第一章 矢量分析
重要的恒等式：
\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}\)
\(\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})\)
\(\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0\)
\(\nabla\times(\vec{A}\times\vec{B})=(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}-\vec{B}(\nabla\cdot\vec{A})-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}+\vec{A}(\nabla\cdot\vec{B})\)
\(\nabla\times\nabla f=0\)
\(\nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A}\)
\(\nabla(\vec{A}\cdot\vec{B})=(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}+(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}+\vec{B}\times(\nabla\times\vec{A})+\vec{A}\times(\nabla\times\vec{B})\)
\(\nabla\cdot(\nabla f\times\nabla g)=0\)
矢量积分定理：
\(
{\Large 高斯散度定理:}\hspace{1em}
\displaystyle\int_{V}\nabla\cdot\vec{A}\mathrm{d}V=\oint_{S}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_{S}\vec{A}\cdot\vec{n}\mathrm{d}S
\)
\(
{\Large 斯托克斯定理:}\hspace{1em}
\displaystyle\oint_{C}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{S}(\nabla\times\vec{A})\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{S}(\nabla\times\vec{A})\cdot\vec{n}\mathrm{d}S
\)
\(
{\Large 平面格林定理:}\hspace{1em}
\displaystyle\oint_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\int_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\)
\(
{\Large 格林第一定理:}\hspace{1em}
\displaystyle\int_{V}[\varphi\nabla^2\psi+(\nabla\varphi\cdot\nabla\psi)]\mathrm{d}V=\oint_{S}(\varphi\nabla\psi)\cdot\mathrm{d}\vec{S}
\)
\(
{\Large 格林第二定理:}\hspace{1em}
\displaystyle\int_{V}(\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi)\mathrm{d}V=\oint_{S}(\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot\mathrm{d}\vec{S}
\)
\(
{\Large 矢量格林第一定理:}\hspace{1em}
\displaystyle\int_{V}\nabla\cdot(\vec{A}\times\nabla\times\vec{B})\mathrm{d}V=\int_{V}[\nabla\times\vec{A}\cdot\nabla\times\vec{B}-\vec{A}\cdot(\nabla\times\nabla\times\vec{B})]\mathrm{d}V=\oint_{S}(\vec{A}\times\nabla\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{S}
\)
\(
{\Large 矢量格林第二定理:}\hspace{1em}
\displaystyle\int_{V}[\vec{B}\cdot(\nabla\times\nabla\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\nabla\times\vec{B})]\mathrm{d}V=\oint_{S}(\vec{A}\times\nabla\vec{B}\times\vec{B}-\vec{B}\times\nabla\times\vec{A})\cdot\mathrm{d}\vec{S}
\)
正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度：