1. 齐次线性方程组
1. 线性方程组的表示形式
含有 \(n\) 个未知数, \(m\) 个一次方程的线性方程组一般有如下几种表示形式:
(1)一般形式:\[\left\{ \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = {b}_{1}\\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = {b}_{2}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{m1}{x}_{1} + {a}_{m2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{mn}{x}_{n} = {b}_{m}\end{array}\right.\qquad ①\]如果 \({b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{m}\) 不全为零,则称为非齐次线性方程组. 矩阵\[\boldsymbol{A} = \left\lbrack \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix}\right\rbrack\]和\[\overline{\boldsymbol{A}} = \left\lbrack \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} & {b}_{1} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} & {b}_{2} \\ \cdots & \cdots & & \cdots & \cdots \\ {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} & {b}_{m} \end{matrix}\right\rbrack\]分别称为非齐次线性方程组①的系数矩阵和增广矩阵.
如果线性方程组中的 \({b}_{1} = {b}_{2} = \cdots = {b}_{m} = 0\) ,即\[\left\{ \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = 0 \\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = 0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{m1}{x}_{1} + {a}_{m2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{mn}{x}_{n} = 0 \end{array}\right.\qquad ②\]则称为齐次线性方程组, 并称②为①的导出组
(2)矩阵形式:非齐次线性方程组的矩阵形式:\[\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\]其中\[\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T},\;\boldsymbol{b} = {\left( {b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{m}\right) }^{T}\]类似地, 齐次线性方程组的矩阵形式:\[\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\](3)向量组形式:若系数矩阵按列分块为 \(\boldsymbol{A} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}}\right)\) ,则非齐次线性方程组可写为:\[{x}_{1}{\boldsymbol{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\boldsymbol{\alpha }}_{2} + \cdots + {x}_{n}{\boldsymbol{\alpha }}_{n} = \boldsymbol{b}\]类似地, 齐次线性方程组可写为:\[{x}_{1}{\boldsymbol{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\boldsymbol{\alpha }}_{2} + \cdots + {x}_{n}{\boldsymbol{\alpha }}_{n} = \boldsymbol{0}\]
2. 齐次线性方程组解的性质和判定
(1)如果 \({\xi }_{1},{\xi }_{2}\) 是齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的解, \(k\) 为任意数,那么 \({\xi }_{1} + {\xi }_{2},k{\xi }_{1}\) 都是该齐次线性方程组的解. 因此 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的解向量的线性组合仍是它的解向量
(2)设齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 含有 \(n\) 个未知数和 \(m\) 个一次方程,即系数矩阵 \(A\) 为 \(m \times n\) 阶矩阵,则 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 有非零解的充分必要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right) < n\)
②A 的列向量组线性相关
③\(\boldsymbol{{AB}} = \boldsymbol{0}\) ,且 \(\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{0}\)
④ 当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right| = 0\)
亦即: \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 只有零解的充分必要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right) = n\)
②A 的列向量组线性无关
③ 当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right| \neq 0\)
3. 齐次线性方程组的基础解系
(1)设 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{s}\) 是齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的解向量,如果
①\({\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{s}\) 线性无关
②方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的任意一个解向量都可由 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{s}\) 线性表示, 则称 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{s}\) 是齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的一个基础解系
(2)设 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 含有 \(n\) 个未知数,则基础解系所含向量的个数为: \(n - r\left( \boldsymbol{A}\right)\) ,即自由未知量的个数
(3) 若 \({\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{s}\) 为齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的一个基础解系,则 \({Ax} = 0\) 的任意一个解向量都可由它们线性表示:\[{k}_{1}{\xi }_{1} + {k}_{2}{\xi }_{2} + \cdots + {k}_{s}{\xi }_{s}\]称为齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的通解 (一般解或全部解),其中 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{s}\) 为任意常数
4. 齐次线性方程组的解空间
齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的解向量的全体构成的向量空间,称为齐次线性方程组 \({Ax} = 0\) 的解空间. 设 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 含有 \(n\) 个未知数,则解空间的维数为: \(n - r\left( \boldsymbol{A}\right)\)
