1. 微分方程的基本概念
含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程
微分方程分两类: 常微分方程和偏微分方程. 若未知函数为多元函数, 微分方程中出现偏导数, 这样的微分方程称为偏微分方程. 而未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程, 本章只限于研究常微分方程, 简称微分方程, 有时也简称为方程
微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为这个方程的阶
\(n\) 阶常微分方程的一般形式为\[F\left( {x,y,{y}^{\prime },{y}^{\prime \prime },\cdots ,{y}^{\left( n\right) }}\right) = 0\]若将函数 \(y = y\left( x\right)\) 代入微分方程后,能使方程成为恒等式,则称函数 \(y = y\left( x\right)\) 为微分方程的解
若微分方程的解中所含独立任意常数的个数与此微分方程的阶数相等, 则称这个解为微分方程的通解
确定通解中任意常数的条件称为定解条件
满足定解条件的解称为微分方程的特解
2. 可分离变量的微分方程
形如\[{f}_{1}\left( x\right) {g}_{1}\left( y\right) \mathrm{d}x + {f}_{2}\left( x\right) {g}_{2}\left( y\right) \mathrm{d}y = 0\]的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程. 将方程两端除以 \({g}_{1}\left( y\right) {f}_{2}\left( x\right)\) (此时 \({g}_{1}\left( y\right) {f}_{2}\left( x\right) \neq\) \(0)\) ,得\[\frac{{f}_{1}\left( x\right) }{{f}_{2}\left( x\right) }\mathrm{d}x + \frac{{g}_{2}\left( y\right) }{{g}_{1}\left( y\right) }\mathrm{d}y = 0\]然后对上式两端积分, 即可得方程的通解\[\int \frac{{f}_{1}\left( x\right) }{{f}_{2}\left( x\right) }\mathrm{d}x + \int \frac{{g}_{2}\left( y\right) }{{g}_{2}\left( y\right) }\mathrm{d}y = C\]
3. 齐次微分方程
1. 齐次方程
形如\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( \frac{y}{x}\right)\]的一阶微分方程称为齐次方程
令 \(\displaystyle u = \frac{y}{x}\) ,或 \(y = x \vdot u\) ,则 \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\) ,代入原方程得\[u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f\left( u\right) ,\;\text{ 即 }\;\frac{\mathrm{d}u}{f\left( u\right) - u} = \frac{1}{x}\mathrm{d}x\]这是变量已分离的微分方程, 经积分即可得方程的通解
2. 可化为齐次方程的微分方程
形如方程\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f\left( \frac{{a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1}}{{a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2}}\right)\]其中 \({a}_{1},{b}_{1},{c}_{1},{a}_{2},{b}_{2},{c}_{2}\) 为常数,且 \({c}_{1}{}^{2} + {c}_{2}{}^{2} \neq 0\) . 当 \(\displaystyle \left| \begin{array}{ll} {a}_{1} & {b}_{1} \\ {a}_{2} & {b}_{2} \end{array}\right| \neq 0\) 时,令 \(x = X + h,y = Y + k\) ,由\[\left\{ \begin{array}{l} {a}_{1}h + {b}_{1}k + {c}_{1} = 0 \\ {a}_{2}h + {b}_{2}k + {c}_{2} = 0 \end{array}\right.\]解出 \(h\) 与 \(k\) ,可将原方程化为齐次方程\[\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{\;d}X} = f\left( \frac{{a}_{1}X + {b}_{1}Y}{{a}_{2}X + {b}_{2}Y}\right) = f\left\lbrack \frac{{a}_{1} + {b}_{1}\frac{Y}{X}}{{a}_{2} + {b}_{2}\frac{Y}{X}}\right\rbrack = g\left( \frac{Y}{X}\right)\]当 \(\left| \begin{array}{ll} {a}_{1} & {b}_{1} \\ {a}_{2} & {b}_{2} \end{array}\right| = 0\) 时,即 \(\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}} = \frac{{b}_{1}}{{b}_{2}} = k\) ,可设 \(u = {a}_{2}x + {b}_{2}y\) ,代入原方程后可化为可分离变量的微分方程, 即有\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = f\left( \frac{{ku} + {c}_{1}}{u + {c}_{2}}\right) = g\left( u\right) ,\;\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = {a}_{2} + {b}_{2}g\left( u\right)\]
