多个事件换成它们的逆事件,所得的 \(n\) 个事件仍相互独立
(3)如果事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立,则 \(P\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}}\right)  = 1 - \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {\bar{A}}_{i}\right)\)
3. 重复独立试验
在 \(n\) 次试验中,若任意一次试验的诸结果是相互独立的,则称这 \(n\) 次试验为重复独立试验或独立试验序列
(1)伯努利概型: 假定一次试验中只有事件 \(A\) 发生或 \(\bar{A}\) 发生,每次试验的结果与其他各次试验结果无关,这样的 \(n\) 次重复试验,称为 \(n\) 重伯努利试验或伯努利概型
(2)二项概率公式: 设一次试验中事件 \(A\) 发生的概率为 \(p\left( {0 < p < 1}\right)\) ,则在 \(n\) 重伯努利试验中,事件 \(A\) 恰好发生 \(k\) 次的概率为 \({p}_{k} = {C}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k},k = 0,1,\cdots ,n\) . 其中 \(q = 1 - p\)

第二章 随机变量及其分布

1. 随机变量与分布函数

1. 随机变量
设 \(E\) 是一个随机试验,其样本空间为 \(\Omega  = \{ \omega \}\) ,如果对于每一个样本点 \(\omega  \in  \Omega\) , 都有唯一的一个实数 \(X\left( \omega \right)\) 与之对应,则称 \(X\left( \omega \right)\) 为一维随机变量. 通常用 \(X,Y,Z,\cdots\) 表示随机变量
2. 分布函数
设 \(X\) 是一个随机变量, \(x\) 是任意实数,则函数 \(F\left( x\right)  = P\{ X \leq  x\}\) 称为 \(X\) 的分布函数
基本性质:
(1)单调性: \(F\left( x\right)\) 是一个单调不减的函数,即当 \({x}_{1} < {x}_{2}\) 时, \(F\left( {x}_{1}\right)  \leq  F\left( {x}_{2}\right)\)
(2)有界性: \(0 \leq  F\left( x\right)  \leq  1\) ,且\[F\left( {+\infty }\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow   + \infty }}F\left( x\right)  = 1\]\[F\left( {-\infty }\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow   - \infty }}F\left( x\right)  = 0\](3)连续性: \(F\left( {x + 0}\right)  = F\left( x\right)\) ,即 \(F\left( x\right)\) 是右连续函数
3. 由分布函数求概率\[P\{ a < X \leq  b\}  = P\{ X \leq  b\}  - P\{ X \leq  a\}  = F\left( b\right)  - F\left( a\right)\]

2. 离散型随机变量及其分布

1. 一维离散型随机变量
若随机变量 \(X\) 的全部可能取值是有限个或可列个,则称 \(X\) 为离散型随机变量
2. 分布律
离散型随机变量 \(X\) 所有可能取值为 \({x}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right)\) ,事件 \(\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}\) 的概率为 \(P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = {p}_{k}\)  \(\left( {k = 1,2,\cdots }\right)\) ,则称 \(P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = {p}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right)\) 为 \(X\) 的分布律或分布列. 分布律也可以写成表格形式:

离散型随机变量的分布律的性质:
(1)\(P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = {p}_{k} \geq  0,k = 1,2,\cdots\)
(2)\(\mathop{\sum }\limits_{k}P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = \mathop{\sum }\limits_{k}{p}_{k} = 1\)
3. 离散型随机变量 \(X\) 的分布律与分布函数以及事件概率的关系
(1)如果已知 \(X\) 的分布律为 \(P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = {p}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots }\right)\) ,则 \(X\) 的分布函数\[F\left( x\right)  = P\{ X \leq  x\}  = \mathop{\sum }\limits_{{{x}_{k} \leq  x}}{p}_{k}\]而事件 \(\{ a < X \leq  b\}\) 的概率为\[P\{ a < X \leq  b\}  = \mathop{\sum }\limits_{{a < {x}_{k} \leq  b}}{p}_{k}\](2)如果已知 \(X\) 的分布函数 \(F\left( x\right)\) ,则 \(X\) 的分布律为\[P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = F\left( {x}_{k}\right)  - F\left( {{x}_{k} - 0}\right) ,\;k = 1,2,\cdots\]4. 重要分布
(1)(0 - 1)分布: 其分布律为

其中 \(p\) 为事件 \(A\) 出现的概率, \(0 < p < 1\)
(2)二项分布: 设在 \(n\) 重伯努利试验中事件 \(A\) 发生的次数为 \(X\) ,则\[P\{ X = k\}  = {C}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k},\;k = 0,1,2,\cdots \cdots ,n\]其中 \(p\) 为事件 \(A\) 在每次试验中出现的概率, \(q = 1 - p\) ,称随机变量 \(X\) 服从二项分布,记为\[X \sim  B\left( {n,p}\right)\](3)泊松分布: 设随机变量 \(X\) 的分布律为:\[P\{ X = k\}  = \frac{{\lambda }^{k}{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{k!}\;\left( {k = 0,1,2,\cdots }\right)\]其中 \(\lambda  > 0\) 是常数,则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布,记为 \(X \sim  \pi \left( \lambda \right)\) 或 \(P\left( \lambda \right)\)
泊松定理: 设随机变量 \({X}_{n} \sim  B\left( {n,{p}_{n}}\right)\) ,若 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}n{p}_{n} = \lambda  > 0\) ,则有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}{C}_{n}^{i}{p}_{n}^{i}{\left( 1 - {p}_{n}\right) }^{n - i} = \frac{{\lambda }^{i}}{i!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }\;\left( {i = 1,2,\cdots }\right)\]由泊松定理, 二项分布可以用泊松分布作为近似
(4)超几何分布: 设随机变量 \(X\) 的分布列是\[P\{ X = i\}  = \frac{{C}_{M}^{i}{C}_{N - M}^{n - i}}{{C}_{N}^{n}},\;\left( {i = 0,1,2,\cdots ,l;l = \min \{ n,M\} }\right)\]其中 \(M\text{ 、 }N\text{ 、 }n\) 都是自然数,且 \(n < N,M < N\) ,则称 \(X\) 服从参数为 \(N\text{ 、 }M\text{ 、 }n\) 的超几何分布,记作 \(X \sim\)  \(H\left( {N,M,n}\right)\)
(5)几何分布: 设随机变量 \(X\) 的分布列为\[P\{ X = i\}  = {\left( 1 - p\right) }^{i - 1}p,\;i = 1,2,3,\cdots \]其中 \(0 < p < 1\) ,则称 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布,记为 \(X \sim  G\left( p\right)\)

3. 连续型随机变量及其分布

1. 连续型随机变量的概率密度
如果对于随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F\left( x\right)\) ,存在非负可积函数 \(f\left( x\right)\) ,使得对任意实数 \(x\) ,有 \(\displaystyle F\left( x\right)  = {\int }_{-\infty }^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t\) 成立,则称 \(X\) 为连续型随机变量,函数 \(f\left( x\right)\) 称为 \(X\) 的概率密度 (或分布密度)
2. 连续型随机变量的概率密度函数 \(f\left( x\right)\) 的性质
(1)\(f\left( x\right)  \geq  0\)
(2)\(\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = 1\)
3. 连续型随机变量的概率密度与分布函数以及事件概率的关系
(1)若 \(X\) 的概率密度为 \(f\left( x\right)\) ,则 \(X\) 的分布函数为 \(\displaystyle F\left( x\right)  = {\int }_{-\infty }^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t\) ,当 \(f\left( x\right)\) 为分段函数时其分布函数 \(F\left( x\right)\) 要做分段讨论
(2)若 \(f\left( x\right)\) 在点 \(x\) 处连续,则有 \({F}^{\prime }\left( x\right)  = f\left( x\right)\)
(3) \(P\{ a < X \leq  b\}  = P\{ a < X < b\}  = P\{ a \leq  X < b\}  = P\{ a \leq  X \leq  b\}\)\(\displaystyle = F\left( b\right)  - F\left( a\right)  = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\)
(4)\(P\{ X = a\}  = 0\left( {-\infty  < a <  + \infty }\right)\)
4. 重要分布
(1)均匀分布: 若连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数为\[f\left( x\right)  = \left\{  {\begin{matrix} \frac{1}{b - a}, & a \leq  x \leq  b \\  0, & \text{ 其他 } \end{matrix}\;}\right. \;\text{ (如图 2-3-1) }\]则称 \(X\) 服从 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的均匀分布

图 \(2 - 3 - 1\)

(2)指数分布: 若连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数为\[f\left( x\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} \lambda {\mathrm{e}}^{-{\lambda x}}, & x > 0 \\  0, & \text{ 其他 } \end{array}\right. \;\text{ (如图 2-3-2) }\]

图 \(2-3-2\)

其中 \(\lambda  > 0\) ,则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布
(3)正态分布: 若连续型随机变量 \(X\) 的概率密度函数为\[f\left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left( x - \mu \right) }^{2}}{2{\sigma }^{2}}}\;\left( {-\infty  < x <  + \infty }\right) \;\text{ (如图 }2-3-3\text{ ) }\]

图 \(2-3-3\)

其中 \(\mu\) 与 \(\sigma  > 0\) 都是常数,则称 \(X\) 服从参数为 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 的正态分布. 简记为 \(X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)\)
(4)标准正态分布: 当 \(\mu  = 0,\sigma  = 1\) 时称 \(X\) 服从标准正态分布,简记为 \(X \sim  N\left( {0,1}\right)\) ,其概率密度函数和分布函数分别用 \(\varphi \left( x\right) ,\Phi \left( x\right)\) 表示,即有\[\varphi \left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}\;\left( {\text{ 如图 }2-3-4}\right)\]\[\Phi \left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{x}{\mathrm{e}}^{-\frac{{t}^{2}}{2}}\mathrm{d}t\]性质 1 \({\Phi }\left( {-x}\right)  = 1 - \Phi \left( x\right)\)
性质 2 当 \(X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)\) 时, \(\displaystyle U = \frac{X - \mu }{\sigma } \sim  N\left( {0,1}\right)\) . 即 \(\displaystyle F\left( x\right)  = \Phi \left( \frac{x - \mu }{\sigma }\right)\)

图 \(2-3-4\)