注意: 如无特别说明,我们总假设齐次线性方程组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 含有 \(n\) 个未知数和 \(m\) 个一次方程, 即系数矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(m \times n\) 阶矩阵
2. 非齐次线性方程组
1. 非齐次线性方程组解的性质和判定
设 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 是含有 \(n\) 个未知数、 \(m\) 个方程的非齐次线性方程组
(1)设 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2}\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的两个解,则 \({\boldsymbol{\eta }}_{1} - {\boldsymbol{\eta }}_{2}\) 是其导出组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的解
(2)设 \(\eta\) 是 \({Ax} = b\) 的解, \(\xi\) 是其导出组 \({Ax} = 0\) 的解,则 \(\eta + \xi\) 是 \({Ax} = b\) 的解
(3)设 \(\boldsymbol{A} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}}\right) ,\overline{\boldsymbol{A}} = \left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n},\boldsymbol{b}}\right)\) 分别是 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 的系数矩阵和增广矩阵,则 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 有解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right) = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)\) ,即系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同
②\(b\) 可由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 线性表示
③向量组 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 与 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n},\boldsymbol{b}\) 等价
④\(r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2}\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}}\right) = r\left( {{\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n},\boldsymbol{b}}\right)\)
(4)\(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 无解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right) \neq r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)\) ,即 \(r\left( \boldsymbol{A}\right) + 1 = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right)\)
②\(b\) 不能由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 线性表示
(5)\(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 由唯一解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right) = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right) = n\)
②\(b\) 由 \({\boldsymbol{\alpha }}_{1},{\boldsymbol{\alpha }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\alpha }}_{n}\) 唯一线性表示
③当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right| \neq 0\)
(6)\(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 有无穷多解的充要条件是:
①\(r\left( \boldsymbol{A}\right) = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right) < n\)
②\(b\) 可由 \({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}\) 线性表示,但表示法不唯一
③当 \(m = n\) 时, \(\left| \boldsymbol{A}\right| = 0\)
2. 非齐次线性方程组的通解
对非齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) ,若 \(r\left( \boldsymbol{A}\right) = r\left( \overline{\boldsymbol{A}}\right) = r\) ,且 \(\boldsymbol{\eta }\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的一个解, \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n - r}\) 是其导出组 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{0}\) 的一个基础解系,则 \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 的通解 (全部解) 为\[\eta + {k}_{1}{\xi }_{1} + {k}_{2}{\xi }_{2} + \cdots + {k}_{n - r}{\xi }_{n - r}\]其中 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n - r}\) 为任意常数
3. 线性方程组同解、公共解问题
1. 线性方程组的同解性
线性方程组有下列三种变换, 称为线性方程组的初等变换
(1)换法变换 交换某两个方程的位置
(2)倍法变换 某个方程的两端同乘以一个非零常数
(3)消法变换 把一个方程的若干倍加到另一个方程上去
在线性方程组的三种初等变换之下, 线性方程组的同解性不变
2. 常见的同解方程组形式
(1)设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(m \times n\) 矩阵, \(\boldsymbol{P}\) 为 \(m\) 阶可逆阵,则 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 与 \(\boldsymbol{{PAx}} = \boldsymbol{0}\) 为同解方程组, \(\boldsymbol{{Ax}} = \boldsymbol{b}\) 与 \(\boldsymbol{{PAx}}\) \(= \boldsymbol{{Pb}}\) 为同解方程组
(2)设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实矩阵, \({\boldsymbol{A}}^{T}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的转置,则 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 与 \({\boldsymbol{A}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 为同解方程组
(3)设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵,则 \(\boldsymbol{A}x = \boldsymbol{0}\) 与 \({\boldsymbol{A}}^{2}x = \boldsymbol{0}\) 为同解方程组
3. 有关两个方程组的公共解
(1)由通解表达式相等求公共解 此类题目一般所给条件为:方程组(I)的基础解系及方程组 (II) 的一般表示式. 这时一般只须把方程组 (I) 的通解代入方程组 (II) 即可求得两个方程组的公共解
(2)由两个方程组合并为一个新的方程组求公共解 此类题目一般所给条件为方程组 (I)、(II) 的一般表示式. 这时只须把两个方程组合并为方程组 (III), 则方程组 (III) 的通解即为方程组 (I)、(II) 的公共解