4. 一阶线性微分方程
1. 一阶线性微分方程
形如\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} + P\left( x\right) y = Q\left( x\right)\]的一阶微分方程称为一阶线性微分方程
(1) \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P\left( x\right) y = 0\) ,称为一阶线性齐次方程,直接积分,可得其通解\[y = C{\mathrm{e}}^{-\int P\left( x\right) \mathrm{d}x}\](2) \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P\left( x\right) y = Q\left( x\right)\) ,称为一阶线性非齐次方程,用常数变易法,可得其通解\[y = {\mathrm{e}}^{-\int P\left( x\right) \mathrm{d}x}\left\lbrack {\int Q\left( x\right) {\mathrm{e}}^{\int P\left( x\right) \mathrm{d}x}\mathrm{d}x + C}\right\rbrack \]
2. 贝努里 (Bernoulli) 方程
一阶微分方程 \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P\left( x\right) y = Q\left( x\right) {y}^{n}\left( {n \neq 0,1}\right)\) ,称为贝努里方程,用变量代换 \(z = {y}^{1 - n}\) ,可化为 \(z\) 的一阶线性方程\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + \left( {1 - n}\right) P\left( x\right) z = \left( {1 - n}\right) Q\left( x\right)\]
5. 全微分方程
1. 全微分方程
若方程\[P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0\qquad ①\]的左端恰好是某一个二元函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的全微分,即:\[\mathrm{d}u = P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = \frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y\]则称方程①为全微分方程(或称为恰当方程),全微分方程通解是 \(u\left( {x,y}\right) = C\) ( \(C\) 是任意常数), \(u\) (x, y)也称为 \(P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\) 的原函数
2. 方程① 为全微分方程的充要条件及原函数 \(u\left( {x,y}\right)\) 的求法
若 \(P\left( {x,y}\right) ,Q\left( {x,y}\right)\) 在某一单连通域上连续,且有连续的一阶偏导数,则方程① 为全微分方程的充要条件是 \(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) ,这时有\[u\left( {x,y}\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{x}P\left( {x,{y}_{0}}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{{y}_{0}}^{y}Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y\]或\[u\left( {x,y}\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{x}P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{{y}_{0}}^{y}Q\left( {{x}_{0},y}\right) \mathrm{d}y\]
3. 积分因子
若方程①不是全微分方程,但存在一个函数 \(\mu \left( {x,y}\right)\) 使\[\mu \left( {x,y}\right) P\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + \mu \left( {x,y}\right) Q\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0\]为全微分方程,则称 \(\mu \left( {x,y}\right)\) 为方程①的积分因子