4. 随机变量函数的分布

1. 离散型随机变量函数的分布
设随机变量 \(X\) 的分布律为 \(P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = {p}_{k},k = 1,2,3\cdots\) ,则当 \(Y = g\left( X\right)\) 的所有取值为 \({y}_{j}\)  \(\left( {j = 1,2,\cdots }\right)\) 时,随机变量 \(Y\) 有分布律\[P\left\{  {Y = {y}_{j}}\right\}   = \mathop{\sum }\limits_{{g\left( {x}_{k}\right)  = {y}_{j}}}P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}\]2. 连续型随机变量函数的分布
方法一: 设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \({f}_{X}\left( x\right) \left( {-\infty  < x <  + \infty }\right)\) ,那么 \(Y = g\left( X\right)\) 的分布函数为\[{F}_{Y}\left( y\right)  = P\{ Y \leq  y\}  = P\{ g\left( X\right)  \leq  y\}  = {\int }_{g\left( x\right)  \leq  y}{f}_{X}\left( x\right) \mathrm{d}x\]其概率密度为 \({f}_{Y}\left( y\right)  = {F}_{Y}^{\prime }\left( y\right)\)
方法二: 设随机变量 \(X\) 具有概率密度函数 \({f}_{X}\left( x\right) \left( {-\infty  < x <  + \infty }\right) ,g\left( x\right)\) 为 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 内的严格单调的可导函数,则随机变量 \(Y = g\left( X\right)\) 的概率密度为\[{f}_{Y}\left( y\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} {f}_{X}\left\lbrack  {h\left( y\right) }\right\rbrack  \left| {{h}^{\prime }\left( y\right) }\right| , & \alpha  < y < \beta \\  0, & \text{ 其他 } \end{array}\right.\]其中 \(h\left( y\right)\) 是 \(g\left( x\right)\) 的反函数, \(\alpha  = \min \{ g\left( {-\infty }\right) ,g\left( {+\infty }\right) \} ,\beta  = \max \{ g\left( {-\infty }\right) ,g\left( {+\infty }\right) \}\)

第三章 多维随机变量及其分布

1. 二维随机变量及其分布

1. 二维随机变量
设 \(E\) 是随机试验,样本空间 \(\Omega  = \{ \omega \}\) ,由 \(X = X\left( \omega \right) ,Y = Y\left( \omega \right)\) 构成的向量 (X, Y)称为二维随机变量
2. 联合分布函数
设(X, Y)是二维随机变量, \(x,y\) 是两个任意实数,则称定义在平面上的二元函数 \(P\{ X \leq  x,Y \leq  y\}\) 为(X, Y)的分布函数,或称为 \(X\) 和 \(Y\) 的联合分布函数,记作 \(F\left( {x,y}\right)\) ,即\[F\left( {x,y}\right)  = P\{ X \leq  x,Y \leq  y\}\]\(F\left( {x,y}\right)\) 的性质:
(1)\(0 \leq  F\left( {x,y}\right)  \leq  1\) ,且 \(F\left( {-\infty ,y}\right)  = F\left( {x, - \infty }\right)  = F\left( {-\infty , - \infty }\right)  = 0,F\left( {+\infty , + \infty }\right)  = 1\)
(2)\(F\left( {x,y}\right)\) 是变量 \(x\) 或 \(y\) 的单调不减函数
(3)\(F\left( {x,y}\right)  = F\left( {x + 0,y}\right) ,F\left( {x,y}\right)  = F\left( {x,y + 0}\right) ,F\left( {x,y}\right)\) 关于 \(x\) 或 \(y\) 都是右连续的
(4)对任意 \(\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) ,\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)\) : 当 \({x}_{1} < {x}_{2},{y}_{1} < {y}_{2}\) 时有
\(P\left\{  {{x}_{1} < X \leq  {x}_{2},{y}_{1} < Y \leq  {y}_{2}}\right\}   = F\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)  - F\left( {{x}_{1},{y}_{2}}\right)  - F\left( {{x}_{2},{y}_{1}}\right)  + F\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right)\)
3. 二维离散型随机变量
若(X, Y)所有可能取值为 \(\left( {{x}_{i},{y}_{j}}\right) ,i,j = 1,2,\cdots\) ,则 \(P\left\{  {X = {x}_{i},Y}\right.\)  \(\left. { = {y}_{j}}\right\}   = {p}_{ij}\) 称为联合分布律,联合分布律可列表如下:

联合分布律的性质: \(\displaystyle {p}_{ij} \geq  0,\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{p}_{ij} = 1\)
4. 二维连续型随机变量
若分布函数 \(\displaystyle F\left( {x,y}\right)  = {\int }_{-\infty }^{x}{\int }_{-\infty }^{y}f\left( {u,v}\right) \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v\) ,则称(X, Y)是连续型随机变量. \(f\left( {x,y}\right)\) 称为(X, Y)的联合概率密度
联合概率密度的性质:
(1)\(\displaystyle f\left( {x,y}\right)  \geq  0;\;{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 1\)
(2)若 \(f\left( {x,y}\right)\) 在点(x, y)处连续,则 \(\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F\left( {x,y}\right) }{\partial x\partial y} = f\left( {x,y}\right)\)
(3) 设 \(G\) 是 \({xOy}\) 平面上一个区域,则 \(\displaystyle P\{ \left( {X,Y}\right)  \in  G\}  = {\iint }_{G}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

2. 边缘分布

1. 边缘分布函数
设二维随机变量(X, Y)的分布函数为 \(F\left( {x,y}\right)\) ,分别称函数
\({F}_{X}\left( x\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow   + \infty }}F\left( {x,y}\right)  = F\left( {x, + \infty }\right) \;\) 和 \(\;{F}_{Y}\left( y\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow   + \infty }}F\left( {x,y}\right)  = F\left( {+\infty ,y}\right)\)
为(X, Y)关于 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘分布函数
2. 边缘分布律
设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为 \(P\left\{  {X = {x}_{i},Y = {y}_{j}}\right\}   = {p}_{ij}\) ,则分别称\[{p}_{i \vdot} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{p}_{ij} = P\left\{  {X = {x}_{i}}\right\}  \;\left( {i = 1,2,3,\cdots }\right)\]和\[p_{\vdot j} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{p}_{ij} = P\left\{  {Y = {y}_{j}}\right\}  \;\left( {j = 1,2,3,\cdots \cdots }\right)\]为(X, Y)关于 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘分布律
3. 边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为 \(f\left( {x,y}\right)\) ,则 \({f}_{X}\left( x\right)  =\)  \({\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y\) 和 \({f}_{Y}\left( y\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\) 分别称为(X, Y)关于 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘概率密度
4. 常用的二维分布
(1)二维均匀分布: 如果二维随机变量(X, Y)有概率密度\[f\left( {x,y}\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} \frac{1}{A}, & \left( {x,y}\right)  \in  G \\  0, & \text{ 其他. } \end{array}\right.\]其中 \(G\) 为平面有界区域, \(A\) 为其面积,则称(X, Y)在 \(G\) 上服从二维均匀分布
(2)二维正态分布: 如果二维随机变量(X, Y)的概率密度为\[\small f\left( {x,y}\right)  = \frac{1}{{2\pi }{\sigma }_{1}{\sigma }_{2}\sqrt{1 - {\rho }^{2}}}\exp \left\{  {-\frac{1}{2\left( {1 - {\rho }^{2}}\right) }\left\lbrack  {\frac{{\left( x - {\mu }_{1}\right) }^{2}}{{\sigma }_{1}^{2}} - {2\rho }\frac{\left( {x - {\mu }_{1}}\right) \left( {y - {\mu }_{2}}\right) }{{\sigma }_{1}{\sigma }_{2}} + \frac{{\left( y - {\mu }_{2}\right) }^{2}}{{\sigma }_{2}^{2}}}\right\rbrack  }\right\}\]其中 \({\mu }_{1},{\mu }_{2},{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\rho\) 均为常数,且 \({\sigma }_{1} > 0,{\sigma }_{2} > 0, - 1 < \rho  < 1\) ,则称(X, Y)服从参数为 \({\mu }_{1},{\mu }_{2},{\sigma }_{1},{\sigma }_{2}\) , \(\rho\) 的二维正态分布,记作\[\left( {X,Y}\right)  \sim  N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2};{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2};\rho }\right)\]特别, 当 \({\mu }_{1} = {\mu }_{2} = 0,{\sigma }_{1} = {\sigma }_{2} = 1\) 时,则称(X, Y)服从标准正态分布
性质: \(\left( {X,Y}\right)  \sim  N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2};{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2};\rho }\right)  \Rightarrow  X \sim  N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2}}\right) ,Y \sim  N\left( {{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2}}\right)\) . 逆命题不成立

3. 条件分布

1. 条件分布律
设(X, Y)是二维离散型随机变量,若 \(p_{\vdot j} > 0\) ,则称\[{p}_{X \mid  Y}\left( {i \mid  j}\right)  = P\left\{  {X = {x}_{i} \mid  Y = {y}_{j}}\right\}   = \frac{{p}_{ij}}{p_{\vdot  j}}\;\left( {i = 1,2,\cdots }\right)\]为在 \(\left\{  {Y = {y}_{j}}\right\}\) 条件下随机变量 \(X\) 的条件分布律
若 \({p}_{i\vdot}> 0\) ,则称\[{p}_{Y \mid  X}\left( {j \mid  i}\right)  = P\left\{  {Y = {y}_{j} \mid  X = {x}_{i}}\right\}   = \frac{{p}_{ij}}{{p}_{i\vdot}}\;\left( {j = 1,2,\cdots }\right)\]为在 \(\left\{  {X = {x}_{i}}\right\}\) 条件下随机变量 \(Y\) 的条件分布律
2. 条件概率密度
设(X, Y)是二维连续型随机变量,若 \({f}_{Y}\left( y\right)  > 0\) ,则称\[{f}_{X \mid  Y}\left( {x \mid  y}\right)  = \frac{f\left( {x,y}\right) }{{f}_{Y}\left( y\right) }\;\left( {-\infty  < x <  + \infty }\right)\]为在 \(\{ Y = y\}\) 条件下 \(X\) 的条件概率密度
若 \({f}_{X}\left( x\right)  > 0\) ,则称\[{f}_{Y \mid  X}\left( {y \mid  x}\right)  = \frac{f\left( {x,y}\right) }{{f}_{X}\left( x\right) }\;\left( {-\infty  < y <  + \infty }\right)\]为在 \(\{ X = x\}\) 条件下 \(Y\) 的条件概率密度

4. 随机变量的独立性

1. 随机变量的独立性
若二维随机变量(X, Y)对任意实数均有
\(P\{ X \leq  x,Y \leq  y\}  = P\{ X \leq  x\} P\{ Y \leq  y\} ,\;\) 即 \(F\left( {x,y}\right)  = {F}_{X}\left( x\right)  \vdot  {F}_{Y}\left( y\right)\)
则 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立
2. 离散型随机变量相互独立的充要条件\[{p}_{ij} = {p}_{i\vdot} p_{\vdot j},\;i,j = 1,2,\cdots\]3. 连续型随机变量相互独立的充要条件\[f\left( {x,y}\right)  = {f}_{X}\left( x\right)  \vdot  {f}_{Y}\left( y\right) ,\;x,y\text{ 任意实数 }\]

