1. 随机事件及其运算
1. 随机事件的相关概念
(1)随机试验 在概率论中将具备下列三个条件的试验称为随机试验, 简称试验:
\({1}^{ \circ }\) 在相同条件下可重复进行
\({2}^{ \circ }\) 每次试验的结果具有多种可能性
\({3}^{ \circ }\) 在每次试验之前不能准确预言该次试验将出现何种结果,但是所有结果明确可知
(2)样本空间 随机试验的所有可能结果构成的集合,常用 \(\Omega\) 表示
(3)随机事件 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件,常用 \(A,B,C,D\) 表示
(4)基本事件 不能分解为其他事件组合的最简单的随机事件
(5)必然事件 每次试验中一定发生的事件,常用 \(\Omega\) 表示
(6)不可能事件 每次试验中一定不发生的事件,常用 \(\varnothing\) 表示
2. 事件的关系及运算
(1)包含 \(A\) 发生必然导致 \(B\) 发生,则称 \(B\) 包含 \(A\) (或 \(A\) 包含于 \(B\) ),记为 \(B \supset A\) (或 \(A \subset B\) )
(2) 相等 若 \(A \supset B\) 且 \(B \supset A\) ,则称 \(A\) 与 \(B\) 相等,记为 \(A = B\)
(3)事件的和 \(A\) 与 \(B\) 至少有一个发生,称为 \(A\) 与 \(B\) 的和事件,记为 \(A \cup B\)
(4)事件的积 \(A\) 与 \(B\) 同时发生,称为 \(A\) 与 \(B\) 的积事件,记为 \(A \cap B\) (或 \({AB}\) )
(5)事件的差 \(A\) 发生而 \(B\) 不发生,称为 \(A\) 与 \(B\) 的差事件,记为 \(A - B\)
(6)互斥事件 在试验中,若事件 \(A\) 与 \(B\) 不能同时发生,即 \(A \cap B = \varnothing\) ,则称 \(A\text{ 、 }B\) 为互斥事件
(7)对立事件 在每次试验中,“事件 \(A\) 不发生”的事件称为事件 \(A\) 的对立事件. \(A\) 的对立事件. \(A\) 的对立事件常记为 \(\bar{A}\)
3. 事件的运算律
(1)交换律 \(A \cup B = B \cup A,{AB} = {BA}\)
(2)结合律 \(\left( {A \cup B}\right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C}\right) ,\left( {A \cap B}\right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C}\right)\)
(3)分配律 \(\left( {A \cup B}\right) C = \left( {AC}\right) \cup \left( {BC}\right) ,A \cup \left( {BC}\right) = \left( {A \cup B}\right) \left( {A \cup C}\right)\)
(4)摩根律 \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B},\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\)
2. 随机事件的概率
1. 概率的统计定义
在相同的条件下,重复进行 \(n\) 次试验,事件 \(A\) 发生的频率稳定地在某一常数 \(p\) 附近摆动. 且一般说来, \(n\) 越大,摆动幅度越小,则称常数 \(p\) 为事件 \(A\) 的概率,记作 \(P\left( A\right)\)
2. 概率的公理化定义
设 \(\Omega\) 是一样本空间,称满足下列三条公理的集函数 \(P\left( \vdot \right)\) 为定义在 \(\Omega\) 上的概率:
(1)非负性 对任意事件 \(A,P\left( A\right) \geq 0\)
(2)规范性 \(P\left( \Omega \right) = 1\)
(3) 可列可加性 若两两互不相容的事件列 \(\left\{ {A}_{n}\right\}\) 是可列的,则 \(P\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }P\left( {A}_{i}\right)\)
3. 古典概型
具有下列两个特点的试验称为古典概型
(1)每次试验只有有限种可能的试验结果
(2)每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同
对于古典概型,事件 \(A\) 发生的概率为\[P\left( A\right) = \frac{A\text{ 中基本事件数 }}{\Omega \text{ 中基本事件数 }} = \frac{m}{n}\]
4. 几何概型
如果随机试验的样本空间是一个区域 (例如直线上的区间、平面或空间中的区域), 而且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性,那么规定事件 \(A\) 的概率为\[P\left( A\right) = \frac{A\text{ 的测度 (长度、面积、体积) }}{\text{ 样本空间的测度 (长度、面积、体积) }}\]
3. 概率基本运算法则
1. 概率的性质
(1)对任何事件 \(A,0 \leq P\left( A\right) \leq 1\)
(2)\(P\left( \Omega \right) = 1,P\left( \varnothing \right) = 0\)
(3)设 \(A\) 为任一随机事件,则 \(P\left( \bar{A}\right) = 1 - P\left( A\right)\)
(4)设 \(A \subset B\) ,则 \(P\left( {B - A}\right) = P\left( B\right) - P\left( A\right)\)
(5)设事件 \({A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n}\) 两两互斥,则\[P\left( {{A}_{1} + {A}_{2} + \cdots + {A}_{n}}\right) = P\left( {A}_{1}\right) + P\left( {A}_{2}\right) + \cdots + P\left( {A}_{n}\right)\](6)设 \(A,B\) 为任意两个随机事件,则 \(P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) - P\left( {AB}\right)\)
上式还能推广到多个事件的情况. 例如,设 \({A}_{1},{A}_{2},{A}_{3}\) 为任意三个事件,则有\[P\left( {{A}_{1} \cup {A}_{2} \cup {A}_{3}}\right)\]\[= P\left( {A}_{1}\right) + P\left( {A}_{2}\right) + P\left( {A}_{3}\right) - P\left( {{A}_{1}{A}_{2}}\right) - P\left( {{A}_{1}{A}_{3}}\right) - P\left( {{A}_{2}{A}_{3}}\right) + P\left( {{A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}}\right)\]一般,对于任意 \(n\) 个事件 \({A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n}\)\[P\left( {{A}_{1} \cup {A}_{2} \cup \cdots \cup {A}_{n}}\right)\]\[\small = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {A}_{i}\right) - \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq i \leq j \leq n}}P\left( {{A}_{i}{A}_{j}}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq i \leq j \leq k \leq n}}P\left( {{A}_{i}{A}_{j}{A}_{k}}\right) + \cdots + {\left( -1\right) }^{n - 1}P\left( {{A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{n}}\right)\]