4. 某些已知的二元函数的全微分公式\[x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left( {xy}\right)\]\[\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{{x}^{2}} = \mathrm{d}\left( \frac{y}{x}\right)\]\[\frac{-x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x}{{y}^{2}} = \mathrm{d}\left( \frac{x}{y}\right)\]\[\frac{y\mathrm{d}y + x\mathrm{d}x}{\sqrt{{y}^{2} + {x}^{2}}} = \mathrm{d}\left( \sqrt{{y}^{2} + {x}^{2}}\right)\]\[\frac{-x\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x}{xy} = \mathrm{d}\left( {\ln \frac{x}{y}}\right)\]\[\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \mathrm{d}\left( {\arctan \frac{y}{x}}\right)\]\[\frac{y\mathrm{d}x - x\mathrm{d}y}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \mathrm{d}\left( {\arctan \frac{x}{y}}\right)\]\[\frac{y\mathrm{d}y + x\mathrm{d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \frac{1}{2}\mathrm{d}\ln \left( {{y}^{2} + {x}^{2}}\right)\]\[\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{{y}^{2} - {x}^{2}} = \mathrm{d}\ln \sqrt{\frac{y - x}{y + x}}\]
6. 可降阶的高阶微分方程
1. \({y}^{\left( n\right) } = f\left( x\right)\)
方程特点是右端为自变量 \(x\) 的函数,且不含有函数 \(y\) 及其导数 \({y}^{\prime },{y}^{\prime \prime },\cdots ,{y}^{\left( n - 1\right) }\) ,将方程两边对 \(x\) 逐次积分即得其通解\[y= \int \mathrm{d}x\cdots \int f\left( x\right) \mathrm{d}x + \frac{{C}_{1}}{\left( {n - 1}\right) !}{x}^{n - 1} + \frac{{C}_{2}}{\left( {n - 2}\right) !}{x}^{n - 2} + \cdots + {C}_{n - 1}x + {C}_{n}\]2. \({y}^{\prime \prime } = f\left( {x,{y}^{\prime }}\right)\)
方程特点是右端不显含函数 \(y\) ,令 \(\displaystyle {y}^{\prime } = p,{y}^{\prime \prime } = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = {p}^{\prime }\) ,代入原方程即可化为一阶方程 \({p}^{\prime } = f\left( {x,p}\right)\) ,若其解为 \(p = \varphi \left( {x,{C}_{1}}\right)\) ,则原方程的通解为\[y = \int \varphi \left( {x,{C}_{1}}\right) \mathrm{d}x + {C}_{2}\]3. \({y}^{\prime \prime } = f\left( {y,{y}^{\prime }}\right)\)
方程特点是右端不显含自变量 \(x\) ,令 \({y}^{\prime } = p\) ,并利用复合函数的求导法则,把 \({y}^{\prime \prime }\) 化为对 \(y\) 的导数, 即\[{y}^{\prime \prime } = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \vdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \vdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\]代入原方程即可化为一阶方程\[p \vdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f\left( {y,p}\right)\]若其解为 \(p = \varphi \left( {y,{C}_{1}}\right)\) ,即 \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( {y,{C}_{1}}\right)\) ,则原方程的通解为\[\int \frac{\mathrm{d}y}{\varphi \left( {y,{C}_{1}}\right) } = x + {C}_{2}\]
7. 高阶线性微分方程解的结构
\(n\) 阶线性微分方程的一般形式为\[{y}^{\left( n\right) } + {P}_{1}\left( x\right) {y}^{\left( n - 1\right) } + {P}_{2}\left( x\right) {y}^{\left( n - 2\right) } + \cdots + {P}_{n - 1}\left( x\right) {y}^{\prime } + {P}_{n}\left( x\right) y = f\left( x\right)\quad ①\]其中 \(n \geq 2,{P}_{1}\left( x\right) ,{P}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{P}_{n}\left( x\right) ,f\left( x\right)\) 为已知连续函数
当 \(f\left( x\right) \equiv 0\) 时,方程① 称为 \(n\) 阶线性齐次微分方程; 当 \(f\left( x\right) \neq 0\) 时,方程称为 \(n\) 阶线性非齐次微分方程
现以二阶线性微分方程\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = 0\qquad ②\]\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = f\left( x\right)\qquad ③\]为例, 讨论其解的性质及其解法. 这些性质及解法均可推广到任意高阶的线性微分方程