5. 多维随机变量函数的分布

1. 二维随机变量函数的分布
(1)已知离散型随机变量(X, Y)的分布律 \(P\left\{  {X = {x}_{i},Y = {y}_{j}}\right\}   = {p}_{ij}\) ,则 \(Z = g\left( {X,Y}\right)\) 的分布为\[P\left\{  {Z = {z}_{k}}\right\}   = P\left\{  {g\left( {X,Y}\right)  = {z}_{k}}\right\}   = \mathop{\sum }\limits_{{g\left( {{x}_{i},{y}_{j}}\right)  = {z}_{k}}}{p}_{ij}\](2)设连续型随机变量(X, Y)的概率密度为 \(f\left( {x,y}\right)\) ,则 \(Z = g\left( {X,Y}\right)\) 的分布函数为\[{F}_{Z}\left( z\right)  = P\{ Z \leq  z\}  = {\iint }_{g\left( {x,y}\right)  \leq  z}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\]概率密度 \({f}_{Z}\left( z\right)  = {F}_{Z}^{\prime }\left( z\right)\)
特殊类型:
①\(Z = X + Y\) 密度函数为\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x,z - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {z - y,y}\right) \mathrm{d}y\]特别, 当 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立时\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {f}_{X} * {f}_{Y} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X}\left( x\right) {f}_{Y}\left( {z - x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X}\left( {z - y}\right) {f}_{Y}\left( y\right) \mathrm{d}y\]②设 \(X \sim  N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2}}\right) ,Y \sim  N\left( {{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2}}\right)\) ,且 \(X,Y\) 相互独立,则\[{aX} + {bY} \sim  N\left( {a{\mu }_{1} + b{\mu }_{2},{a}^{2}{\sigma }_{1}^{2} + {b}^{2}{\sigma }_{2}^{2}}\right)\]③设 \(X,Y\) 相互独立,分布函数分别为 \({F}_{X}\left( x\right)\) 和 \({F}_{Y}\left( y\right) ,M = \max \left( {X,Y}\right) ,N = \min \left( {X,Y}\right)\) ,则\[{F}_{M}\left( z\right)  = {F}_{X}\left( z\right) {F}_{Y}\left( z\right)\]\[{F}_{N}\left( z\right)  = 1 - \left\lbrack  {1 - {F}_{X}\left( z\right) }\right\rbrack  \left\lbrack  {1 - {F}_{Y}\left( z\right) }\right\rbrack\]④\(Z = \frac{X}{Y}\) 的密度函数为\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| y\right| f\left( {{yz},y}\right) \mathrm{d}y\]当 \(X,Y\) 相互独立时,\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| y\right| {f}_{X}\left( {yz}\right) {f}_{Y}\left( y\right) \mathrm{d}y\]⑤\(Z = \frac{Y}{X}\) 的密度函数为\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| x\right| f\left( {x,{xz}}\right) \mathrm{d}x\]当 \(X,Y\) 相互独立时,\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left| x\right| {f}_{X}\left( x\right) {f}_{Y}\left( {xz}\right) \mathrm{d}x\]⑥\(Z = {XY}\) 的密度函数为\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left| x\right| }f\left( {x,\frac{z}{x}}\right) \mathrm{d}x\]当 \(X,Y\) 相互独立时,\[{f}_{Z}\left( z\right)  = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left| x\right| }{f}_{X}\left( x\right) {f}_{Y}\left( \frac{z}{x}\right) \mathrm{d}x\]2. 多维随机变量函数的分布
对于相互独立的多维随机变量所构成的简单函数, 可利用二维随机变量的结果加以推广. 常用结论及公式如下:
(1)设 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\) 相互独立,且 \({X}_{i} \sim  N\left( {{\mu }_{i},{\sigma }_{i}^{2}}\right) ,{k}_{i}\) 为任意常数, \(\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,则\[Z = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{k}_{i}{X}_{i} \sim  N\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{k}_{i}{\mu }_{i},\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{k}_{i}^{2}{\sigma }_{i}^{2}}\right)\](2)设 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\) 相互独立,且 \({X}_{i}\) 的分布函数为 \({F}_{{X}_{i}}\left( {x}_{i}\right) \left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,则 \(Z =\)  \(\max \left\{  {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right\}\) 的分布函数为\[{F}_{\max }\left( z\right)  = {F}_{{X}_{1}}\left( z\right) {F}_{{X}_{2}}\left( z\right) \cdots {F}_{{X}_{n}}\left( z\right)\]\(Z = \min \left\{  {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right\}\) 的分布函数为\[{F}_{\min }\left( z\right)  = 1 - \left\lbrack  {1 - {F}_{{X}_{1}}\left( z\right) }\right\rbrack  \left\lbrack  {1 - {F}_{{X}_{2}}\left( z\right) }\right\rbrack  \cdots \left\lbrack  {1 - {F}_{{X}_{n}}\left( z\right) }\right\rbrack\]

第四章 随机变量的数字特征

1. 数学期望

1. 离散型随机变量的数学期望
设随机变量 \(X\) 的分布律为 \(P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = {p}_{k}\;\left( {k = 1,2,3,\cdots }\right)\)
若级数 \(\mathop{\sum }\limits_{k}{x}_{k}{p}_{k}\) 绝对收敛,则称它的和为 \(X\) 的数学期望,记作 \({EX}\) ,即 \({EX} = \mathop{\sum }\limits_{k}{x}_{k}{p}_{k}\)
2. 连续型随机变量的数学期望
设随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f\left( x\right)\) ,若积分 \(\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x\) 绝对收敛,则称其值为 \(X\) 的数学期望,记作 \({EX}\) ,则 \(\displaystyle {EX} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x\)
3. 离散型随机变量函数的数学期望
(1)一维随机变量函数的期望 设 \(X\) 的分布律为 \(P\left\{  {X = {x}_{k}}\right\}   = {p}_{k}\) ,又 \(Y = g\left( X\right)\) ,则 \({EY} = \mathop{\sum }\limits_{k}g\left( {x}_{k}\right) {p}_{k}\)
(2)二维随机变量函数的期望 设(X, Y)的联合分布律为 \(P\left\{  {X = {x}_{i},Y = {y}_{j}}\right\}   = {p}_{ij}\) ,又 \(Z =\)  \(g\left( {X,Y}\right)\) ,则 \({EZ} = \mathop{\sum }\limits_{i}\mathop{\sum }\limits_{j}g\left( {{x}_{i},{y}_{j}}\right) {p}_{ij}\)
4. 连续型随机变量函数的数学期望
(1)一维随机变量函数的数学期望 设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f\left( x\right)\) ,又 \(Y =g\left( X\right)\) ,则 \(\displaystyle {EY} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left( x\right)  \vdot  f\left( x\right) \mathrm{d}x\)
(2)二维随机变量函数的数学期望 设连续型二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 \(f\left( {x,y}\right)\) ,又 \(Z = g\left( {X,Y}\right)\) ,则 \(\displaystyle {EZ} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left( {x,y}\right)  \vdot  f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
5. 数学期望的性质
(1)\(E\left( c\right)  = c\) ( \(c\) 为任意常数)
(2)\(E\left( {cX}\right)  = {cEX}\) ( \(c\) 为任意常数)
(3)\(E\left( {X + Y}\right)  = {EX} + {EY}\)
(4)若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立,则有 \(E\left( {XY}\right)  = {EX} \vdot  {EY}\)
(5)\({\left\lbrack  E\left( XY\right) \right\rbrack  }^{2} \leq  E\left( {X}^{2}\right)  \vdot  E\left( {Y}^{2}\right)\)

2. 方差

1. 方差的统一定义和简化公式
若随机变量 \(X\) 的数学期望 \({EX}\) 存在,则 \(X\) 的方差可用下式统一定义:\[{DX} = E{\left( X - EX\right) }^{2}\]其简化计算公式为\[{DX} = E{X}^{2} - {\left( EX\right) }^{2}\]2. 方差的性质
(1)\(D\left( c\right)  = 0\;\left( {c\text{ 为任意常数 }}\right)\)
(2)\(D\left( {cX}\right)  = {c}^{2}{DX}\) (c为任意常数)
(3)若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立,则有 \(D\left( {X \pm  Y}\right)  = {DX} + {DY}\)
3. 常见离散型分布的数字特征
(1)若 \(X \sim  B\left( {n,p}\right)\) ,则 \({EX} = {np},{DX} = {npq}\left( {0 < p < 1,p + q = 1}\right)\)
(2)若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布,则 \({EX} = \lambda ,{DX} = \lambda \left( {\lambda  > 0}\right)\)
(3)若 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布,则 \(\displaystyle {EX} = \frac{1}{p},{DX} = \frac{1 - p}{{p}^{2}}\)
4. 常见连续型分布的数字特征
(1)若 \(X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)\) ,则 \({EX} = \mu ,{DX} = {\sigma }^{2}\)
(2)若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布,则 \(\displaystyle {EX} = \frac{1}{\lambda },{DX} = \frac{1}{{\lambda }^{2}}\left( {\lambda  > 0}\right)\)
(3)若 \(X\) 服从 \(\left\lbrack  {a,b}\right\rbrack\) 上的均匀分布,则 \(\displaystyle {EX} = \frac{a + b}{2},{DX} = \frac{{\left( b - a\right) }^{2}}{12}\)

