1. 行列式的定义
1. \(n\) 级排列
由 \(1,2,\cdots ,n\) 组成的一个有序数组称为一个 \(n\) 级排列,通常记为 \({i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}\)
逆序 在一个排列中, 如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数, 则它们称为一个逆序
逆序数 一个排列中的逆序总数,通常记为 \(\tau \left( {{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}\right)\) .
奇 (偶) 排列 逆序数为奇数 (偶数) 的排列
对换 把一个排列中某两个数的位置互换, 而其余的数不动, 就得到另一个排列, 这样的一个变换称为一个对换
2. \(n\) 级排列的性质
(1)任意一个排列经过一个对换后, 奇偶性改变
(2)\(n\) 级排列共有 \(n\) ! 种,奇偶排列各占一半
3. \(n\) 阶行列式
\(\displaystyle\left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\) 是所有取自不同行不同列的 \(n\) 个元素的乘积 \({a}_{1{j}_{1}}{a}_{2{j}_{2}}\cdots {a}_{n{j}_{n}}\) 的代数和,这里 \({j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}\) 是一个 \(n\) 级排列. 当 \({j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}\) 是偶排列时,该项前面带正号; 当 \({j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}\) 是奇排列时,该项前面带负号,即\[\left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}\right) }{a}_{1{j}_{1}}{a}_{2{j}_{2}}\cdots {a}_{n{j}_{n}}\]其中 \(\mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}}\) 表示对所有 \(n\) 级排列求和
\(n\) 阶行列式有时简记为 \({\left| {a}_{ij}\right| }_{n}\) ,而且有如下另外两种类似的定义:\[{\left| {a}_{ij}\right| }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {{i}_{1}\cdots {i}_{n}}\right) }{a}_{{i}_{1}1}{a}_{{i}_{2}2}\cdots {a}_{{i}_{n}n}\]和 \(\displaystyle {\left| {a}_{ij}\right| }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{\substack{{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}} \\ {\operatorname{轴}}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}} }}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}\right) + \tau \left( {{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}\right) }{a}_{{i}_{1}{j}_{1}}{a}_{{i}_{2}{j}_{2}}\cdots {a}_{{i}_{n}{j}_{n}}\)
由 \(n\) 级排列的性质可知, \(n\) 阶行列式共有 \(n\) ! 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项 (不算元素本身所带的负号) 各占一半
4. 常见行列式
(1)二阶行列式: \(\displaystyle\left| \begin{array}{ll} {a}_{11} & {a}_{12} \\ {a}_{21} & {a}_{22} \end{array}\right| = {a}_{11}{a}_{22} - {a}_{12}{a}_{21}\)
(2)三阶行列式:\[\small\left| \begin{array}{lll} {a}_{11} & {a}_{12} & {a}_{13} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & {a}_{23} \\ {a}_{31} & {a}_{32} & {a}_{33} \end{array}\right| = {a}_{11}{a}_{22}{a}_{33} + {a}_{12}{a}_{23}{a}_{31} + {a}_{13}{a}_{21}{a}_{32} - {a}_{13}{a}_{22}{a}_{31} - {a}_{12}{a}_{21}{a}_{33} - {a}_{11}{a}_{23}{a}_{32}\](3)上三角、下三角、对角行列式:\[\left| \begin{matrix} {a}_{11} & & & * \\ & {a}_{22} & & \\ & & \cdots & \\ O & & & {a}_{nn} \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & & & O \\ & {a}_{22} & & \\ & & \cdots & \\ * & & & {a}_{nn} \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & & & O \\ & {a}_{22} & & \\ & & \cdots & \\ O & & & {a}_{nn} \end{matrix}\right| = {a}_{11}{a}_{22}\cdots {a}_{nn}\](4)副对角线方向的行列式:\[\left| \begin{matrix} * & & & {a}_{1n} \\ & & {a}_{2,n - 1} & \\ & \cdots & & \\ {a}_{n1} & & & O \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} O & & & {a}_{1n} \\ & & {a}_{2,n - 1} & \\ & \cdots & & \\ {a}_{n1} & & & * \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} O & & & {a}_{1n} \\ & & {a}_{2,n - 1} & \\ & \cdots & & \\ {a}_{n1} & & & O \end{matrix}\right|\]\(\displaystyle = {\left( -1\right) }^{\frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n - 1}\cdots {a}_{n1}\)
(5)范德蒙行列式:\[\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ {a}_{1} & {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} \\ {a}_{1}^{2} & {a}_{2}^{2} & \cdots & {a}_{n}^{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{1}^{n - 1} & {a}_{2}^{n - 1} & \cdots & {a}_{n}^{n - 1} \end{matrix}\right| = \mathop{\prod }\limits_{{1 \leq j < i \leq n}}\left( {{a}_{i} - {a}_{j}}\right)\]
2. 行列式的性质
行列式的性质
性质 1 行列式 \(D\) 与它的转置行列式 \({D}^{T}\) 相等
性质 2 互换行列式的两行 (列),行列式变号 (交换 \({r}_{1}\) 行和 \({r}_{2}\) 行,记为 \({r}_{1} \leftrightarrow {r}_{2}\) ; 交换 \({c}_{1}\) 列和 \(\left. {{c}_{2}\text{ 列,记为 }{c}_{1} \leftrightarrow {c}_{2}}\right)\)
性质 3 行列式的某一行 (列) 中所有的元素都乘以同一数 \(k\) ,等于用数 \(k\) 乘此行列式
推论 行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可以提到整个行列式的外面
性质 4 行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式等于零
