1. 二次型的标准形和规范形
1. 二次型的基本概念
(1)含有 \(n\) 个变量 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的二次齐次函数\[f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {a}_{11}{x}_{1}^{2} + {a}_{22}{x}_{2}^{2} + \cdots + {a}_{nn}{x}_{n}^{2} + 2{a}_{12}{x}_{1}{x}_{2} + 2{a}_{13}{x}_{1}{x}_{3}\]\(+ \cdots + 2{a}_{1n}{x}_{1}{x}_{n} + 2{a}_{23}{x}_{2}{x}_{3} + \cdots + 2{a}_{2n}{x}_{2}{x}_{n}\)
\(+ \cdots + 2{a}_{n - 1,n}{x}_{n - 1}{x}_{n}\)
称为 \(n\) 元二次型,其中 \({a}_{ij} = {a}_{ji}\) ,任意 \(i,j = 1,2,\cdots ,n\)
(2)二次型有矩阵表示\[f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\]其中 \(\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T},\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right)\) ,且 \({\boldsymbol{A}}^{T} = \boldsymbol{A}\) 是对称矩阵,称 \(\boldsymbol{A}\) 为二次型的矩阵. 秩 \(r\left( \boldsymbol{A}\right)\) 称为二次型的秩,记为 \(r\left( f\right)\)
(3)如果二次型中只含有变量的平方项,所有混合项 \({x}_{i}{x}_{j}\left( {i \neq j}\right)\) 的系数全是零,即\[{\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = {d}_{1}{x}_{1}^{2} + {d}_{2}{x}_{2}^{2} + \cdots + {d}_{n}{x}_{n}^{2}\]这样的二次型称为标准形
在标准形中,如平方项的系数 \({d}_{j}\) 为 \(1, - 1\) 或 0\[{\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = {x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} + \cdots + {x}_{p}^{2} - {x}_{p + 1}^{2} - \cdots - {x}_{p + q}^{2}\]则称其为二次型的规范形
(4)在二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 的标准形中,正平方项的个数 \(p\) 称为二次型的正惯性指数,负平方项的个数 \(q\) 称为二次型的负惯性指数; 正负惯性指数之差即 \(p - q\) 称为二次型的符号差
(5)如果\[\left\{ \begin{array}{l} {x}_{1} = {c}_{11}{y}_{1} + {c}_{12}{y}_{2} + \cdots + {c}_{1n}{y}_{n}\\ {x}_{2} = {c}_{21}{y}_{1} + {c}_{22}{y}_{2} + \cdots + {c}_{2n}{y}_{n}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \\ {x}_{n} = {c}_{n1}{y}_{1} + {c}_{n2}{y}_{2} + \cdots + {c}_{nn}{y}_{n}\end{array}\right.\qquad (*)\]满足\[\left| \boldsymbol{C}\right| = \left| \begin{matrix} {c}_{11} & {c}_{12} & \cdots & {c}_{1n} \\ {c}_{21} & {c}_{22} & \cdots & {c}_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {c}_{n1} & {c}_{n2} & \cdots & {c}_{nn} \end{matrix}\right| \neq 0\]称 \(\left( *\right)\) 为由 \(\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T}\) 到 \(\boldsymbol{y} = {\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) }^{T}\) 的非退化线性替换,且 \(\left( *\right)\) 可用矩阵描述, 即\[\left\lbrack \begin{matrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ \cdots \\ {x}_{n} \end{matrix}\right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} {c}_{11} & {c}_{12} & \cdots & {c}_{1n} \\ {c}_{21} & {c}_{22} & \cdots & {c}_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {c}_{m1} & {c}_{m2} & \cdots & {c}_{mn} \end{matrix}\right\rbrack \left\lbrack \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \cdots \\ {y}_{n} \end{matrix}\right\rbrack\]或 \(x = {Cy}\) ,其中 \(C\) 是可逆矩阵
注意: 如果没有特别说明,本章所涉及的二次型均为实二次型,即二次型中变量的系数均为实数, 所涉及的矩阵和向量都是实的
2. 二次型的常用结论
(1)二次型与对称矩阵一一对应
(2)变量 \(\boldsymbol{x} = {\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\right) }^{T}\) 的 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 经过非退化线性替换 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{{Cy}}\) 后,成为变量 \(\boldsymbol{y} = {\left( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) }^{T}\) 的 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{y}}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}\) ,其中 \(\boldsymbol{B} = {\boldsymbol{C}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\)