3. 协方差与相关系数

1. 协方差
对于二维随机变量 \(\left( {X,Y}\right) ,\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right)  = E\left\lbrack  {E - E\left( X\right) }\right\rbrack  \left\lbrack  {Y - E\left( Y\right) }\right\rbrack\) 是其协方差, 或用 \(\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right)  = E\left( {XY}\right)  - {EX} \vdot  {EY}\) 表示
协方差的性质
(1)\(\operatorname{Cov}\left( {X,X}\right)  = {DX}\)
(2)\(\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right)  = \operatorname{Cov}\left( {Y,X}\right)\)
(3)\(\operatorname{Cov}\left( {{aX},{bY}}\right)  = {ab}\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right)\)
(4)\(\operatorname{Cov}\left( {{X}_{1} + {X}_{2},Y}\right)  = \operatorname{Cov}\left( {{X}_{1},Y}\right)  + \operatorname{Cov}\left( {{X}_{2},Y}\right)\)
(5)\(D\left( {X \pm  Y}\right)  = D\left( X\right)  + D\left( Y\right)  \pm  2\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right)\)
2. 相关系数\[{\rho }_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}\left( {X,Y}\right) }{\sqrt{D\left( X\right) }\sqrt{D\left( Y\right) }}\;\left( {D\left( X\right)  > 0,D\left( Y\right)  > 0}\right)\]当 \({\rho }_{XY} = 0\) 时, \(X\) 与 \(Y\) 是不相关的
相关系数反映了两个随机变量的线性相关程度,当其绝对值越接近 1 时, \(X\) 与 \(Y\) 的线性相关程度就越强,反之,越接近 0 时, \(X\) 与 \(Y\) 线性相关程度就越弱
相关系数的性质
(1)\(- 1 \leq  {\rho }_{XY} \leq  1\)
(2)若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立,则 \({\rho }_{XY} = 0\) ,即 \(X,Y\) 不相关. 反之不一定成立
(3)若 \(X,Y\) 之间有线性关系,即 \(Y = {aX} + b\left( {a,b\text{ 为常数, }a \neq  0}\right)\) ,则 \(\left| {\rho }_{XY}\right|  = 1\) ,且 \(a > 0\) 时, \({\rho }_{XY}\)  \(= 1;a < 0\) 时, \({\rho }_{XY} =  - 1\)
3. 二维正态分布的参数意义
当 \(\left( {X,Y}\right)  \sim  N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2};{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2};\rho }\right)\) 时,\[{EX} = {\mu }_{1},\;{EY} = {\mu }_{2},\;{DX} = {\sigma }_{1}^{2},\;{DY} = {\sigma }_{2}^{2},\;{\rho }_{XY} = \rho\]且 \(X,Y\) 相互独立 \(\Leftrightarrow  X\text{ 、 }Y\) 不相关
4. 矩
(1)原点矩 设 \(X\) 与 \(Y\) 是随机变量,如果 \(E\left( {{X}^{k}{Y}^{l}}\right) \left( {k,l = 0,1,2,\cdots }\right)\) 存在,则称它为 \(X\) 与 \(Y\) 的 \(k + l\) 阶混合原点矩
特别地,当 \(l = 0\) 时,称 \(E{X}^{k}\) 为 \(X\) 的 \(k\) 阶原点矩
显然,随机变量 \(X\) 的一阶原点矩就是它的数学期望 \({EX}\)
(2)中心矩 设随机变量 \(X\text{ 、 }Y\) 的数学期望 \({EX}\text{ 、 }{EY}\) 存在,且 \(E{\left( X - EX\right) }^{k}{\left( Y - EY\right) }^{l}\) 存在,则称它为 \(X\) 与 \(Y\) 的 \(k + l\) 阶混合中心矩
特别地,当 \(k = l = 1\) 时,就是 \(X\text{ 、 }Y\) 的协方差 \(E\left( {X - {EX}}\right) \left( {Y - {EY}}\right)\) ,当 \(l = 0\) 时,称 \(E(X -\)  \({EX}{)}^{k}\) 为 \(X\) 的 \(k\) 阶中心矩
显然,随机变量 \(X\) 的二阶中心矩就是它的方差 \({DX} = E{\left( X - EX\right) }^{2}\)
5. 协方差矩阵
设 \(\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 为 \(n\) 维随机变量,记 \({C}_{ij} = \operatorname{Cov}\left( {{X}_{i},{X}_{j}}\right) ,i,j = 1,2,\cdots ,n\) ,称\[\left\lbrack  \begin{matrix} {C}_{11} & {C}_{12} & \cdots & {C}_{1n} \\  {C}_{21} & {C}_{22} & \cdots & {C}_{2n} \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\  {C}_{n1} & {C}_{n2} & \cdots & {C}_{nn} \end{matrix}\right\rbrack  \text{ 为 }\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right) \text{ 的协方差矩阵}\]

第五章 大数定律与中心极限定理

1. 切比雪夫不等式
假设随机变量 \(X\) 具有数学期望 \({EX}\) 及方差 \({DX}\) ,则对任意的 \(\varepsilon  > 0\) ,有\[P\{ \left| {X - {EX}}\right|  \geq  \varepsilon \}  \leq  \frac{DX}{{\varepsilon }^{2}}\]或者有时候也可以写成\[P\{ \left| {X - {EX}}\right|  < \varepsilon \}  \geq  1 - \frac{DX}{{\varepsilon }^{2}}\]2. 大数定律
(1)切比雪夫大数定律
如果随机变量序列 \(\left\{  {X}_{n}\right\}\) 相互独立,各随机变量的期望和方差都有限,而且方差有公共上界, 即 \(D{X}_{i} \leq  l,i = 1,2,\cdots\) ,其中 \(l\) 是与 \(i\) 无关的常数,则对任意的 \(\varepsilon  > 0\) ,有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}P\left\{  {\left| {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} - \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}E{X}_{i}}\right|  < \varepsilon }\right\}   = 1\]切比雪夫大数定律的特例: 设随机变量 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n},\cdots\) 相互独立,且 \(E\left( {X}_{i}\right)  = \mu ,D\left( {X}_{i}\right)  =\)  \({\sigma }^{2}\left( {i = 1,2,\cdots }\right)\) ,则对任意的 \(\varepsilon  > 0\) ,总有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}P\left\{  {\left| {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} - \mu }\right|  < \varepsilon }\right\}   = 1\]该定律说明: 在定律的条件下,当 \(n\) 充分大时, \(n\) 个独立随机变量的平均数的离散程度很小
(2)伯努利大数定律
如果 \({u}_{n}\) 是 \(n\) 次重复独立试验中事件 \(A\) 发生的次数, \(p\) 是事件 \(A\) 在每次试验中发生的概率, 则对任意给定的 \(\varepsilon  > 0\) ,有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}P\left\{  {\left| {\frac{{u}_{n}}{n} - p}\right|  < \varepsilon }\right\}   = 1\]该定律说明: 在试验条件不改变的情况下, 将试验重复进行多次, 则随机事件的频率在它发生的概率附近摆动
(3)辛钦大数定律
如果 \(\left\{  {X}_{n}\right\}\) 是相互独立同分布的随机变量序列,其数学期望 \(E{X}_{i} = \mu ,i = 1,2,\cdots\) ,则对任意给定的 \(\varepsilon  > 0\) ,有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}P\left\{  {\left| {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} - \mu }\right|  < \varepsilon }\right\}   = 1\]该定律说明: 对独立同分布的随机变量序列, 只要验证数学期望是否存在, 就可判定其是否服从大数定律
3. 中心极限定理
(1)列维一林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)
设随机变量 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n},\cdots\) 独立同分布,且 \(E\left( {X}_{i}\right)  = \mu ,D\left( {X}_{i}\right)  = {\sigma }^{2} <  + \infty \left( {i = 1,2,\cdots }\right)\) , 则对任意实数 \(x\) ,有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}P\left\{  {\frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} - {n\mu }}{\sqrt{n}\sigma } \leq  x}\right\}   = {\int }_{-\infty }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{t}^{2}}{2}}\mathrm{\;d}t = \Phi \left( x\right)\]
(2)李雅普诺夫定理
若随机变量序列 \(\left\{  {X}_{n}\right\}\) 相互独立,每个随机变量有期望值 \(E{X}_{n} = {\mu }_{n}\) 及方差 \(D{X}_{n} = {\sigma }_{n}^{2} <  + \infty\) , \(n = 1,2,\cdots\) ,若每个 \({X}_{n}\) 对总和 \(\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{m}{X}_{n}\) 影响不大,记 \({S}_{m} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{m}{\sigma }_{n}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}}\) ,则\[\mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow  \infty }}\left\{  {\frac{1}{{S}_{m}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{m}\left( {{X}_{n} - {\mu }_{n}}\right)  \leq  x}\right\}   = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{x}{\mathrm{e}}^{-\frac{{t}^{2}}{2}}\mathrm{\;d}t = \Phi \left( x\right)\](3)棣莫弗一拉普拉斯定理
设随机变量 \({Y}_{1},{Y}_{2},\cdots\) 服从参数为 \(n,p\) 的二项分布,则对于任何实数 \(x\) ,有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}P\left\{  {\frac{{Y}_{n} - {np}}{\sqrt{npq}} \leq  x}\right\}   = {\int }_{-\infty }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{t}^{2}}{2}}\mathrm{\;d}t = \Phi \left( x\right)\]其中 \(q = 1 - p\)

第六章 数理统计基本概念

1. 总体
是指研究对象的某个性能指标的全体,通常用一随机变量 \(X\) 代表总体
2. 个体 是指每一个研究对象
3. 样本 从总体中取 \(n\) 个个体,称作来自总体的容量为 \(n\) 的样本
简单随机样本 是指 \(n\) 个相互独立,而且与总体 \(X\) 同分布的随机变量 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\) ,简称随机样本,也常以随机向量 \(\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 表示. 它们的一组观察值 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 称为样本值
4. 统计量 称不含未知参数的样本函数 \(g\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 为统计量
常见统计量
\(\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i}\) 为样本均值
\(\displaystyle {S}^{2} = \frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2}\) 为样本方差
\(\displaystyle S = \sqrt{{S}^{2}}\) 称为样本标准差
\(\displaystyle {A}_{k} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i}^{k}\) 为 \(k\) 阶样本原点矩
\(\displaystyle {B}_{k} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{k}\) 为 \(k\) 阶样本中心矩
其中 \(\displaystyle {B}_{2} = {S}_{n}^{2} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2} = \frac{n - 1}{n}{S}^{2}\)
5. 经验分布函数
从总体 \(X\) 中抽取一个容量为 \(n\) 的样本,将其观察值 \(\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 按大小顺序,重新排列如下\[{x}_{1}^{ * } \leq  {x}_{2}^{ * } \leq  \cdots  \leq  {x}_{n}^{ * }\]对于任意的实数 \(x\) ,定义函数\[{F}_{n}\left( x\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} 0, & x < {x}_{1}^{ * } \\  \frac{k}{n}, & {x}_{k}^{ * } \leq  x < {x}_{k + 1}^{ * },\;k = 1,2,\cdots ,n - 1 \\  1, & {x}_{n}^{ * } \leq  x \end{array}\right.\]称 \({F}_{n}\left( x\right)\) 为总体 \(X\) 由 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 所决定的样本分布函数或经验分布函数
格列汶科定理 当 \(n \rightarrow  \infty\) 时, \({F}_{n}\left( x\right)\) 依概率 1 关于 \(x\) 均匀地收敛于 \(F\left( x\right)\) . 即说明: 当 \(n\) 很大时,样本分布函数 \({F}_{n}\left( x\right)\) 近似于总体分布函数 \(F\left( x\right)\)
6. \({\chi }^{2}\) 分布
(1)定义: 设随机变量 \({X}_{1},\cdots ,{X}_{n}\) 相互独立同分布 \(N\left( {0,1}\right)\) ,若有 \({\chi }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i}^{2}\) ,则随机变量 \({\chi }^{2}\)的分布称为 \(n\) 个自由度的 \({\chi }^{2}\) 分布. 即 \({\chi }^{2} \sim  {\chi }^{2}\left( n\right)\) . 其概率密度函数为\[\varphi \left( x\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} \frac{1}{{2}^{\frac{n}{2}}\Gamma \left( \frac{n}{2}\right) }{x}^{\frac{n}{2} - 1}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}, & x > 0 \\  0, & x \leq  0 \end{array}\right.\]用图形表示其密度函数为图 6-1