性质 5 若行列式的某一列 (行) 的所有元素都是两数之和,例如第 \(i\) 列的元素都是两数之和, 即\[D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & \left( {{a}_{1i} + {a}_{1i}^{\prime }}\right) & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & \left( {{a}_{2i} + {a}_{2i}^{\prime }}\right) & \cdots & {a}_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots & & \cdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & \left( {{a}_{ni} + {a}_{ni}^{\prime }}\right) & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\]则 \(D\) 等于下列两个行列式之和:\[D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1i} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2i} & \cdots & {a}_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots & & \cdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{ni} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| + \left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1i}^{\prime } & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2i}^{\prime } & \cdots & {a}_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots & & \cdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{ni}^{\prime } & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\]性质 6 把行列式的某一行 (列) 的各元素乘以同一数然后加到另一行 (列) 对应的元素上, 行列式不变
例如以数 \(k\) 乘第 \(j\) 列加到第 \(i\) 列上 (记作 \({c}_{i} + k{c}_{j}\) ),有\[\small\left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1i} & \cdots & {a}_{1j} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & \cdots & {a}_{2i} & \cdots & {a}_{2j} & \cdots & {a}_{2n} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots & & \cdots \\ {a}_{n1} & \cdots & {a}_{ni} & \cdots & {a}_{nj} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| \xrightarrow[]{{c}_{i} + k{c}_{j}}\left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & \left( {{a}_{1i} + k{a}_{1j}}\right) & \cdots & {a}_{1j} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & \cdots & ({a}_{2i} + k{a}_{2j}) & \cdots & {a}_{2j} & \cdots & {a}_{2n} & \\ \cdots & & \cdots & & \cdots & & \cdots \\ {a}_{n1} & \cdots & \left( {{a}_{ni} + k{a}_{nj}}\right) & \cdots & {a}_{nj} & \cdots & {a}_{nj} \end{matrix}\right| \left( {i \neq j}\right)\](以数 \(k\) 乘第 \(j\) 行加到第 \(i\) 行上,记作 \({r}_{i} + k{r}_{j}\) )
3. 行列式按行 (列) 展开
1. 余子式
在 \(n\) 阶行列式 \(D = \left| {a}_{ij}\right|\) 中,去掉元素 \({a}_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后,余下的 \(n -\) 1 阶行列式,称为 \({a}_{ij}\) 的余子式,记为 \({M}_{ij}\)
代数余子式 \({A}_{ij} = {\left( -1\right) }^{i + j}{M}_{ij}\) 称为 \({a}_{ij}\) 的代数余子式
\(k\) 阶子式 在 \(n\) 阶行列式 \(D = \left| {a}_{ij}\right|\) 中,任意选定 \(k\) 行 \(k\) 列 \(\left( {1 \leq k \leq n}\right)\) ,位于这些行列交叉处的 \({k}^{2}\) 个元素,按原来顺序构成一个 \(k\) 阶行列式,称为 \(D\) 的一个 \(k\) 阶子式
2. 按一行 (列) 展开
(1)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
按第 \(i\) 行展开 \(D = {a}_{i1}{A}_{i1} + {a}_{i2}{A}_{i2} + \cdots + {a}_{in}{A}_{in}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
按第 \(j\) 列展开 \(D = {a}_{1j}{A}_{1j} + {a}_{2j}{A}_{2j} + \cdots + {a}_{nj}{A}_{nj}\left( {j = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
(2)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 \[\small {a}_{i1}{A}_{j1} + {a}_{i2}{A}_{j2} + \cdots + {a}_{in}{A}_{jn} = 0,i \neq j\quad\text{或}\quad {a}_{1i}{A}_{1j} + {a}_{2i}{A}_{2j} + \cdots + {a}_{ni}{A}_{nj} = 0,i \neq j\]3. 按 \(k\) 行 \(\left( {k\text{ 列 }}\right)\) 展开
拉普拉斯定理: 在 \(n\) 阶行列式中,任意取定 \(k\) 行 \(\left( {k\text{ 列 }}\right) (1 \leq k \leq n-1)\), 由这 \(k\) 行 ( \(k\) 列) 组成的所有的 \(k\) 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值
4. 行列式的计算
行列式的计算方法有很多种, 大致有以下几种思路:
思路 1: 利用行列式的定义
思路 2: 利用行列式的性质
思路 3: 利用行列式的行列展开
5. 克莱姆法则
1. 克莱姆法则
如果含 \(n\) 个未知量 \(n\) 个方程的线性方程组\[\left\{ \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = {b}_{1}, \\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = {b}_{2}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{n1}{x}_{1} + {a}_{n2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{nn}{x}_{n} = {b}_{n} \end{array}\right.\]的系数行列式不等于零, 即\[D = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1n} \\ \cdots & & \cdots \\ {a}_{n1} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| \neq 0\]则方程组有唯一解\[{x}_{1} = \frac{{D}_{1}}{D},\;{x}_{2} = \frac{{D}_{2}}{D},\cdots ,\;{x}_{n} = \frac{{D}_{n}}{D}\]其中 \({D}_{j}\left( {j = 1,2,\cdots ,n}\right)\) 是把系数行列式 \(D\) 中第 \(j\) 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 \(n\) 阶行列式,即\[{D}_{j} = \left| \begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1,j - 1} & {b}_{1} & {a}_{1,j + 1} & \cdots & {a}_{1n} \\ \cdots & & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\ {a}_{n1} & \cdots & {a}_{n,j - 1} & {b}_{n} & {a}_{n,j + 1} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right|\]2. 含 \(n\) 个未知量 \(n\) 个方程的齐次线性方程组\[\left\{ \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = 0, \\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = 0, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{n1}{x}_{1} + {a}_{n2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{nn}{x}_{n} = 0 \end{array}\right.\]只有零解的充分必要条件是系数行列式 \(D \neq 0\) ; 有非零解的充分必要条件是 \(D = 0\)