(3)任意的 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 都可以通过非退化线性替换化成标准形 \({d}_{1}{y}_{1}^{2} + {d}_{2}{y}_{2}^{2} + \cdots +\) \({d}_{n}{y}_{n}^{2}\) ,其中 \({d}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) 是实数
(4)(惯性定理). 任意 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 都可通过非退化线性替换化为规范形\[{z}_{1}^{2} + {z}_{2}^{2} + \cdots + {z}_{p}^{2} - {z}_{p + 1}^{2} - \cdots - {z}_{p + q}^{2}\]其中 \(p\) 为正惯性指数, \(q\) 为负惯性指数, \(p + q\) 为二次型的秩,且 \(p,q\) 由二次型唯一确定,即规范形是唯一的
(5)任意 \(n\) 元二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) ,由于 \(\boldsymbol{A}\) 是实对称矩阵,故必存在正交变换 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{y}(\boldsymbol{C}\) 为正交矩阵),使得二次型化为标准形 \({\lambda }_{1}{y}_{1}^{2} + {\lambda }_{2}{y}_{2}^{2} + \cdots + {\lambda }_{n}{y}_{n}^{2}\) ,且 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(n\) 个特征值
(6)非退化线性替换保持二次型的正负惯性指数, 秩, 正定性等
2. 二次型的正定性
1. 基本概念
如果实二次型 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 对任意一组不全为零的实数 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) ,都有 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right.\) , \(\left. {\cdots ,{x}_{n}}\right) > 0\) ,则称该二次型为正定二次型,正定二次型的矩阵称为正定矩阵. 正定二次型与正定矩阵一一对应
2. 实对称阵正定性的判定
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵,则下列命题等价
(1)\(\boldsymbol{A}\) 是正定矩阵
(2)\({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 的正惯性指数 \(p = n\)
(3)\(\boldsymbol{A}\) 的顺序主子式大于 0
(4)\(\boldsymbol{A}\) 的所有主子式大于 0
(5)\(\boldsymbol{A}\) 合同于单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\)
(6)\(\boldsymbol{A}\) 的特征值全大于 0
(7)存在可逆阵 \(\boldsymbol{P}\) ,使 \(\boldsymbol{A} = {\boldsymbol{P}}^{T}\boldsymbol{P}\)
(8)存在非退化的上(下)三角阵 \(Q\) ,使 \(A = {Q}^{T}Q\)
3. 正定矩阵的性质
(1)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \(\left| \boldsymbol{A}\right| > 0,\boldsymbol{A}\) 为可逆对称矩阵
(2)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \(\boldsymbol{A}\) 的主对角线元素 \({a}_{ii} > 0\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\)
(3)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \({\boldsymbol{A}}^{-1},k\boldsymbol{A}\left( {k > 0\text{ 为实数 }}\right)\) 均为正定矩阵
(4)若 \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵,则 \({\boldsymbol{A}}^{ * },{\boldsymbol{A}}^{m}\) 均为正定矩阵,其中 \(m\) 为正整数
(5)若 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 为 \(n\) 阶正定矩阵,则 \(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\) 是正定矩阵
3. 矩阵的合同
1. 矩阵合同的定义
设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 为两个方阵,若存在可逆矩阵 \(\boldsymbol{Q}\) ,使 \(\boldsymbol{B} = {\boldsymbol{Q}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}\) 成立,则称 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同
2. 矩阵合同的性质
(1)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的充要条件是对 \(\boldsymbol{A}\) 的行和列施以相同的初等变换变成 \(\boldsymbol{B}\)
(2)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的秩相同
现设 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 是实对称矩阵
(3)\(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的充要条件是二次型 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 与 \({\boldsymbol{x}}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\) 有相同的正负惯性指数
(4)\(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同的充分条件是 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相似