(1)若函数 \({y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right)\) 是线性齐次方程②的两个解,则 \({C}_{1}{y}_{1}\left( x\right) + {C}_{2}{y}_{2}\left( x\right)\) 也是方程②的解,其中 \({C}_{1},{C}_{2}\) 为任意常数
(2)若 \({y}_{1}\left( x\right) ,{y}_{2}\left( x\right)\) 是方程②的两个线性无关的解,则 \({C}_{1}{y}_{1}\left( x\right) + {C}_{2}{y}_{2}\left( x\right)\) 是②的通解,其中 \({C}_{1},{C}_{2}\) 为任意常数
(3) 设 \({y}^{ * }\) 是线性非齐次方程③的一个特解, \(Y = {C}_{1}{y}_{1}\left( x\right) + {C}_{2}{y}_{2}\left( x\right)\) 是对应的齐次方程②的通解,则 \(y = Y + {y}^{ * }\) 是非齐次方程③的通解
(4) 设线性非齐次方程③的右端 \(f\left( x\right)\) 是两个函数之和,如\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right)\]而 \({y}_{1}\left( x\right)\) 与 \({y}_{2}\left( x\right)\) 分别是方程\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{1}\left( x\right) \text{ 与 }{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{2}\left( x\right)\]的解,则 \({y}_{1}\left( x\right) + {y}_{2}\left( x\right)\) 是方程\[{y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = {f}_{1}\left( x\right) + {f}_{2}\left( x\right)\]的解
8. 常系数齐次线性微分方程
1. 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
设\[{y}^{\prime \prime } + p{y}^{\prime } + {qy} = 0\qquad ①\](1) 特征方程有两个相异根 \({r}_{1} \neq {r}_{2}\) ,则方程①的通解为 \(Y = {C}_{1}{\mathrm{e}}^{{r}_{1}x} + {C}_{2}{\mathrm{e}}^{{r}_{2}x}\)
(2)特征方程有两个相等实根 \({r}_{1} = {r}_{2} = r\) ,则方程①的通解为 \(Y = \left( {{C}_{1} + {C}_{2}x}\right) {\mathrm{e}}^{rx}\)
(3)特征方程有一对共轭复根 \({r}_{1,2} = \alpha \pm {i\beta }\) ,则方程①的通解为 \(Y = {\mathrm{e}}^{\alpha x}\left( {{C}_{1}\cos {\beta x} + {C}_{2}\sin {\beta x}}\right)\)
2. \(n\) 阶常系数线性齐次微分方程
设 \(n\) 阶常系数线性齐次微分方程是\[{y}^{\left( n\right) } + {p}_{1}{y}^{\left( n - 1\right) } + {p}_{2}{y}^{\left( n - 2\right) } + \cdots + {p}_{n - 1}{y}^{\prime } + {p}_{n}y = 0\qquad ②\]其中 \({p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}\) 是常数,代数方程\[{r}^{n} + {p}_{1}{r}^{n - 1} + {p}_{2}{r}^{n - 2} + \cdots + {p}_{n - 1}r + {p}_{n} = 0\]称为微分方程②的特征方程, 特征方程的根叫作微分方程②的特征根
(1)如果 \({r}_{1}\) 是特征方程的单根,则\[y = {C}_{{\mathrm{e}}^{{r}_{1}}}\]是微分方程②的解
(2)如果特征方程有一对共轭复根 \({r}_{1} = \alpha + {i\beta },{r}_{2} = \alpha - {i\beta }\) ,则\[y = {\mathrm{e}}^{\alpha x}\left( {{C}_{1}\cos {\beta x} + {C}_{2}\sin {\beta x}}\right)\]是微分方程②的解
(3) 如果 \({r}_{1}\) 是特征方程的 \(k\) 重根,则\[y = \left( {{C}_{1} + {C}_{2}x + \cdots + {C}_{k}{x}^{k - 1}}\right) {\mathrm{e}}^{{r}_{1}x}\]是微分方程②的解
(4) 如果 \({r}_{1} = \alpha + {i\beta },{r}_{2} = \alpha - {i\beta }\) 都是特征方程的 \(k\) 重根,则\[\small y = {\mathrm{e}}^{ax}\left\lbrack {\left( {{C}_{1} + {C}_{2}x + \cdots + {C}_{k}{x}^{k - 1}}\right) \cos {\beta x} + \left( {{D}_{1} + {D}_{2}x + \cdots + {D}_{k}{x}^{k - 1}}\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack\]是微分方程②的解
9. 常系数非齐次线性微分方程
设二阶常系数非齐次线性微分方程为\[{y}^{\prime \prime } + p{y}^{\prime } + {qy} = f\left( x\right)\qquad ①\]其中 \(p,q\) 为常数