2. 条件概率
在事件 \(A\) 已经发生的条件下,事件 \(B\) 发生的概率,称为事件 \(B\) 在给定条件 \(A\) 下的条件概率,记作 \(P\left( {B \mid A}\right)\)\[P\left( {B \mid A}\right) = \frac{P\left( {AB}\right) }{P\left( A\right) },\;P\left( A\right) > 0\]3. 乘法公式
设 \(A,B\) 是任意两个随机事件, \(P\left( A\right) > 0,P\left( B\right) > 0\) ,则\[P\left( {AB}\right) = P\left( {A \mid B}\right) P\left( B\right) = P\left( {B \mid A}\right) P\left( A\right)\]一般地,设 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 是 \(n\) 个随机事件,且 \(P\left( {{A}_{1}\cdots {A}_{n - 1}}\right) > 0\) ,则\[P\left( {{A}_{1}\cdots {A}_{n}}\right) = P\left( {{A}_{n} \mid {A}_{1}\cdots {A}_{n - 1}}\right) \cdots P\left( {{A}_{3} \mid {A}_{1}{A}_{2}}\right) P\left( {{A}_{2} \mid {A}_{1}}\right) P\left( {A}_{1}\right)\]
4. 全概率公式与贝叶斯公式
1. 完备事件组
设 \(\Omega\) 为试验的样本空间, \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 为试验的一组事件,若有
(1)\({B}_{i}{B}_{j} = \varnothing \left( {i \neq j;i,j = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
(2)\(\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{B}_{i} = \Omega\)
则称 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 为 \(\Omega\) 的一个分划或完备事件组
由定义可见,若 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 为 \(\Omega\) 的一个分划,则在一次试验中, \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 必有且仅有一个发生
2. 全概率公式
设事件 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 是样本空间 \(\Omega\) 的一个分划, \(P\left( {B}_{i}\right) > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right) ,A\) 是试验的任一事件, 则有\[P\left( A\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {B}_{i}\right) \left( {A \mid {B}_{i}}\right)\]3. 贝叶斯公式
设事件 \({B}_{1},{B}_{2},\cdots ,{B}_{n}\) 是样本空间 \(\Omega\) 的一个分划, \(P\left( {B}_{i}\right) > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right) ,A\) 为试验的任一事件. 且 \(P\left( A\right) > 0\) ,则有\[P\left( {{B}_{i} \mid A}\right) = \frac{P\left( {B}_{i}\right) P\left( {A \mid {B}_{i}}\right) }{\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}P\left( {B}_{j}\right) P\left( {A \mid {B}_{j}}\right) }\;\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\]
5. 独立性
1. 两事件相互独立
如果事件 \(A\) 发生的可能性不受事件 \(B\) 发生与否的影响,也就是 \(P\left( {A \mid B}\right) = P\left( A\right)\) ,则称事件 \(A\) 对于事件 \(B\) 相互独立. 若 \(A\) 对于 \(B\) 独立,则 \(B\) 对于 \(A\) 也独立,那么就称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 相互独立
基本性质:
(1)\(A\) 与 \(B\) 独立 \(\Leftrightarrow P\left( {AB}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right)\)
(2)若 \(A\) 与 \(B\) 独立,则 \(A\) 与 \(\bar{B}\) 、 \(\bar{A}\) 与 \(B\) 、 \(\bar{A}\) 与 \(\bar{B}\) 中的每一对事件都相互独立
2. \(n\) 个事件相互独立
\(n\left( {n > 2}\right)\) 个事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 中任意一个事件发生的可能性都不受其他一个或多个事件发生与否的影响,则称 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立
基本性质:
(1)如果事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立,则对于任意 \(k\left( {1 < k \leq n}\right)\) 和任意 \(1 \leq {i}_{1} < {i}_{2} < \cdots < {i}_{k} \leq n\) , \(P\left( {{A}_{{i}_{1}}{A}_{{i}_{2}}\cdots {A}_{{i}_{k}}}\right) = P\left( {A}_{{i}_{1}}\right) P\left( {A}_{{i}_{2}}\right) \cdots P\left( {A}_{{i}_{k}}\right)\) 成立
(2)如果事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立,则将 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 中任意多个事件换成它们的逆事件,所得的 \(n\) 个事件仍相互独立
(3)如果事件 \({A}_{1},\cdots ,{A}_{n}\) 相互独立,则 \(P\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}}\right) = 1 - \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}P\left( {\bar{A}}_{i}\right)\)
3. 重复独立试验
在 \(n\) 次试验中,若任意一次试验的诸结果是相互独立的,则称这 \(n\) 次试验为重复独立试验或独立试验序列
(1)伯努利概型: 假定一次试验中只有事件 \(A\) 发生或 \(\bar{A}\) 发生,每次试验的结果与其他各次试验结果无关,这样的 \(n\) 次重复试验,称为 \(n\) 重伯努利试验或伯努利概型
(2)二项概率公式: 设一次试验中事件 \(A\) 发生的概率为 \(p\left( {0 < p < 1}\right)\) ,则在 \(n\) 重伯努利试验中,事件 \(A\) 恰好发生 \(k\) 次的概率为 \({p}_{k} = {C}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k},k = 0,1,\cdots ,n\) . 其中 \(q = 1 - p\)