1. 矩阵的特征值与特征向量
1. 基本概念
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶矩阵, \(\lambda\) 是一个数,若存在一个 \(n\) 维非零列向量 \(\boldsymbol{x}\) 使 \(\boldsymbol{{Ax}} = \lambda \boldsymbol{x}\) 成立,则称 \(\lambda\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的一个特征值,相应的非零列向量 \(\boldsymbol{x}\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于 \(\lambda\) 的特征向量
\(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征矩阵, \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征多项式, \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right| = 0\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征方程
2. 特征值的性质及运算
若 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值,则
(1)\({k\lambda }\) 是 \(k\boldsymbol{A}\) 的特征值
(2)\({\lambda }^{m}\) 是 \({\boldsymbol{A}}^{m}\) 的特征值
(3)\(f\left( \boldsymbol{A}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i}\) 的特征值为 \(f\left( \lambda \right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\lambda }^{i}\)
(4)若 \(\boldsymbol{A}\) 可逆,则 \(\lambda \neq 0\) ,且 \(\displaystyle \frac{1}{\lambda }\) 是 \({\boldsymbol{A}}^{-1}\) 的特征值
(5)若 \(\lambda \neq 0\) ,则 \({\boldsymbol{A}}^{ * }\) 有特征值 \(\displaystyle \frac{\left| \boldsymbol{A}\right| }{\lambda }\)
(6)\(\boldsymbol{A}\) 与 \({\boldsymbol{A}}^{T}\) 有相同的特征值
(7)\(\boldsymbol{{AB}}\) 与 \(\boldsymbol{{BA}}\) 有相同的特征值
(8)0 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值的充分必要条件是 \(\left| \boldsymbol{A}\right| = 0\) ,亦即 \(\boldsymbol{A}\) 可逆的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 的所有特征值全不为零
(9)零矩阵有 \(n\) 重特征值 0
(10)单位矩阵有 \(n\) 重特征值 1
(11)数量矩阵 \(k\boldsymbol{E}\) 有 \(n\) 重特征值 \(k\)
(12)幂零矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{m} = \boldsymbol{0}}\right)\) 有 \(n\) 重特征值 0
(13)幂等矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{2} = \boldsymbol{A}}\right)\) 的特征值只可能是 0 或 1
(14)对合矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{2} = \boldsymbol{E}}\right)\) 的特征值只可能是 1 或 -1
(15) \(k\)--幂矩阵 \(\left( {{\boldsymbol{A}}^{k} = \boldsymbol{E}}\right)\) 的特征值只可能是 1 的 \(k\) 次方根
(16)设 \(\boldsymbol{A} = {\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times n}\) 的 \(n\) 个特征值为 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) ,则
①\({\lambda }_{1} + {\lambda }_{2} + \cdots + {\lambda }_{n} = {a}_{11} + {a}_{22} + \cdots + {a}_{nn}\) ,即特征值之和等于矩阵的迹
②\({\lambda }_{1}{\lambda }_{2}\cdots {\lambda }_{n} = \left| \boldsymbol{A}\right|\) ,即特征值之积等于矩阵的行列式
3. 特征向量的性质
(1)若 \(\boldsymbol{x}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量,则 \(\boldsymbol{x}\) 一定是非零向量
(2)若 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m}\) 都是 \(\boldsymbol{A}\) 的属于同一特征值 \(\lambda\) 的特征向量,且 \({k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2} + \cdots + {k}_{m}{x}_{m} \neq \boldsymbol{0}\) , 则 \({k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2} + \cdots + {k}_{m}{x}_{m}\) 也是 \(\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量
(3)设 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的两个不同特征值, \({\boldsymbol{x}}_{1},{\boldsymbol{x}}_{2}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的分别属于 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2}\) 的特征向量,则 \({\boldsymbol{x}}_{1} + {\boldsymbol{x}}_{2}\) 不是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征向量
(4)若 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(r\) 重特征值,则属于 \(\lambda\) 的线性无关的特征向量最多有 \(r\) 个
(5)\(\boldsymbol{A}\) 的属于不同特征值的特征向量线性无关
(6)设 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值, \(\boldsymbol{x}\) 是属于 \(\lambda\) 的特征向量,则
①\(\boldsymbol{x}\) 是 \(k\boldsymbol{A}\) 的属于特征值 \({k\lambda }\) 的, \({\boldsymbol{A}}^{m}\) 的属于特征值 \({\lambda }^{m}\) 的和 \(f\left( \boldsymbol{A}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i}\) 的属于特征值 \(f\left( \lambda \right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\lambda }^{i}\) 的特征向量