图 6-1

(2)性质:
① \(E\left( {{\chi }^{2}\left( n\right) }\right)  = n,D\left( {{\chi }^{2}\left( n\right) }\right)  = {2n}\)
② 设 \(X \sim  {\chi }^{2}\left( m\right) ,Y \sim  {\chi }^{2}\left( n\right)\) ,且 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立. 则\[X + Y \sim  {\chi }^{2}\left( {m + n}\right)\](3)上 \(\alpha\) 分位点:对于给定的正数 \(\alpha \left( {0 < \alpha  < 1}\right)\) ,称满足条件\[P\left\{  {{\chi }^{2} > {\chi }_{\alpha }^{2}\left( n\right) }\right\}   = \alpha\]的点 \({\chi }_{\alpha }^{2}\left( n\right)\) 为 \({\chi }^{2}\) 分布的上 \(\alpha\) 分位点
7. \(t\) 分布
(1)定义: 设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立. \(X \sim  N\left( {0,1}\right) ,Y \sim  {\chi }^{2}\left( n\right)\) ,若 \(\displaystyle T = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\) ,则随机变量 \(T\) 的分布称为 \(n\) 个自由度的 \(t\) 分布,即 \(T \sim  t\left( n\right)\) ,其概率密度函数为\[\varphi \left( x\right)  = \frac{\Gamma \left( \frac{n + 1}{2}\right) }{\sqrt{n\pi }\Gamma \left( \frac{n}{2}\right) }{\left( 1 + \frac{{x}^{2}}{n}\right) }^{-\frac{n + 1}{2}}\;\left( {-\infty  < x <  + \infty }\right)\]用图形表示其概率密度为图 6-2

图 6-2

(2)性质:
①\(\displaystyle E\left( {t\left( n\right) }\right)  = 0,D\left( {t\left( n\right) }\right)  = \frac{n}{n - 2}\;\left( {n > 2}\right)\)
②\(\displaystyle \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}\varphi \left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}\) ,故 \(n\) 足够大时, \(t\) 分布近似于 \(N\left( {0,1}\right)\)
③若 \(T \sim  t\left( n\right)\) ,则 \({T}^{2} \sim  F\left( {1,n}\right)\)
(3)上 \(\alpha\) 分位点: \(t\left( n\right)\) 分布的上 \(\alpha\) 分位点 \({t}_{\alpha }\left( n\right)\) 是指满足\[P\left\{  {T > {t}_{\alpha }\left( n\right) }\right\}   = \alpha \;\left( {0 < \alpha  < 1}\right) \;\text{ 的点 }{t}_{\alpha }\left( n\right)\]其中 \({t}_{1 - \alpha }\left( n\right)  =  - {t}_{\alpha }\left( n\right)\)
8. \(F\) 分布
(1)定义: 设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立,且分别服从 \(\displaystyle {\chi }^{2}\left( m\right)\) 和 \(\displaystyle {\chi }^{2}\left( n\right)\) 分布,若 \(\displaystyle F = \frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}\) ,则 \(F\) 服从自由度为 \(m,n\) 的 \(F\) 分布. 即 \(F \sim  F\left( {m,n}\right)\) ,其概率密度函数为\[\large \varphi \left( x\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} \frac{\Gamma \left( \frac{m + n}{2}\right) }{\Gamma \left( \frac{m}{2}\right) \Gamma \left( \frac{n}{2}\right) }{m}^{\frac{m}{2}}{n}^{\frac{n}{2}}\frac{{x}^{\frac{m}{2} - 1}}{{\left( mx + n\right) }^{\frac{m + n}{2}}}, & x > 0 \\  0, & x \leq  0 \end{array}\right.\]用图形表示其概率密度函数为图 6-3

图 6-3

(2)性质:
①若 \(X \sim  F\left( {m,n}\right)\) ,则\[E\left( X\right)  = \frac{n}{n - 2}\;\left( {n > 2}\right)\]\[D\left( X\right)  = \frac{{n}^{2}\left( {{2m} + {2n} - 4}\right) }{m{\left( n - 2\right) }^{2}\left( {n - 4}\right) }\;\left( {n > 4}\right)\]②若 \(X \sim  F\left( {m,n}\right)\) ,则 \(\displaystyle \frac{1}{X} \sim  F\left( {n,m}\right)\)
(3)上 \(\alpha\) 分位点:满足 \(P\left\{  {F > {F}_{\alpha }\left( {m,n}\right) }\right\}   = \alpha \;\left( {0 < \alpha  < 1}\right)\) 的点 \({F}_{\alpha }\left( {m,n}\right)\) 称为上 \(\alpha\) 分位点,且 \(\displaystyle {F}_{1 - \alpha }\left( {m,n}\right)  = \frac{1}{{F}_{\alpha }\left( {n,m}\right) }\)
9. 正态总体的常用结论
(1)若总体 \(X\) 服从正态分布 \(N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right) ,{X}_{1},\cdots ,{X}_{n}\) 是其样本, \(\bar{X}\) 和 \({S}^{2}\) 分别为样本均值和方差, 则
①\(\displaystyle \bar{X} \sim  N\left( {\mu ,\frac{{\sigma }^{2}}{n}}\right)\) 或 \(\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu }{\sigma }\sqrt{n} \sim  N\left( {0,1}\right)\)
②\(\displaystyle \frac{\left( {n - 1}\right) {S}^{2}}{{\sigma }^{2}} \sim  {\chi }^{2}\left( {n - 1}\right)\)
③\(\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu }{S}\sqrt{n} \sim  t\left( {n - 1}\right)\)
④\(\bar{X}\) 与 \({S}^{2}\) 相互独立
(2)若 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\) 和 \({Y}_{1},{Y}_{2},\cdots ,{Y}_{m}\) 分别表示取自两个正态总体 \(N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2}}\right)\) 和 \(N\left( {{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2}}\right)\) 的简单随机样本, \(\bar{X},\bar{Y}\) 和 \({S}_{1}^{2},{S}_{2}^{2}\) 分别表示其样本均值和方差,则有
①\(\displaystyle \frac{\frac{{S}_{1}^{2}}{{\sigma }_{1}^{2}}}{\frac{{S}_{2}^{2}}{{\sigma }_{2}^{2}}} \sim  F\left( {n - 1,m - 1}\right)\)
②\(\displaystyle \sqrt{\frac{{mn}\left( {n + m - 2}\right) }{n + m}}\frac{\left( {\bar{X} - \bar{Y}}\right)  - \left( {{\mu }_{1} - {\mu }_{2}}\right) }{\sqrt{\left( {n - 1}\right) {S}_{1}^{2} + \left( {m - 1}\right) {S}_{2}^{2}}} \sim  t\left( {n + m - 2}\right)\) . (当 \({\sigma }_{1}^{2} = {\sigma }_{2}^{2}\) 时)

第七章 参数估计

1.  点估计

1. 点估计
设 \(\theta\) 是总体 \(X\) 的未知参数,用统计量 \(\widehat{\theta } = \widehat{\theta }\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 来估计 \(\theta\) ,称 \(\widehat{\theta }\) 为 \(\theta\) 的估计量. 对于样本的一组观察值 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) ,代入 \(\widehat{\theta }\) 的表达式中所得的具体数值称为 \(\theta\) 的估计值. 这样的方法称为参数的点估计
2. 矩估计
用样本矩去估计相应总体矩, 或者用样本矩的函数去估计总体矩的同一函数的估计方法就是矩估计
设总体 \(X\) 的概率分布含有 \(m\) 个未知参数 \({\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}\) ,假定总体的 \(k\) 阶原点矩存在,记 \(\displaystyle {\mu }_{k} =\)  \(E\left( {X}^{k}\right) \left( {k = 1,2,\cdots ,m}\right) ,{A}_{k} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i}^{k}\) 为样本 \(k\) 阶矩,令\[{\mu }_{k}\left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right)  = {A}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots ,m}\right)\]则此方程组的解 \(\left( {{\widehat{\theta }}_{1},{\widehat{\theta }}_{2},\cdots ,{\widehat{\theta }}_{m}}\right)\) 称为参数 \(\left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right)\) 的矩估计量. 矩估计量的观察值称为矩估计值
3. 最大似然估计 (极大似然估计)
(1)设总体 \(X\) 的概率分布为 \(p\left( {x\, ;\theta }\right)\) (当 \(X\) 为连续型时,其为概率密度函数,当 \(X\) 为离散型时,其为分布律), \(\theta  = \left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right)\) 为未知参数, \({x}_{1},\cdots ,{x}_{n}\) 为样本观察值\[L\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n},\theta }\right)  = \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}p\left( {{x}_{i}\, ;\theta }\right)  = L\left( \theta \right)\]称为 \(\theta\) 的似然函数
(2)对给定的 \({x}_{1},\cdots ,{x}_{n}\) ,使似然函数达到最大值的 \(\widehat{\theta }\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 称为 \(\theta\) 的最大似然估计值, 相应地 \(\widehat{\theta }\left( {{X}_{1},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 称为 \(\theta\) 的最大似然估计量
(3)最大似然估计的常用求解方法. 由于 \(\ln L\left( \theta \right)\) 与 \(L\left( \theta \right)\) 有相同的最大值点,若 \(L\left( \theta \right)\) 可导,则可由方程组\[\frac{\partial \ln L\left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{m}}\right) }{\partial {\theta }_{i}} = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\]求出 \({\theta }_{i}\) 的最大似然估计量,需注意的是这一方法并不都是有效的,对于有些似然函数,其驻点或导数不存在, 这时应考虑其他方法求似然函数的最大值点

2. 估计量的评选标准

1. 无偏性
设 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\) 为来自总体 \(X\) 的样本, \(\widehat{\theta }\) 为 \(\theta\) 的一个估计量,如果 \(E\left( \widehat{\theta }\right)  = \theta\) 成立,则称估计量 \(\widehat{\theta }\) 为参数 \(\theta\) 的无偏估计
2. 有效性
设 \({\widehat{\theta }}_{1}\text{ 、 }{\widehat{\theta }}_{2}\) 都为参数 \(\theta\) 的无偏估计量,若 \(D\left( {\widehat{\theta }}_{1}\right)  \leq  D\left( {\widehat{\theta }}_{2}\right)\) ,则称 \({\widehat{\theta }}_{1}\) 比 \({\widehat{\theta }}_{2}\) 有效
特别地,若对于 \(\theta\) 的任一无偏估计 \(\widehat{\theta }\) ,有\[D\left( {\widehat{\theta }}_{1}\right)  \leq  D\left( \widehat{\theta }\right)\]则称 \({\widehat{\theta }}_{1}\) 是 \(\theta\) 的最小方差无偏估计 (最佳无偏估计)
3. 一致性
设 \(\widehat{\theta }\) 为未知参数 \(\theta\) 的估计量,若对任意给定的 \(\varepsilon  > 0\) ,都有\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow  \infty }}P\{ \left| {\widehat{\theta } - \theta }\right|  < \varepsilon \}  = 1\]即 \(\widehat{\theta }\) 依概率收敛于参数 \(\theta\) ,则 \(\widehat{\theta }\) 称为 \(\theta\) 的一致估计或相合估计.