(1)如果方程①的右端 \(f\left( x\right)\) 是 \(x\) 的 \(n\) 次多项式 \({P}_{n}\left( x\right)\) ,即 \(f\left( x\right) = {P}_{n}\left( x\right)\) 时,而常数 0 是特征方程的 \(k\) 重根时,可设特解为\[{y}^{ * } = {x}^{k}{Q}_{n}\left( x\right)\]其中 \({Q}_{n}\left( x\right)\) 也是 \(x\) 的 \(n\) 次多项式,但其系数是待定的常数,如果常数 0 不是特征根,则取 \(k = 0\)
(2)如果方程①的右端 \(f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{ax}{P}_{n}\left( x\right)\) ,可设特解为\[{y}^{ * } = {x}^{k}{Q}_{n}\left( x\right) {\mathrm{e}}^{ax}\]其中 \({Q}_{n}\left( x\right)\) (待定) 是与 \({P}_{n}\left( x\right)\) 同次的多项式\[k = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \alpha \text{ 不是特征方程的根 } \\ 1, & \alpha \text{ 是特征方程的单根 } \\ 2, & \alpha \text{ 是特征方程的二重相 } \end{array}\right.\](3)如果方程①的右端 \(f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{ax}\left\lbrack {{P}_{l}\left( x\right) \cos {\beta x} + {P}_{n}\left( x\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack\) ,其中 \({P}_{l}\left( x\right) ,{P}_{n}\left( x\right)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次和 \(n\) 次的多项式, \(\alpha ,\beta\) 是已知常数,设特解形式为\[{y}^{ * } = {x}^{k}{\mathrm{e}}^{ax}\left\lbrack {{R}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \cos {\beta x} + {R}_{m}^{\left( 2\right) }\left( x\right) \sin {\beta x}}\right\rbrack\]其中, \({R}_{m}^{\left( 1\right) }\left( x\right) ,{R}_{m}^{\left( 2\right) }\) 是两个 \(m\) 次多项式\[m = \max \{ l,n\} ,\;k = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \alpha + {i\beta }\text{ 不是特征方程的根 } \\ 1, & \alpha + {i\beta }\text{ 是特征方程的单复根 } \end{array}\right.\]
10. 欧拉方程
微分方程\[{x}^{n}{y}^{\left( n\right) } + {p}_{1}{x}^{n - 1}{y}^{\left( n - 1\right) } + \cdots + {p}_{n - 1}x{y}^{\prime } + {p}_{n}y = f\left( x\right)\]其中 \({p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}\) 是常数,称为欧拉方程,它的解法是
设 \(x = {\mathrm{e}}^{t}\) ,即 \(t = \ln x\) ,则\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \vdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} \vdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\]\[\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{1}{{x}^{2}}\left( {\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^{2}} - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}\right)\]\[\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^{3}} = \frac{1}{{x}^{3}}\left( {\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{t}^{3}} - 3\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^{2}} + 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}\right) ,\cdots\]将它们代入原方程, 则可将欧拉方程化为常系数线性微分方程
11. 微分方程的幂级数解法
对于二阶齐次线性微分方程 \({y}^{\prime \prime } + P\left( x\right) {y}^{\prime } + Q\left( x\right) y = 0\) 用幂级数求解有下述定理
若方程中的系数 \(P\left( x\right)\) 与 \(Q\left( x\right)\) 可在 \(- R < x < R\) 内展开成 \(x\) 的幂级数,那么在 \(- R < x < R\) 内该微分方程必有形如 \(y = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}\) 的解