②若 \(\lambda \neq 0\) ,则 \(\boldsymbol{x}\) 也是 \({\boldsymbol{A}}^{-1}\) 的属于特征值 \(\displaystyle \frac{1}{\lambda }\) 和 \({\boldsymbol{A}}^{ * }\) 的属于特征值 \(\displaystyle \frac{\left| \boldsymbol{A}\right| }{\lambda }\) 的特征向量
③若 \(\boldsymbol{B} = {\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P},\boldsymbol{P}\) 为可逆阵,则 \(\lambda\) 是 \(\boldsymbol{B}\) 的特征值,且 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{x}\) 是 \(\boldsymbol{B}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量
4. 矩阵的特征值和特征向量的求法
(1)对于数字型矩阵 \(\boldsymbol{A}\) ,其特征值和特征向量的求法如下:
①计算特征多项式 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right|\)
②求解特征方程 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right| = 0\) ,其所有根 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) 即为 \(\boldsymbol{A}\) 的全部特征值
③固定一个特征值 \(\lambda\) ,求解齐次线性方程组 \(\left( {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right) x = 0\) ,求得基础解系为 \({\boldsymbol{\eta }}_{1},{\boldsymbol{\eta }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\eta }}_{s}\) , \(s = n - r\left( {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right)\) ,则 \(\boldsymbol{A}\) 的属于 \(\lambda\) 的所有特征向量为:
\({k}_{1}{\boldsymbol{\eta }}_{1} + {k}_{2}{\boldsymbol{\eta }}_{2} + \cdots + {k}_{s}{\boldsymbol{\eta }}_{s}\) ,其中 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{s}\) 不全为零
(2)对于抽象型矩阵 \(\boldsymbol{A}\) ,其特征值和特征向量的求法通常有两种思路:
①利用特征值和特征向量的定义,若数 \(\lambda\) 和非零向量 \(\boldsymbol{x}\) 满足 \(\boldsymbol{{Ax}} = \lambda \boldsymbol{x}\) ,则 \(\lambda\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值, \(\boldsymbol{x}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的属于 \(\lambda\) 的特征向量
②利用特征值和特征向量的性质,例如已知 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值,便可求得 \(k\boldsymbol{A},{\boldsymbol{A}}^{m},\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i}\) 等矩阵的特征值
2. 矩阵的相似对角化
1. 矩阵相似的概念
设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 是 \(n\) 阶矩阵,若存在可逆阵 \(\boldsymbol{P}\) 使 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = \boldsymbol{B}\) ,则称 \(\boldsymbol{B}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的相似矩阵,或称 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相似,记为 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}\)
2. 矩阵相似的性质
(1)若 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B},\boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{C}\) ,则 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{C}\)
(2)若 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}\) ,则 \(k\boldsymbol{A} \sim k\boldsymbol{B},{\boldsymbol{A}}^{m} \sim {\boldsymbol{B}}^{m}\) ,进而\[f\left( \boldsymbol{A}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{A}}^{i} \sim f\left( \boldsymbol{B}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{a}_{i}{\boldsymbol{B}}^{i}\](3)若 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}\) ,则 \({\boldsymbol{A}}^{T} \sim {\boldsymbol{B}}^{T},{\boldsymbol{A}}^{-1} \sim {\boldsymbol{B}}^{-1},{\boldsymbol{A}}^{ * } \sim {\boldsymbol{B}}^{ * }\)
(4)若 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}\) ,则 \(\left| \boldsymbol{A}\right| = \left| \boldsymbol{B}\right| ,r\left( \boldsymbol{A}\right) = r\left( \boldsymbol{B}\right)\)
(5)设 \(\boldsymbol{A} = \left( {a}_{ij}\right) ,\boldsymbol{B} = \left( {b}_{ij}\right)\) ,若 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}\) ,则 \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{ii} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{b}_{ii}\) ,即 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 有相同的迹