3 . 区间估计

1. 区间估计
设 \(\theta\) 为总体的未知参数, \({\widehat{\theta }}_{1}\) 和 \({\widehat{\theta }}_{2}\) 均为估计量,若对于给定的 \(\alpha \left( {0 < \alpha  < 1}\right)\) ,满足 \(P\left\{  {{\widehat{\theta }}_{1} \leq  \theta  \leq  }\right.\)  \(\left. {\widehat{\theta }}_{2}\right\}   = 1 - \alpha\) ,则称 \(\left\lbrack  {{\widehat{\theta }}_{1},{\widehat{\theta }}_{2}}\right\rbrack\) 为 \(\theta\) 的置信度为 \(1 - \alpha\) 的置信区间. 通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为区间估计
2. 单个正态总体的区间估计
设 \({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\) 为来自 \(N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)\) 的样本,则
(1)当 \({\sigma }^{2}\) 已知时, \(\mu\) 的置信度为 \(1 - \alpha\) 的置信区间为\[\left\lbrack  {\bar{X} - \frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha }{2}},\;\bar{X} + \frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha }{2}}}\right\rbrack\](2)当 \({\sigma }^{2}\) 未知时, \(\mu\) 的置信度为 \(1 - \alpha\) 的置信区间为\[\left\lbrack  {\bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {n - 1}\right) ,\;\bar{X} + \frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {n - 1}\right) }\right\rbrack\](3)当 \(\mu\) 已知时, \({\sigma }^{2}\) 的置信度为 \(1 - \alpha\) 的置信区间为\[\left\lbrack  {\frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \mu \right) }^{2}}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^{2}\left( n\right) },\;\frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \mu \right) }^{2}}{{\chi }_{1 - \frac{\alpha }{2}}^{2}\left( n\right) }}\right\rbrack\](4)当 \(\mu\) 未知时, \({\sigma }^{2}\) 的置信度为 \(1 - \alpha\) 的置信区间为\[\left\lbrack  {\frac{\left( {n - 1}\right) {S}^{2}}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^{2}\left( {n - 1}\right) },\;\frac{\left( {n - 1}\right) {S}^{2}}{{\chi }_{1 - \frac{\alpha }{2}}^{2}\left( {n - 1}\right) }}\right\rbrack\]3. 双正态总体的区间估计
设 \(X \sim  N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2}}\right) ,{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{{n}_{1}}\) 为其样本, \(Y \sim  N\left( {{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2}}\right) ,{Y}_{1},{Y}_{2},\cdots ,{Y}_{{n}_{2}}\) 为其样本,且 \(X\) 与 \(Y\) 独立
(1)\({\sigma }_{1}^{2},{\sigma }_{2}^{2}\) 都为已知: \({\mu }_{1} - {\mu }_{2}\) 的 \(1 - \alpha\) 置信区间为\[\left\lbrack  {\bar{X} - \bar{Y} - {u}_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{\sigma }_{2}^{2}}{{n}_{2}}},\;\bar{X} - \bar{Y} + {u}_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{\sigma }_{2}^{2}}{{n}_{2}}}}\;\right\rbrack\](2)\({\sigma }_{1}^{2},{\sigma }_{2}^{2}\) 都未知: \({\mu }_{1} - {\mu }_{2}\) 的1- \(\alpha\) 置信区间为\[\left\lbrack  {\bar{X} - \bar{Y} - {t}_{\frac{\alpha }{2}}\left( \gamma \right) \sqrt{\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}},\;\bar{X} - \bar{Y} + {t}_{\frac{\alpha }{2}}\left( \gamma \right) \sqrt{\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}}}\right\rbrack\]其中 \(\displaystyle \gamma  = \left\lbrack  \frac{{\left( \frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}\right) }^{2}}{\frac{{\left( \frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}}\right) }^{2}}{{n}_{1} - 1} + \frac{{\left( \frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}\right) }^{2}}{{n}_{2} - 1}}\right\rbrack\) (取整)
特殊情形:
①\({\sigma }_{1}^{2},{\sigma }_{2}^{2}\) 未知,但 \({n}_{1},{n}_{2}\) 较大时: \({\mu }_{1} - {\mu }_{2}\) 的 \(1 - \alpha\) 置信区间为\[\left\lbrack  {\bar{X} - \bar{Y} - {u}_{\frac{a}{2}}\sqrt{\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}},\;\bar{X} - \bar{Y} + {u}_{\frac{a}{2}}\sqrt{\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}}}\right\rbrack\]②\({\sigma }_{1}^{2} = {\sigma }_{2}^{2} = {\sigma }^{2}\) 未知: \({\mu }_{1} - {\mu }_{2}\) 的 \(1 - \alpha\) 置信区间为\[\left\lbrack  {\bar{X} - \bar{Y} - {t}_{\frac{\alpha }{2}}{S}_{w}\sqrt{\frac{1}{{n}_{1}} + \frac{1}{{n}_{2}}},\;\bar{X} - \bar{Y} + {t}_{\frac{\alpha }{2}}{S}_{w}\sqrt{\frac{1}{{n}_{1}} + \frac{1}{{n}_{2}}}}\right\rbrack\]其中 \(\displaystyle {S}_{w}^{2} = \frac{\left( {{n}_{1} - 1}\right) {S}_{1}^{2} + \left( {{n}_{2} - 1}\right) {S}_{2}^{2}}{{n}_{1} + {n}_{2} - 2},t\) 分布为 \(t\left( {{n}_{1} + {n}_{2} - 2}\right)\) (3) \({\mu }_{1},{\mu }_{2}\) 已知: \(\displaystyle \frac{{\sigma }_{1}^{2}}{{\sigma }_{2}^{2}}\) 的 \(1 - \alpha\) 置信区间为\[\left\lbrack  {\frac{\frac{1}{{n}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n}_{1}}{\left( {X}_{i} - {\mu }_{1}\right) }^{2}}{\frac{1}{{n}_{2}}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{n}_{2}}{\left( {Y}_{j} - {\mu }_{2}\right) }^{2}}{F}_{1 - \frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{2},{n}_{1}}\right) ,\;\frac{\frac{1}{{n}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n}_{1}}{\left( {X}_{i} - {\mu }_{1}\right) }^{2}}{\frac{1}{{n}_{2}}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{n}_{2}}{\left( {Y}_{j} - {\mu }_{2}\right) }^{2}}{F}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{2},{n}_{1}}\right) }\right\rbrack\](4)\(\displaystyle {\mu }_{1},{\mu }_{2}\) 未知: \(\displaystyle \frac{{\sigma }_{1}^{2}}{{\sigma }_{2}^{2}}\) 的 \(1 - \alpha\) 置信区间为\[\left\lbrack  {\frac{{S}_{1}^{2}}{{S}_{2}^{2}}{F}_{1 - \frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{2} - 1,{n}_{1} - 1}\right) ,\;\frac{{S}_{1}^{2}}{{S}_{2}^{2}}{F}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{2} - 1,{n}_{1} - 1}\right) }\right\rbrack\]4. (0 - 1)分布参数的区间估计
设总体 \(X \sim  \left( {0 - 1}\right)\) 分布, \(P\{ X = 1\}  = p,P\{ X = 0\}  = 1 - p,{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}\left( {n \geq  {50}}\right)\) 为其样本, 则 \(p\) 的 \(1 - \alpha\) 置信区间为\[\left\lbrack  {\bar{X} - {u}_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\bar{X}\left( {1 - \bar{X}}\right) }{n}},\;\bar{X} + {u}_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\bar{X}\left( {1 - \bar{X}}\right) }{n}}}\right\rbrack\]5. 单侧置信区间
设 \(\theta\) 为总体的未知参数,对于给定值 \(\alpha \left( {0 < \alpha  < 1}\right)\) ,若 \(P\{ \theta  \geq  \underline{\theta }\}  = 1 - \alpha\) ,则称 \(\lbrack \underline{\theta }, + \infty )\) 为 \(\theta\) 的满足置信度 \(1 - \alpha\) 的单侧置信区间, \(\underline{\theta }\) 称为单侧置信下限. 若 \(P\{ \theta  \leq  \bar{\theta }\}  = 1 - \alpha\) ,则称 \(( - \infty ,\bar{\theta }\rbrack\) 为 \(\theta\) 的满足置信度 \(1 - \alpha\) 的单侧置信区间, \(\bar{\theta }\) 称为单侧置信上限
例如,对于正态分布 \(N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right) ,{\sigma }^{2}\) 未知,可得 \(\mu\) 的置信水平为 \(1 - \alpha\) 的单侧置信区间为
①\(\left( {-\infty ,\bar{X} + {t}_{a}\left( {n - 1}\right) \frac{S}{\sqrt{n}}}\right)\) ,单侧置信上限为 \(\displaystyle \bar{\mu } = \bar{X} + {t}_{a}\left( {n - 1}\right) \frac{S}{\sqrt{n}}\)
②\(\left( {\bar{X} - {t}_{\alpha }\left( {n - 1}\right) \frac{S}{\sqrt{n}}, + \infty }\right)\) ,单侧置信下限为 \(\displaystyle \underline{\mu } = \bar{X} - {t}_{\alpha }\left( {n - 1}\right) \frac{S}{\sqrt{n}}\)
也即只需将双侧置信区间的上下限中的 “ \(\frac{\alpha }{2}\) ” 改成 “ \(\alpha\) ”,就得到相应的单侧置信上下限了

