1. 不定积分的概念与性质
1. 原函数与不定积分的定义
设函数 \(F\left( x\right)\) 与 \(f\left( x\right)\) 在区间(a, b)内有定义,若对于任意 \(x \in \left( {a,b}\right)\) 有\[{F}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right)\quad\text{或}\quad\mathrm{d}F\left( x\right) = f\left( x\right) \mathrm{d}x\]则称 \(F\left( x\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)上的一个原函数
函数 \(f\left( x\right)\) 的全体原函数称为 \(f\left( x\right)\) 的不定积分,记为 \(\displaystyle\int f\left( x\right) \mathrm{d}x\) . 设 \(F\left( x\right)\) 是 \(f\left( x\right)\) 的一个原函数,则 \(\displaystyle\int f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( x\right) + C,C\) 为任意常数
2. 不定积分的基本性质
(1)\(\displaystyle\int {f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( x\right) + C\)
(2)\(\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\lbrack {\int f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right\rbrack = f\left( x\right)\)
(3)\(\displaystyle\int \left\lbrack {{k}_{1}f\left( x\right) \pm {k}_{2}g\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x = {k}_{1}\int f\left( x\right) \mathrm{d}x \pm {k}_{2}\int g\left( x\right) \mathrm{d}x\left({{k}_{1},{k}_{2}}\right)\)不同时为零\()\)
3. 基本公式
(1)\(\displaystyle\int {x}^{a}\mathrm{\;d}x=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1} + C\;\left( {a\neq-1}\right)\)
(2)\(\displaystyle\int {a}^{x}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\ln a}{a}^{x} + C\)
(3)\(\displaystyle\int {\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x = {\mathrm{e}}^{x} + C\)
(4)\(\displaystyle\int \sin x\mathrm{\;d}x = - \cos x + C\)
(5)\(\displaystyle\int \cos x\mathrm{\;d}x = \sin x + C\)
余下见需熟记的重要公式——重点不定积分公式
2. 换元积分法
1. 第一换元法 (凑微分法)
设 \(\int f\left( u\right) \mathrm{d}u = F\left( u\right) + C\) ,且 \(u = \varphi \left( x\right)\) 可微,则\[\int f\left\lbrack {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack {\varphi }^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = \int f\left\lbrack {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}\varphi \left( x\right) = F\left\lbrack {\varphi \left( x\right) }\right\rbrack + C\]2. 第二换元法
设 \(x = \varphi \left( t\right)\) 严格单调并可微,且 \({\varphi }^{\prime }\left( t\right) \neq 0\) ,若 \(\int f\left\lbrack {\varphi \left( t\right) }\right\rbrack {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = \Phi \left( t\right) + C\) , 则\[\int f\left( x\right) \mathrm{d}x = \Phi \left\lbrack {{\varphi }^{-1}\left( x\right) }\right\rbrack+C\]
3. 分部积分法
分部积分法
若 \(u = u\left( x\right)\) 与 \(v = v\left( x\right)\) 可微,且 \({u}^{\prime }\left( x\right) \vdot v\left( x\right)\) 具有原函数,则有\[\int u\left( x\right) {v}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = u\left( x\right) v\left( x\right) - \int v\left( x\right) {u}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x\]或\[\int u\mathrm{\;d}v = {uv} - \int v\mathrm{\;d}u\]若被积函数是三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数与多项式之间的乘积时, 通常用分部积分法
4. 有理函数的积分
1. 有理函数的积分
一般要经过两个步骤:(1)如果被积函数是假分式,则需先化为有理整式与真分式之和；(2)用待定系数法将真分式化为部分分式,最后得到 4 个基本类型的积分
(1)\(\displaystyle\int \frac{A}{x - a}\mathrm{d}x\)
(2)\(\displaystyle\int \frac{A}{{\left( x - a\right) }^{n}}\mathrm{d}x\left( {n = 2,3\cdots }\right)\)
(3)\(\displaystyle\int \frac{{Mx} + N}{{x}^{2} + {px} + q}\mathrm{d}x\)
(4)\(\displaystyle\int \frac{\left( Mx + N\right) }{{\left( {x}^{2} + px + q\right) }^{n}}\mathrm{d}x\left( {n = 2,3\cdots }\right)\)
其中 \(A\text{ 、 }M\text{ 、 }N\text{ 、 }a\text{ 、 }p\text{ 、 }q\) 都是常数,且 \({4q} - {p}^{2} > 0\)
前两种积分结果是易知的, 对于第三种积分只要将分母配方后, 再用基本积分公式, 结果即可求出. 对于第四种积分要用分部积分法, 最后得出一个递推公式, 需要多次积分才能完成
拆分方法:
\(\displaystyle\frac{r\left( x\right) }{{\left( x - A\right) }^{p}{\left( {x}^{2} + Mx + N\right) }^{q}}\)
\(\displaystyle =\frac{a_1}{x - A} + \frac{a_2}{{\left( x - A\right) }^{2}} + \cdots + \frac{a_p}{{\left( x - A\right) }^{p}} + \frac{{b_1}x + {c_1}}{{x}^{2} + {Mx} + N} + \frac{{b_2}x + {c_2}}{{\left( {x}^{2} + Mx + N\right) }^{2}} + \cdots + \frac{{b_q}x + {c_q}}{{\left( {x}^{2} + Mx + N\right) }^{q}}\)
2. 三角函数有理式的积分
一般有以下三种方法:
(1)半角代换 对于 \(\displaystyle \int R\left( {\sin x,\cos x}\right) \mathrm{d}x\) 型,令 \(\displaystyle \tan \frac{x}{2} = t\) 化为有理函数的积分
(2)三角恒等变换
①利用倍角公式降低三角函数的幂次
②对于 \(\displaystyle \int \sin {mx} \vdot \sin {nx}\mathrm{d}x\) 、 \(\displaystyle \int \sin {mx} \vdot \cos {nx}\mathrm{d}x\) 、 \(\displaystyle \int \cos {mx} \vdot \cos {nx}\mathrm{d}x\left( {m \neq n}\right)\) 可利用积化和差来计算
③对于 \(\displaystyle \int {\sin }^{m}x \vdot {\cos }^{n}x\mathrm{d}x\) : Ⅰ. 当 \(m\text{ 、 }n\) 中有一个奇数,可拆开用凑微分法计算; Ⅱ. 当 \(m\text{ 、 }n\) 都是偶数, 可利用倍角公式逐步求出积分
④对于 \(\displaystyle \int {\sin }^{n}x\mathrm{d}x,\int {\cos }^{n}x\mathrm{d}x\) ,可利用分部积分法导出的递推公式计算,也可按③处理
3. 简单无理函数的积分
关键是找出适当的变量代换去掉根号, 化为有理函数的积分