(6)若 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}\) ,则 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right| = \left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}}\right|\) ,即 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 有相同的特征值
(7)零矩阵, 单位矩阵, 数量矩阵只与自己相似
注意:(2) \(\sim\) (6)只是矩阵相似的必要条件
3. 矩阵的相似对角化
设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶矩阵,若存在可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) ,使 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}}\) 为对角阵,则称 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化
4. 矩阵相似对角化的判定
(1)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量
(2)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化的充分必要条件是对 \(\boldsymbol{A}\) 的任意特征值 \(\lambda\) ,属于 \(\lambda\) 的线性无关的特征向量的个数等于 \(\lambda\) 的重数,亦即 \(n - r\left( {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right)\) 等于 \(\lambda\) 的重数
(3)矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化的充分条件是 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(n\) 个互不相同的特征值
5. 矩阵相似对角化的步骤
(1)解特征方程 \(\left| {\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right| = 0\) ,求出所有特征值
(2)对于不同的特征值 \({\lambda }_{i}\) ,解方程组 \(\left( {{\lambda }_{i}\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}\right) = \boldsymbol{0}\) ,求出基础解系,如果每一个 \({\lambda }_{i}\) 的重数等于基础解系中向量的个数,则 \(\boldsymbol{A}\) 可对角化,否则, \(\boldsymbol{A}\) 不可对角化
(3)若 \(\boldsymbol{A}\) 可对角化,设所有线性无关的特征向量为 \({\boldsymbol{\xi }}_{1},{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}\) ,则所求的可逆阵 \(\boldsymbol{P} = \left( {\boldsymbol{\xi }}_{1}\right.\) , \(\left. {{\boldsymbol{\xi }}_{2},\cdots ,{\boldsymbol{\xi }}_{n}}\right)\) ,并且有 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = \boldsymbol{\Lambda }\) ,其中\[\boldsymbol{\Lambda } = \left\lbrack \begin{array}{llll} {\lambda }_{1} & & & \\ & {\lambda }_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_{n} \end{array}\right\rbrack\]注意: \(\boldsymbol{A}\) 的主对角线元素为全部的特征值,其排列顺序与 \(\boldsymbol{P}\) 中列向量的排列顺序对应
3. 实对称矩阵的正交相似对角化
1. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
设 \(\boldsymbol{A}\) 是实对称矩阵,则
(1)\(\boldsymbol{A}\) 的特征值为实数, \(\boldsymbol{A}\) 的特征向量为实向量
(2)\(\boldsymbol{A}\) 的不同特征值所对应的特征向量正交
(3)\(\boldsymbol{A}\) 的 \(k\) 重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有 \(k\) 个
(4)\(\boldsymbol{A}\) 相似于对角阵,且存在正交矩阵 \(\boldsymbol{P}\) ,使\[{\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = {\boldsymbol{P}}^{T}\boldsymbol{{AP}} = \left\lbrack \begin{array}{llll} {\lambda }_{1} & & & \\ & {\lambda }_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_{n} \end{array}\right\rbrack\]其中 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值
(5)实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相似的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 有相同的特征值
2. 实对称矩阵的正交相似对角化的步骤
(1)求出矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的全部特征值 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{s}\) ,其中 \({\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{s}\) 的重数分别为 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{s}\)
(2)对每个 \({k}_{i}\) 重特征值 \({\lambda }_{i}\) ,求方程组 \(\left( {{\lambda }_{i}\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}\right) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的基础解系,得 \({k}_{i}\) 个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化,得 \({k}_{i}\) 个两两正交的单位特征向量. 因 \({k}_{1} + \cdots + {k}_{i} = n\) ,故总共可得 \(n\) 个两两正交的单位特征向量
(3)把这 \(n\) 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 \(\boldsymbol{P}\) ,便有 \({\boldsymbol{P}}^{-1}\boldsymbol{{AP}} = {\boldsymbol{P}}^{T}\boldsymbol{{AP}} = \boldsymbol{\Lambda }\) . 注意 \(\boldsymbol{\Lambda }\) 中对角元的排列次序应与 \(\boldsymbol{P}\) 中列向量的排列次序相对应