第八章 假设检验

1. 假设检验基本概念

1. 假设检验
对总体的分布类型或分布中的某些未知参数作出假设, 然后抽取样本并选择一个合适的检验统计量,利用检验统计量的观察值和预先给定的误差 \(\alpha\) ,对所作假设成立与否作出定性判断, 这种统计推断称为假设检验. 若总体分布已知, 只对分布中未知参数提出假设并作检验, 这种检验称为参数检验
2. 假设检验基本思想的依据是小概率原理
小概率原理是指概率很小的事件在试验中发生的频率也很小, 因此小概率事件在一次试验中不可能发生
当对问题提出待检假设 \({H}_{0}\) ,并要检验它是否可信时,先假定 \({H}_{0}\) 正确. 在这个假定下,经过一次抽样,若小概率事件发生了,就作出拒绝 \({H}_{0}\) 的决定; 否则,若小概率事件未发生,则接受 \({H}_{0}\)
3. 假设检验基本概念
在显著性水平 \(\alpha\) 下,检验假设\[{H}_{0} : \mu  = {\mu }_{0},\;{H}_{1} : \mu  \neq  {\mu }_{0}\]\({H}_{0}\) 称为原假设或零假设. \({H}_{1}\) 称为备择假设
当检验统计量取某个区域 \(C\) 中的值时,我们拒绝原假设 \({H}_{0}\) ,则称区域 \(C\) 为拒绝域 (或否定域)
4. 假设检验过程
(1)提出原假设和备择假设
(2)选取检验统计量
(3)确定拒绝原假设的域
(4)计算检验统计量的观察值并作出判断
5. 两类错误
人们作出判断的依据是一个样本,样本是随机的,因而人们进行假设检验判断 \({H}_{0}\) 可信与否时, 不免发生误判而犯两类错误
第一类错误: \({H}_{0}\) 为真,而检验结果将其否定,这称为"弃真"错误
第二类错误: \({H}_{0}\) 不真,而检验结果将其接受,这称为"取伪"错误
分别记犯第一、二类错误的概率为 \(\alpha ,\beta\) ,即 \(\alpha  = P\left\{  \right.\) 拒绝 \(\left. {{H}_{0} \mid  {H}_{0}\text{ 为真 }}\right\}  ,\beta  = P\left\{  \right.\) 接受 \({H}_{0} \mid  {H}_{0}\) 不真}. 当样本容量 \(n\) 固定时, \(\alpha\) 越小, \(\beta\) 就越大. 一般采取的原则是: 固定 \(\alpha\) ,通过增加样本容量 \(n\) 降低 \(\beta\)
6. 假设检验与区间估计的联系
假设检验与区间估计是从不同角度来对同一问题的回答, 其解决问题的途径相通
下面以正态总体 \(N\left( {\mu ,{\sigma }_{0}^{2}}\right)\) ,其中 \({\sigma }_{0}^{2}\) 已知,关于 \(\mu\) 的假设检验和区间估计为例加以说明:
假设 \({H}_{0} : \mu  = {\mu }_{0}\) ,当 \({H}_{0}\) 为真时,则 \(\displaystyle U = \frac{\bar{X} - {\mu }_{0}}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}} \sim  N\left( {0,1}\right)\) ,对于给定的显著性水平 \(\displaystyle \alpha ,P\{ \left| U\right|\)  \(\displaystyle \left. { \leq  {u}_{\frac{\alpha }{2}}}\right\}   = 1 - \alpha\) ,那么 \({H}_{0}\) 的接受域为 \(\displaystyle \left( {\bar{X} \pm  {u}_{\frac{\alpha }{2}}\frac{{\sigma }_{0}}{\sqrt{n}}}\right)\) ,即认为以 \(1 - \alpha\) 的概率接受 \({H}_{0}\) ,事实上这个接受域也是 \(\mu\) 的置信度为 \(1 - \alpha\) 的置信区间. 这充分说明两者解决问题的途径相同,假设检验判断的是结论是否成立, 而参数估计解决的是范围问题

2. 正态总体参数的假设检验

1. 一个正态总体的假设检验
设 \(X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right) ,\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 为其样本
(1) \({\sigma }^{2}\) 已知,检验假设 \({H}_{0} : \mu  = {\mu }_{0};{H}_{1} : \mu  \neq  {\mu }_{0}\)
检验步骤为:
①提出待检假设 \({H}_{0} : \mu  = {\mu }_{0}\left( {\mu }_{0}\right.\) 已知)
②选取样本 \(\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}}\right)\) 的统计量 \(\displaystyle U = \frac{\bar{X} - {\mu }_{0}}{\frac{{\sigma }_{0}}{\sqrt{n}}}\left( {{\sigma }_{0}\text{ 已知 }}\right)\) ,在 \({H}_{0}\) 成立时, \(U \sim  N\left( {0,1}\right)\)
③对给定的显著性水平 \(\alpha\) ,查表确定临界值 \(\displaystyle {u}_{\frac{\alpha }{2}}\) ,使得 \(\displaystyle P\left\{  {\left| U\right|  > {u}_{\frac{\alpha }{2}}}\right\}   = \alpha\) ,计算检验统计量 \(U\) 的观察值并与临界值 \(\displaystyle {u}_{\frac{\alpha }{2}}\) 比较
④作出判断:若 \(\displaystyle \left| U\right|  > {u}_{\frac{\alpha }{2}}\) ,则拒绝 \({H}_{0}\) ;若 \(\displaystyle \left| U\right|  < {u}_{\frac{\alpha }{2}}\) ,则接受 \({H}_{0}\)
(2)\(\sigma ^2\)未知,检验假设 \({H}_{0} : \mu  = {\mu }_{0};{H}_{1} : \mu  \neq  {\mu }_{0}\)
选取统计量 \(\displaystyle T = \frac{\bar{X} - {\mu }_{0}}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\) ,其中 \(\displaystyle {S}^{2} = \frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - \bar{X}\right) }^{2}\) ,当 \({H}_{0}\) 为真时, \(T \sim  t\left( {n - 1}\right)\)
拒绝域为 \(\displaystyle \left| T\right|  > {t}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {n - 1}\right)\)
(3)\(\mu\) 已知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }^{2} = {\sigma }_{0}^{2};{H}_{1} : {\sigma }^{2} \neq  {\sigma }_{0}^{2}\)
选取统计量 \(\displaystyle {\chi }^{2} = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {X}_{i} - {\mu }_{0}\right) }^{2}}{{\sigma }_{0}^{2}} \sim  {\chi }^{2}\left( n\right)\)
拒绝域为 \(\displaystyle {\chi }^{2} > {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^{2}\left( n\right)\) 或 \(\displaystyle {\chi }^{2} < {\chi }_{1 - \frac{\alpha }{2}}^{2}\left( n\right)\)
(4) \(\mu\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }^{2} = {\sigma }_{0}^{2};{H}_{1} : {\sigma }^{2} \neq  {\sigma }_{0}^{2}\)
选取统计量 \(\displaystyle {\chi }^{2} = \frac{\left( {n - 1}\right) {S}^{2}}{{\sigma }_{0}^{2}}\) . 当 \({H}_{0}\) 为真时, \({\chi }^{2} \sim  {\chi }^{2}\left( {n - 1}\right)\)
拒绝域为 \(\displaystyle {\chi }^{2} > {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^{2}\left( {n - 1}\right)\) 或 \(\displaystyle {\chi }^{2} < {\chi }_{1 - \frac{\alpha }{2}}^{2}\left( {n - 1}\right)\)
2. 两个正态总体的假设检验
设 \(X \sim  N\left( {{\mu }_{1},{\sigma }_{1}^{2}}\right) ,Y \sim  N\left( {{\mu }_{2},{\sigma }_{2}^{2}}\right) ,\left( {{X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{{n}_{1}}}\right)\) 和 \(\left( {{Y}_{1},{Y}_{2},\cdots ,{Y}_{{n}_{2}}}\right)\) 分别是来自总体 \(X\) 和 \(Y\) 的样本, \(\bar{X}\text{ 、 }{S}_{1}^{2}\) 和 \(\bar{Y}\text{ 、 }{S}_{2}^{2}\) 是相应的样本的均值和方差
(1) \({\sigma }_{1}^{2},{\sigma }_{2}^{2}\) 已知,检验假设 \({H}_{0} : {\mu }_{1} = {\mu }_{2};{H}_{1} : {\mu }_{1} \neq  {\mu }_{2}\)
选取统计量 \(\displaystyle U = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{\sigma }_{2}^{2}}{{n}_{2}}}} \sim  N\left( {0,1}\right)\)
拒绝域为 \(\displaystyle \left| U\right|  > {u}_{\frac{\alpha }{2}}\)
(2)\({\sigma }_{1}^{2},{\sigma }_{2}^{2}\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : {\mu }_{1} = {\mu }_{2};{H}_{1} : {\mu }_{1} \neq  {\mu }_{2}\) . 常见的三种特殊情形:
①当 \({n}_{1},{n}_{2}\) 较大时:
选取统计量 \(\displaystyle U = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{{S}_{1}^{2}}{{n}_{1}} + \frac{{S}_{2}^{2}}{{n}_{2}}}}\xrightarrow[]{\text{ 近似 }}N\left( {0,1}\right)\)
拒绝域为 \(\displaystyle \left| U\right|  > {u}_{\frac{\alpha }{2}}\)
②\({\sigma }_{1}^{2} = {\sigma }_{2}^{2}\) 时:
选取检验统计量 \(\displaystyle T = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1} - 1}\right) {S}_{1}^{2} + \left( {{n}_{2} - 1}\right) {S}_{2}^{2}}{{n}_{1} + {n}_{2} - 2}}\sqrt{\frac{1}{{n}_{1}} + \frac{1}{{n}_{2}}}}\) ,当 \({H}_{0}\) 为真时, \(T \sim  t\left( {{n}_{1} + {n}_{2} - 2}\right)\)
显著性水平为 \(\alpha\) 的拒绝域为 \(\displaystyle \left| T\right|  > {t}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{1} + {n}_{2} - 2}\right)\)
③\({\sigma }_{1}^{2} \neq  {\sigma }_{2}^{2}\) ,但 \({n}_{1} = {n}_{2}\) (配对问题):
令 \({D}_{i} = {X}_{i} - {Y}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) ,则 \({D}_{i} \sim  N\left( {{\mu }_{D},{\sigma }_{D}^{2}}\right)\) ,其中 \({\mu }_{D} = {\mu }_{1} - {\mu }_{2},{\sigma }_{D}^{2} = {\sigma }_{1}^{2} + {\sigma }_{2}^{2}\) (未知)
此时检验假设等价于 \({H}_{0} : {\mu }_{D} = 0;{H}_{1} : {\mu }_{D} \neq  0\)
选取统计量 \(\displaystyle T = \frac{\bar{D} - {\mu }_{D}}{\frac{{S}_{D}}{\sqrt{n}}} \sim  t\left( {n - 1}\right)\)
拒绝域为 \(\displaystyle \left| T\right|  > {t}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {n - 1}\right)\)
(3)\({\mu }_{1},{\mu }_{2}\) 已知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }_{1}^{2} = {\sigma }_{2}^{2};{H}_{1} : {\sigma }_{1}^{2} \neq  {\sigma }_{2}^{2}\)
选取统计量 \(\displaystyle F = \frac{\frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n}_{1}}{\left( {X}_{i} - {\mu }_{1}\right) }^{2}}{{n}_{1}}}{\frac{\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{n}_{2}}{\left( {Y}_{j} - {\mu }_{2}\right) }^{2}}{{n}_{2}}} \sim  F\left( {{n}_{1},{n}_{2}}\right)\)
拒绝域为 \(\displaystyle F > {F}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{1},{n}_{2}}\right)\) 或 \(\displaystyle F < {F}_{1 - \frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{1},{n}_{2}}\right)\)
(4)\({\mu }_{1},{\mu }_{2}\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }_{1}^{2} = {\sigma }_{2}^{2};{H}_{1} : {\sigma }_{1}^{2} \neq  {\sigma }_{2}^{2}\)
选取检验统计量 \(\displaystyle F = \frac{{S}_{1}^{2}}{{S}_{2}^{2}}\) ,当 \({H}_{0}\) 为真时 \(F \sim  F\left( {{n}_{1} - 1,{n}_{2} - 1}\right)\)
显著性水平为 \(\alpha\) 的拒绝域为 \(\displaystyle F > {F}_{\frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{1} - 1,{n}_{2} - 1}\right)\) 或 \(\displaystyle F < {F}_{1 - \frac{\alpha }{2}}\left( {{n}_{1} - 1,{n}_{2} - 1}\right)\)
3. 单侧检验
在假设检验中, 如果只关心总体参数是否偏大或偏小, 此时可将拒绝域确定在某一侧, 这种检验称为单侧检验. 单侧检验可由双侧检验修改转化而得到. 常用基本类型举例:
(1)\({\sigma }^{2}\) 已知,检验假设 \({H}_{0} : \mu  \leq  {\mu }_{0};{H}_{1} : \mu  > {\mu }_{0}\) (有时也写成 \({H}_{0} : \mu  = {\mu }_{0};{H}_{1} : \mu  > {\mu }_{0}\) )
选取 \(\displaystyle U = \frac{\bar{X} - {\mu }_{0}}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\) ,拒绝域为 \(U > {u}_{a}\)
(2) \({\sigma }^{2}\) 已知,检验假设 \({H}_{0} : \mu  \geq  {\mu }_{0};{H}_{1} : \mu  < {\mu }_{0}\)
选取 \(\displaystyle U = \frac{\bar{X} - {\mu }_{0}}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\) ,拒绝域为 \(U <  - {u}_{a}\)
(3)\({\sigma }^{2}\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : \mu  \leq  {\mu }_{0};{H}_{1} : \mu  > {\mu }_{0}\)
选取 \(\displaystyle T = \frac{\bar{X} - {\mu }_{0}}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\) ,拒绝域为 \(T > {t}_{a}\left( {n - 1}\right)\)
(4)\({\sigma }^{2}\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : \mu  \geq  {\mu }_{0};{H}_{1} : \mu  < {\mu }_{0}\)
选取 \(\displaystyle T = \frac{\bar{X} - {\mu }_{0}}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\) ,拒绝域为 \(T <  - {t}_{\alpha }\left( {n - 1}\right)\)
(5)\(\mu\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }^{2} \leq  {\sigma }_{0}^{2};{H}_{1} : {\sigma }^{2} > {\sigma }_{0}^{2}\)
选取 \(\displaystyle {\chi }^{2} = \frac{\left( {n - 1}\right) {S}^{2}}{{\sigma }_{0}^{2}}\) ,拒绝域为 \({\chi }^{2} > {\chi }_{\alpha }^{2}\left( {n - 1}\right)\)
(6)\(\mu\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }^{2} \geq  {\sigma }_{0}^{2};{H}_{1} : {\sigma }^{2} < {\sigma }_{0}^{2}\)
选取 \(\displaystyle {\chi }^{2} = \frac{\left( {n - 1}\right) {S}^{2}}{{\sigma }_{0}^{2}}\) ,拒绝域为 \({\chi }^{2} < {\chi }_{1 - \alpha }^{2}\left( {n - 1}\right)\)
(7)\({\mu }_{1},{\mu }_{2}\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }_{1}^{2} \leq  {\sigma }_{2}^{2};{H}_{1} : {\sigma }_{1}^{2} > {\sigma }_{2}^{2}\)
选取 \(\displaystyle F = \frac{{S}_{1}^{2}}{{S}_{2}^{2}}\) ,拒绝域为 \(F > {F}_{\alpha }\left( {{n}_{1} - 1,{n}_{2} - 1}\right)\)
(8)\({\mu }_{1},{\mu }_{2}\) 未知,检验假设 \({H}_{0} : {\sigma }_{1}^{2} \geq  {\sigma }_{2}^{2};{H}_{1} : {\sigma }_{1}^{2} < {\sigma }_{2}^{2}\)
选取 \(\displaystyle F = \frac{{S}_{1}^{2}}{{S}_{2}^{2}}\) ,拒绝域为 \(F < {F}_{1 - \alpha }\left( {{n}_{1} - 1,{n}_{2} - 1}\right)\)
其他类型可仿照上述类型得到解决

需熟记的重要公式:

x\(\to\)0时的等价无穷小:

\(\large\sin x\sim\arcsin x\sim\tan x\sim\arctan x\sim\ln (1+x)\sim e^x-1\sim\ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x\)

\(\large\displaystyle x-\sin x\sim\arcsin x-x\sim\frac{1}{6}x^3\)

\(\large\displaystyle\tan x-x\sim x-\arctan x\sim\frac{1}{3}x^3\)

\(\large\displaystyle 1-\cos x\sim x-\ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2\)

\(\large(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\)

\(\large\displaystyle\tan x-\sin x\sim\frac{1}{2}x^3\)

\(\large\displaystyle\log _a(1+x)\sim\frac{x}{\ln a}\)

常用三角函数恒等式:

\(\large\displaystyle\sin\alpha+\sin\beta=2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\)

\(\large\displaystyle\sin\alpha-\sin\beta=2\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\)

\(\large\displaystyle\cos\alpha+\cos\beta=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\)

\(\large\displaystyle\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\)

\(\large\displaystyle\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\)

\(\large\displaystyle\sin\beta\cos\alpha=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\)

\(\large\displaystyle\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\)

\(\large\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\)

\(\large\displaystyle\sin\alpha =\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}\)

\(\large\displaystyle\cos\alpha =\frac{1-\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}\)

\(\large\displaystyle\tan\alpha =\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}\)

\(\large\displaystyle a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\alpha+\varphi\right),\tan\varphi=\frac{b}{a}\)

重点导数公式:

\(\large\displaystyle\tan^{\prime}x=\sec^2x\qquad\cot^{\prime}x=-\csc^2x\qquad (a^x)^{\prime}=a^x\ln a\,(a>0,a\neq 1)\)

\(\large\displaystyle\sec^{\prime} x=\sec x\vdot\tan x\qquad\csc^{\prime} x=-\csc x\vdot\cot x\qquad\log^{\prime}_{a}x=\frac{1}{x\ln a}\left(a>0,a\neq1\right)\)

\(\large\displaystyle\arcsin^{\prime}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\qquad\arccos^{\prime}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

\(\large\displaystyle\arctan^{\prime}x=\frac{1}{1+x^{2}}\qquad\mathrm{arccot}^{\prime}x=-\frac{1}{1+x^{2}}\)

泰勒公式及常用泰勒展开:

\(\large\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}\)

\(\large\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac1{2!}x^2+\cdots\, ,x\in(-\infty,+\infty)\)

\(\large\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)\)

\(\large\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)\)

\(\large\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3+\cdots,x\in(-1,1]\)

\(\large\displaystyle\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots,x\in(-1,1)\)

\(\large\displaystyle (1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots,x\in(-1,1)\)

\(\large\displaystyle\arctan x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac13x^3+\frac15x^5+\cdots+x\in[-1,1]\)

\(\large\displaystyle\arcsin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!x^{2n+1}}{4^n(n!)^2(2n+1)}=x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+\frac5{112}x^7+\frac{35}{1152}x^9+\cdots+,x\in(-1,1)\)

重点不定积分公式:

\(\large\displaystyle\int\sec^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C\qquad\int\csc^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C\)

\(\large\displaystyle\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C\qquad\int\cot x\mathrm{d}x=\ln\left|\sin x\right|+C\)

\(\large\displaystyle\int\sec x\mathrm{d}x=\ln\left|\sec x+\tan x\right|+C\qquad\int\csc x\mathrm{d}x=\ln\left|\csc x-\cot x\right|+C\)

\(\large\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C\qquad\int\frac{\mathrm{d}x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\)

\(\large\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\qquad\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right|+C\)

\(\large\displaystyle\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}arc\sin\frac{x}{a}+C\)

\(\large\displaystyle\int\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\pm\frac{a^{2}}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right|+C\)

\(\large\displaystyle\int\mathrm{sh}x\mathrm{d}x=\mathrm{ch}x+C\qquad\int\mathrm{ch}x\mathrm{d}x=\mathrm{sh}x+C\)

重点定积分公式:

设\(\large f\left( x\right)\) 为连续函数
(1)\(\large \displaystyle{\int }_{-a}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{a}\left\lbrack  {f\left( x\right)  + f\left( {-x}\right) }\right\rbrack  \mathrm{d}x\)
(2)\(\large \displaystyle{\int }_{-a}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left\{  \begin{array}{ll} 2{\displaystyle\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x, & f\left( x\right) \text{ 是偶函数 } \\  0, & f\left( x\right) \text{ 是奇函数 } \end{array}\right.\)
(3)\(\large \displaystyle{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f\left( {\sin x}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f\left( {\cos x}\right) \mathrm{d}x\)
(4)\(\large \displaystyle{\int }_{0}^{\pi }{xf}\left( {\sin x}\right) \mathrm{d}x = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\pi }f\left( {\sin x}\right) \mathrm{d}x\)
(5)\(\large \displaystyle f\left( {x + L}\right)  = f\left( x\right) ,\left( {L > 0}\right)\) ,则 \(\large \displaystyle{\int }_{0}^{L}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{a + L}f\left( x\right) \mathrm{d}x\)
(6)\(\large \displaystyle{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \sin x\right) }^{n}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \cos x\right) }^{n}\mathrm{\;d}x = \left\{  \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\left( {n - 1}\right) !!}{n!!} \vdot  \frac{\pi }{2}, & \text{ 当 }n\text{ 为偶数时 } \\  \displaystyle\frac{\left( {n - 1}\right) !!}{n!!}, & \text{ 当 }n\text{ 为奇数时 } \end{array}\right.\)
\(\large\text{此公式在定积分计算中十分有用,应记住. 当}n\text{为偶数时, }n!\,!\text{表示所有偶数 (不大于 }n\text{)连乘积.}\)
\(\large n\text{为奇数时,}n!\,!\text{表示所有奇数(不大于}n\text{)的连乘积.}\)

八个枢轴变量:

\(\large\text{对于单正态总体}X\sim N(0,1)\text{有:}\)

\(\large \displaystyle \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\quad\left(\overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\right)\)

\(\large \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)\)

\(\large \displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\left[\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\right]\)

\(\large \displaystyle \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)

\(\large\text{对于双正态总体}X{\sim}N(\mu_1,\sigma_1^2),Y{\sim}N(\mu_2,\sigma_2^2)\text{有:}\)

\(\large \displaystyle \frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)\)

\(\large \displaystyle \frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{S_\omega\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)\)
\(\large \displaystyle \text{其中}S_{\omega}=\sqrt{\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}\)

\(\large \displaystyle \frac{n_2\sigma_2^2\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\mu_1)^2}{n_1\sigma_1^2\sum_{i=1}^{n_2}(Y_i-\mu_2)^2}\sim F(n_1,n_2)\)

\(\large \displaystyle \frac{\sigma_2^2S_1^2}{\sigma_1^2S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)

本页面内容参考:
[1]吉米多维奇高等数学习题精选精解/张天德,蒋晓云主编.--济南:山东科学技术出版社,2007.9(2022.11 重印)

[2]线性代数习题精选精解/张天德编著.--济南:山东科学技术出版社,2009.11 (2022.11 重印)
[3]概率论与数理统计习题精选精解/张天德主编.--济南:山东科学技术出版社,2010.11 (2022.8 重印)